[Richard R Richard]

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A) ¿Un cuerpo celeste ideal es considerado por tí como uno que es esférico o más bien uno que es puntual?

Si,  asì es....el campo producido por una masa M esférica  con densidad uniforme , o cuya densidad varíe con el radio ,  es similar al campo producido por una masa puntual de la misma masa M a la misma distancia del centro de la esfera. 

B) En los instantes que siguen al despegue de un objeto, desde la superficie, ¿varía la atracción gravitatoria de manera progresiva, según una fórmula determinada, o más bien varía "con alteraciones", en la fase inmediatamente posterior al despegue, debido a una distribución irregular de atracciones gravitatorias por parte de un cuerpo esférico grande? Me refiero a las atracciones gravitatorias laterales, y no sólo a la atracción central procedente del centro del cuerpo celeste. Es decir, tanto cuando está en el suelo como cuando se va elevando, el objeto es atraído por fuerzas laterales ... y por eso me preguntaba si, conforme se va elevando, la fórmula que calcula la atracción gravitatoria global no es progresiva, sino que es más compleja.

la gravedad varia de forma  inversa al cuadrado de la distancia al centro de la tierra, es decir la gravedad se hace mas pequeña al alejarte centímetro a centímetro si lo prefieres ver de ese modo, pero es una variación continua en realidad.

La fuerza lateral que tu dices se anula con la fuerza lateral proveniente del lado opuesto simétricamente, solo quedan las proyecciones verticales de esas fuerzas, y transmiten lo mismo que una carga puntual a la altura calculada.

C) ¿Quieres decir que, aunque lancemos a un objeto desde la superficie a una velocidad alta (c/2 p.ej.), siempre acabará cayendo en la Tierra de nuevo si lo lanzamos en "vertical puro"?
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No.. si en el lanzamiento superas la velocidad de escape  en modulo para  cualquier dirección y sentido que no choque con la tierra o su atmosfera,  claro està y no volverá jamás, pues su trayectoria es Hiperbólica.
Si lanzas verticalmente, continuara alejándose para siempre en linea recta, solo en el infinito su energía cinetica se agotara precisamente cuando el potencial gravitario se haga nulo.

[robinlambada]

Al respecto de las órbitas bajo fuerzas centrales, este documento que adjunto puede resultar muy interesante, en el que se resuelve el problema de los 2 cuerpos, primero comparandolo como el movimiento relativo de el cuerpo menos masivo respecto al mas masivo también tomando como sistema de referencia el centro de masa del sistema.( en ambos se simplifica el problema con el concepto de masa reducida y es equivalente al estudio de una masa sometida a una fuerza central)

Interesante ver como con la fórmula de Binet se pasa de una ecuación diferencial temporal a otra en que elimina el tiempo y se puede calcular la trayectoria deduciéndose que las soluciones son cónicas se puede obtener la excentricidad de la órbita a partir de la energía mecánica.( a partir del punto 5.2.3 )

También es muy interesante el estudio que hace de las órbitas según su energía mecánica y la funcíón  del potencial efectivo a partir del apartado 5.4.1. ( en concreto muy interesante la figura 5.11 de la página 5.20)

Un dato curioso es que la órbita de la tierra  esta casi en un mínimo de energía potencial efectiva , por ello es casi circular, lo cual la hace muy estable.

Saludos.

[robinlambada]

Respecto al potencial efectivo y la órbita terrestre respecto al Sol.

Si la energía mecánica en polares viene dada por \( E_m=\displaystyle\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\varphi}^2)-\displaystyle\frac{GMm}{r} \) (1)

Como el momento angular es un invariante \( L=L_o=mr^2\dot{\varphi} \) introduciendolo en (1)

\( E_m=\displaystyle\frac{1}{2}m\dot{r}^2+\displaystyle\frac{L_o^2}{mr^2}-\displaystyle\frac{GMm}{r} \)

\( Ep_{(efec)}=+\displaystyle\frac{L_o^2}{mr^2}-\displaystyle\frac{GMm}{r} \) ,  \( Ep_{(efec)}=\displaystyle\frac{A}{r^2}-\displaystyle\frac{B}{r} \)

