Muchas gracias, podría hacer el primer apartado así?
Estudiaremos la integrabilidad en intervalos de la forma \( ]0, \alpha] \). Para ellos veamos el siguiente límite:
\[ \lim_{x \rightarrow 0} \left| \frac{1-\cos(x)}{x}\cdot e^{-tx} \right|=\lim_{x \rightarrow 0} \left| \dfrac{\sen^2(x)}{x\cdot (1+\cos(x))}\cdot e^{-tx} \right|= \lim_{x \rightarrow 0} \left| \frac{\sen(x)}{x}\cdot \frac{\sen(x)}{1+\cos(x)}\cdot e^{-tx} \right| \]
Sabiendo que \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sen(x)}{x}=1 \) tenemos que:
\begin{equation*}
\lim_{x \rightarrow 0} \left| \frac{\sen(x)}{x}\cdot \frac{\sen(x)}{1+\cos(x)}\cdot e^{-tx} \right|=\lim_{x \rightarrow 0} \left| 1\cdot \frac{0}{1+1}\cdot 1 \right|=0
\end{equation*}
como el límite es 0 y la función constantemente igual a 1 es integrable en el intervalo \( ]0,\alpha] \) usando el criterio por comparación por paso al límite, tenemos que la función \( \frac{1-\cos(x)}{x}e^{-tx} \) también es integrable en dicho intervalo para cada \( t\in \mathbb{R}^+ \).
Ahora estudiemos la situación en un intervalo de la forma \( [\alpha, +\infty[ \). Vamos a comparar con la función \( e^{-tx} \) que sabemos que es integrable para todo \( t>0 \) en este tipo de intervalos.
\begin{equation*}
\lim_{x \rightarrow +\infty} \left| \frac{\dfrac{(1-\cos(x))}{x}\cdot e^{-tx}}{e^{-tx}} \right|=\lim_{x \rightarrow +\infty} \left| \dfrac{1-\cos(x)}{x} \right|=0
\end{equation*}
como el límite es 0 y la función \( e^{-tx} \) es integrable en \( [\alpha, +\infty[ \) usando el criterio por comparación por paso al límite tenemos que la función \( \frac{1-\cos(x)}{x}e^{-tx} \) también es integrable en dicho intervalo para todo \( t\in \mathbb{R}^+ \).
Concluimos que \( \frac{1-\cos(x)}{x}e^{-tx} \) es integrable en \( ]0, +\infty[=\mathbb{R}^+ \) para todo \( t\in \mathbb{R}^+ \).
Para el primer apartado he usado el criterio de comparación por paso al límite de integrales.
Claro, para \( x\ge 1 \), \( 0\le \displaystyle\frac{1-\cos x}{x}e^{-tx}\le \frac{2}{x}e^{-tx}\le 2e^{-tx} \) y \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty}e^{-tx}dx \) es convergente.
El segundo apartado creo que puedo medio hacerlo con lo que me has dicho, cómo podría probar la convergencia?
La convergencia ya la tenemos de antes. Te queda demostrar
\( f^\prime (t)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}(\cos x -1)\ e^{-tx}\ dx=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\cos x \ e^{-tx}\ dx-\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\ e^{-tx}\ dx=\frac{t}{1+t^2}-\frac{1}{t} \),
la primera integral por partes y la segunda inmediata.
Para calcular \( \lim_{t\to \infty}f(t) \) como podría proceder para demostrarlo?
Tenemos \( f(t)=\displaystyle\int \left(\frac{t}{1+t^2}-\frac{1}{t}\right)dt=\displaystyle\frac{1}{2}\log (t^2+1)-\log t +C \) y para \( t=1 \),
\( f(1)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos x}{x}e^{-x} \ dx=\ldots=\displaystyle\frac{1}{2}\log 2 \), \( f(1)=\displaystyle\frac{1}{2}\log 2-0 +C \),
con lo cual, \( C=0 \) y por tanto
\( \displaystyle\lim_{t \to{+}\infty}f(t)=\displaystyle\lim_{t \to{+}\infty}\left(\frac{1}{2}\log (t^2+1)-\log t \right)=\lim_{t \to{+}\infty}\log \displaystyle\frac{\sqrt{t^2+1}}{t}=\log 1=0. \)