Para el sistema Sol-Tierra:  \( f\begin{cases}A\approx{3\cdot{}10^{22}\,J\cdot{}m}\\B\approx{4\cdot{}10^{11}\,J}\end{cases} \)

Derivando e igualando a cero para obtener el mínimo del potencial efectivo:

\( \dfrac{dEp_{(efec)}}{dr}=-\displaystyle\frac{2A}{r^3}+\displaystyle\frac{B}{r^2}=0\Rightarrow{}r_{min}=\displaystyle\frac{2A}{B}=\displaystyle\frac{3}{2}10^{11}\,m=150.000.000\, km \) , que es aproximadamente la distancia de la Tierra al Sol estimada en 149.600.000 km.

Potencial efectivo

[cerrar]

[Richard R Richard]

Un dato curioso es que la órbita de la tierra  esta casi en un mínimo de energía potencial efectiva , por ello es casi circular, lo cual la hace muy estable.

Fíjate que si igualas la energía mecánica de una órbita circular con la que tu le buscas el mínimo, como lo has hecho, veras que la solución te lleva rápidamente que el el radio de esa orbita es el semieje mayor de una órbita elíptica, y así rápidamente  concluyes que la excentricidad es nula como no podría ser de otra manera, como caso particular es la circunferencia respecto de las elipses.

\( \dfrac{dEp_{(efec)}}{dr}=-\displaystyle\frac{2A}{r^3}+\displaystyle\frac{B}{r^2}=0\Rightarrow{}r_{min}=\displaystyle\frac{2A}{B}=\displaystyle\frac{3}{2}10^{11}\,m=150.000.000\, km \) , que es aproximadamente la distancia de la Tierra al Sol estimada en 149.600.000 km.

Fíjate que la velocidad orbital media de la tierra es muy parecida a la velocidad de la órbita circular cuyo radio es el semieje mayor \( a\cong\dfrac{2A}{B} \) , en el caso ideal debe darse la igualdad




En cambio la estabilidad de la órbita no tiene mucho que ver con la excentricidad, hay planetas en órbitas mas excéntricas y son estables, la estabilidad esta dada cuando no hay un tercer cuerpo que pueda alterar la trayectoria de modo que siempre la energía mecánica de esa órbita permanezca lo mas constante posible en el tiempo.




Cuanto mas excéntrica la órbita mas probabilidad de acercarse a la orbitaria de otro planeta del mismo sistema, ... las consecuencias son por lo general el cambio del plano de la órbita del cuerpo menos masivo, caso como Pluton y Caronte, y la de los planetas enanos transneptunianos, donde se cree la presencia de un noveno planeta 20 veces mas masivo que la tierra que los anduvo desviando en determinado momento, pero que hasta ahora no podido ser descubierto, sobre lo cual hay muchos científicos dedicados a la caza.




Una consecuencia relativista de la excentricidad es que al aumentar la velocidad en el perihelio, y hallarse en la zona de mayor curvatura de espacio tiempo ,las órbitas resultantes resultan tener precesión, tal es el caso de Mercurio,pero también ser observa en forma menos marcada en las órbitas de Venus y la tierra.

[Richard R Richard]

9.     Leyes de conservación, que se conserva y que no.  


Vimos que en todo punto de una órbita, puede calcularse su energía mecánica, y que de no mediar la interacción de ninguna fuerza o la gravitación de un tercer cuerpo, esta mantiene su valor constante o decimos se conserva.
También vimos que otra magnitud conservada es el momento angular.
Podemos entonces extraer conclusiones sobre ciertas variables de la órbita.
La velocidad tangencial, la distancia radial, la velocidad radial, son magnitudes que pueden variar a lo largo de la órbita.
Previamente vimos que podemos variar la masa y aplicar fuerzas internas para obtener todo tipo de trayectorias, tanto en presencia de atmósfera como en el espacio exterior.   Esto significa que estos casos el momento lineal no se conserva.
Así podemos concluir que
En un sistema de tres cuerpos la energía mecánica no se conserva, y esto es especial favorable para las maniobras de asistencia gravitatoria, pero a la vez complejo su cálculo pues no hay soluciones analíticas sin entrar en demasiadas simplificaciones.
La aplicación de fuerzas externas como internas generan trayectorias intermedias entre órbitas de cualquier tipo, esto puede hacerse en varias etapas siendo las órbitas intermedias denominadas órbitas de transferencia. Esto es de especial atención para la navegación,  porque existen ciertos criterios muy estudiados, para los cuales se optimiza el consumo de combustible, en función de ralentizar la misión.


10.   Consumo energético para el cambio de órbitas 

Si pensamos en dos órbitas posibles en el espacio de un mismo sistema de fuerzas centrales, para cambiar la trayectoria entre una órbita y la otra es necesario aplicar energía, no solo la energía cinética para el cambio del módulo de velocidad, sino también para el cambio de dirección. Puesto que se puede tener la misma órbita  rotando en sentidos opuesto, el valor de la energía mecánica de ambas órbitas es el mismo, pero para invertir el sentido de la velocidad hará falta energía.
Entonces podemos referir a un ejemplo sencillo de dos órbitas elípticas que se cruzan como mínimo en dos puntos del espacio, si pudiésemos instantáneamente cambiar el valor de la velocidad instantánea, tanto en modulo, dirección y sentido en el punto de cruce podríamos saltar de una a otra con solo aplicar un impulso instantáneo. Pero bueno la realidad es más malvada. Los impulsos instantáneos no existen, y existe la aplicación de fuerzas internas de impulsión por medio de cohetes que durante el tiempo que permanece encendido  se traza una trayectoria de curva suave entre una órbita inicial y una final.
Podemos entonces estudiar cómo será el aporte energético para hacer este tipo de maniobras que no son instantáneos es decir  duran segundos, minutos u horas, pero desde el punto de vista de la vida total de la misión ocurren en una proporción minúscula de tiempo.
Si queremos ir de la tierra a la luna, nada nos impide que cuando tengamos una órbita baja, y no hallemos sobre el punto que une los centros de masa de la tierra y de la luna, Allí proceder a acelerar en dirección  a ese vector en sentido de la luna. Esto nos garantiza un tiempo corto de vuelo, pero nos encontraremos con varios problemas,
Al momento de acelerar, tenemos velocidad tangencial, la cual por principio de inercia nos seguirá arrastrando lateralmente, podemos corregir la aceleración adicionalmente, para cancelar esa componente.
También no encontraremos que llegada la proximidad de la superficie de la Luna habrá que decelerar para no impactar con ella.
Todas estas aceleraciones conllevan un consumo de combustible, en lo relatado sumamente excesivo y como vimos la ecuación de viabilidad de un proyecto es función directa de la masa del cohete y su consumo. Por lo tanto es más prioritario abaratar los costos disminuyendo la masa del cohete, y extendiendo el plazo de la misión a valores tolerables.
La consecuencia de esto es la refinación del cálculo de las trayectorias, pasando por órbitas de transferencia, que permiten pasar de una órbita a la siguiente con el mínimos consumo de combustible.
Pongo un ejemplo
Alcanzar una órbita baja requiere  un mínimo de 7.8km/s para mantener la órbita y 2km/s se perderán por el rozamiento de la atmósfera hasta alcanzar la órbita.
Si deseamos en línea recta a la luna por la distancia más corta en 20hs  desde esta orbita, debemos primero anular esos 7.8km/s , para hacer 380000 km en 20 horas necesitamos mínimamente acelerar a 5.27 km/s en dirección a la luna, y llegados a allí frenar esa misma cantidad, más otros 2km/s para el descenso. Un Delta V muy burdo es la suma de eso \( 7.8+2+5.27+5.27+2=22.35km/s \) debemos acelerar la nave en alguna dirección y sentido. Pero los cálculos de órbitas hacia la luna no usan esas trayectorias caprichosas aprovecha en alineamiento del  vector velocidad con la dirección de la luna para acelerar en una nueva órbita elíptica de menor delta V  con un frenado suave al llegar  es posible llegar con un delta V de 700km/s  sumando en total \( 7.8+2+0.7+2=12.5km/s \) , en una nave mucho menos voluminosa y pesada.


El Delta V  vectorialmente se calcula


\( \Delta \vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i = \int^{t_f}_{t_i} \vec {a_{(t)}} \, dt \)

[robinlambada]

En cambio la estabilidad de la órbita no tiene mucho que ver con la excentricidad, hay planetas en órbitas mas excéntricas y son estables, la estabilidad esta dada cuando no hay un tercer cuerpo que pueda alterar la trayectoria de modo que siempre la energía mecánica de esa órbita permanezca lo mas constante posible en el tiempo.

Hombre claro, si no hay perturbación en los dos cuerpos las órbitas son idealmente eternas. A eso me refiero precisamente a perturbaciones y entonces si  importa si la órbita  esta en un mínimo del potencial efectivo o no. Si cuerpo que órbita alrededor del Sol con una trayectoria elíptica con mucha excentricidad y
se incrementa en cierta cantidad su velocidad de traslación en su trayectoria ( disminuyendo el periodo ) es mucho más fácil que abandone la órbita solar y describa una trayectoria parabólica o hiperbólica  que si el cuerpo órbita circularmente en un mínimo de energía potencial efectiva, a eso me refiero.

[Richard R Richard]

11.   Orbitas de transferencia 
 
Una órbita de transferencia, es la trayectoria que une otras dos orbitas de cualquier tipo.
Cada cambio de orbita, se hace por la impulsión en alguna dirección sentido de la nave, o por lo que cada maniobra de transferencia, consta de dos momentos en donde se enciende los motores, con el primer encendido se logra la órbita de transferencia y con el segundo se dale de ella hacia la órbita final. 
Según el tipo de orbitas inicial y final y del  tipo de orbita descripto en la transferencia  las maniobras van recibiendo distintos nombres, asociados al científico que primero hizo el calculo
Ejemplo la


'''órbita de transferencia de Hohmann''' es una maniobra orbital que, traslada a una nave espacial desde una órbita circular a otra circular  utilizando dos impulsos de su motor. La trayectoria de transferencia es una órbita elíptica
La órbita de transferencia de Hohmann también funciona tanto  para llevar a una nave de una órbita menor a una mayor como de una órbita mayor a una menor. En el primer caso acelera dos veces y en el segundo caso, los motores de la nave funcionan en sentido opuesto a su trayectoria, desacelerando la nave y causando una caída a una órbita elíptica de menos energía. Luego, el motor funciona por segunda vez para reducir la aceleración de la nave hacia una órbita circular
Aunque la órbita de transferencia de Hohmann es casi siempre el método más económico para conseguir pasar de una órbita circular a otra, en algunas situaciones donde el semieje mayor de la órbita final es más grande que el semieje mayor de la órbita inicial en un orden de doce, puede ser más ventajoso el uso de una transferencia bielíptica.
Ya vimos que una órbita circular tiene una energía mecánica



\( Em_i= \dfrac{-G M m}{2 r_1} \)



\( Em_i= \dfrac{-G M m}{2 r_2} \)


Cuyas velocidades son 

\( v_i=\sqrt{\dfrac{GM}{r_1}} \)



\( v_f=\sqrt{\dfrac{GM}{r_2}} \)

La orbita de transferencia vimos que tiene una energía mecánica

\( E=\dfrac{1}{2}m v^2 - \dfrac{GM m}{r} = \dfrac{-G M m}{2 a} \, \)



Con \(  a=\dfrac{r_1+r_2}{2} \)

Para lo cual si vamos a pasar a una órbita de mayor distancia a la tierra , vamos a suponer que el punto de impulsión es el periastro subíndice  P , allí la velocidad de la órbita debe ser


\( v_P= \sqrt{GM\left( \dfrac{2}{r_1} - \dfrac{1}{a} \right)} \)

Y
 
\( v_A= \sqrt{GM\left( \dfrac{2}{r_2} - \dfrac{1}{a} \right)} \)

Por tanto, el \( \Delta v \) necesario para una transferencia de Hohmann es,

\( \Delta v_P =v_P-v_i= \sqrt{\dfrac{GM}{r_1}} \left( \sqrt{\dfrac{2 r_2}{r_1+r_2}} - 1 \right) \)(para el delta-v en periastro).

Y cuando llega al apoastro volvemos a acelerar

\( \Delta v_A =v_f-v_A= \sqrt{\dfrac{GM}{r_2}} \left( 1 - \sqrt{\dfrac{2 r_1}{r_1+r_2}}\,\! \right)  \)(para el delta-v en apoastro).


Entonces el \( \Delta v \) entre órbitas es la suma de los anteriores.
Si se está moviendo a una órbita elíptica, por las Leyes de Kepler, el tiempo para realizar la transferencia es la mitad de un periodo de la órbita.

\( t_H = \begin{matrix}\dfrac12\end{matrix} \sqrt{\dfrac{4\pi^2 a^3 }{GM}}= \pi \sqrt{\dfrac {(r_1 + r_2)^3}{8GM}}  \)


Donde \( a \) es la longitud del semieje mayor de la órbita de transferencia de Hohmann.
Si se quiere pasar de una órbita mayor a una menor  debe frenarse en el apoastro, describir la órbita elíptica de transferencia  y volver a frenar en el periastro para recuperar la velocidad de la órbita circular



Uso en el viaje interplanetario
De la Wikipedia
“Cuando se mueve una nave espacial desde la órbita de un planeta a la de otro, la situación se vuelve más compleja. En un viaje entre la Tierra y Marte, la nave ya tendría cierta velocidad asociada con su órbita alrededor de la Tierra, que no es necesaria cuando se encuentra en órbita de transferencia alrededor del Sol. En el otro extremo, la nave necesitaría una velocidad para orbitar sobre Marte, que será menor que la velocidad necesaria para continuar orbitando sobre el Sol. Por tanto, la nave debe desacelerar para que la gravedad marciana la capture y se necesitará pequeñas cantidades de empuje durante su viaje para arreglar la transferencia. Sin embargo, es esencial conocer la alineación de los planetas en sus órbitas, ya que el planeta destino y la nave deben encontrarse en el mismo punto de sus respectivas órbitas alrededor del Sol en el mismo momento.”


Del mismo modo que se  hizo este ejemplo se pueden transferir órbitas elípticas a otras elípticas, usando otro tipo de órbitas como ser parabólicas o hiperbólicas,  pero la economía como hemos visto radica en que el \( \Delta v \) sea el menor posible, es decir se debe evitar frenar o acelerar es decir evitar prender motores.
La transferencia bielíptica consiste en una maniobra con tres aceleraciones  o bien tres frenados, si ascendemos se acelera en el periastro, tomando una primer órbita elíptica, luego  se acelera en el apoastro de esa órbita, generando una nueva órbita elíptica cuyo periastro es más alto que el anterior, y llegado allí se vuelve a acelerar para retomar la órbita final. 
Me corrijo  la bielíptica puede en la tercera impulsión tener un frenado que la coloca en una órbita mas baja   circular



Veamos un caso más general 

Tenemos una órbita de energía mecánica \( Em_1 \) y queremos ir a otra de energía mecánica \( Em_2 \) aplicando un salto  \( \Delta v \)  que lo podríamos considerar instantáneo aplicado a la distancia genérica r  de la órbita, y podríamos pensar que el cambio de masa del cohete en el salto es despreciable, pero digamos que no y veamos a donde nos lleva entonces la masa final es menor que la masa inicial sin importar si estamos ascendiendo o descendiendo
Sabemos que


\( Em_1=\dfrac12m_1v_{R1}^2+\dfrac{L_1^2}{2m_1r^2}-\dfrac{GMm_1}{r} \)


\( Em_2=\dfrac12m_2v_{R2}^2+\dfrac{L_2^2}{2m_1r^2}-\dfrac{GMm_2}{r} \)

La relación entre \( m_1 \) y \( m_2 \) es  \( m_2=m_1-Ct \)  donde t es el tiempo de  prendido de motores.

Lo que nos da una variación de velocidad en la nave usando la ecuación de Tsiolkovski

\(  \Delta v=\pm v_e\ln\left(\dfrac{m_1}{m_2}\right)  \)

Eligiendo signo positivo para acelerar o negativo para frenar
Por sencillez vamos a acelerar o frenar en la misma dirección de la velocidad
Para  cada órbita podemos calcular el momento angular  L de cada órbita conociendo las velocidades tanto en el apoastro como en el periastro .  en caso de ser elípticas, sino solo tendremos el dato del periastro y el valor de la energía mecánica que nos permite calcular la energía cinética y con ello el momento angular mediante el primer termino de

\( L=mr_pv_p=mr_av_a \)

Puesto que no hay velocidad radial entonces \( |v_p|=|v|  \)

Ya vimos que en elípticas

\( v_P= \sqrt{GM\left( \dfrac{2}{r_1} - \dfrac{1}{a} \right)} \)

Y
 
\( v_A= \sqrt{GM\left( \dfrac{2}{r_2} - \dfrac{1}{a} \right)} \)

Con lo que sabemos cuál es el semieje mayor de las orbitas final e inicial \( a_1 \) y \( a_2 \)

Y si aplicamos el \( \Delta v \) justo en el apoastro o en el periastro, no hay cambio en la velocidad radial por lo que es más sencillo calcular el cambio del momento angular solo por la variación de la energía cinética.
 
En todo punto  \( \tan \theta =\dfrac{v_R}{v_T} \)

Por lo que al acelera en la misma dirección \( \tan \theta =\dfrac{\Delta v_R}{\Delta v_T} \)

Siendo \(  \Delta V=\sqrt{\Delta v_R^2+\Delta v_T^2} \)

Se reparte el impulso trigonométricamente

\( v_{R2}= v_{R1}\pm\Delta v_R \)

\( L_2=m_2r v_{T1}+m_2r\Delta v_T \)

Entonces vemos que tanto en el periastro como en el apoastro todo el \( \Delta v \) es transmitido al momento angular, que es parte del potencial efectivo de la órbita. En cambio acelerar en otro punto el \( \Delta v \) radial solo sirve para cambiar la inclinación respecto de superficie de una órbita elíptica con potencial efectivo menor, por eso estos puntos son elegidos como puntos para cambiar de órbita con el menor consumo.
Pero los matemáticos del foro podrán unir todas estas ecuaciones en una sola, e intentar probar lo  minimizando respecto al consumo (Ct)o al tiempo t, y ver cuáles son los puntos que garantizan el cambio de \( \Delta Em=E_2-E_1  \) con el mínimo \( \Delta v \) ya que este es continuo con el tiempo.

Hombre claro, si no hay perturbación en los dos cuerpos las órbitas son idealmente eternas. A eso me refiero precisamente a perturbaciones y entonces si  importa si la órbita  esta en un mínimo del potencial efectivo o no. Si cuerpo que órbita alrededor del Sol con una trayectoria elíptica con mucha excentricidad y
se incrementa en cierta cantidad su velocidad de traslación en su trayectoria ( disminuyendo el periodo ) es mucho más fácil que abandone la órbita solar y describa una trayectoria parabólica o hiperbólica  que si el cuerpo órbita circularmente en un mínimo de energía potencial efectiva, a eso me refiero.

De acuerdo, y para puntualizar en órbitas satelitales  es mejor aplicar cualquier cambio cuando está en el perigeo, ya lo detallare junto a otros fenómenos  creo en un próximo apartado.

[Richard R Richard]

12. El problema de los 2 cuerpos

Estamos acostumbrados a ver la fuerza gravitatoria como una fuerza en un único sentido, pues la masa terrestre es mucho mayor que cualquier otro cuerpo sobre la superficie, pero la realidad es que ambos se atraen con la misma fuerza, pero como como la masa de un es mucho menor ese es el que notamos que se mueve, Veremos ahora que sucede para el caso general que ser una fuerza reciproca ambos cuerpos estarían acelerados. Pero acelerado respecto a que… Claro a su centro de masas.


En un sistema de referencia arbitrario la posición del CM se determina haciendo un breve análisis


Cada cuerpo esta sometido a una fuerza igual a su masa por la aceleración




\( \vec F_{ab}=m_a \vec  a_{a} \)




\( \vec F_{ba}=m_b \vec  a_{b} \)




Como la gravedad en este sistema de dos cuerpos es una fuerza interna no puede acelerar al sistema respecto de un marco de referencia externo




\( \displaystyle \sum \vec F=\vec F_{ab}+\vec F_{ba}=\vec 0 \)




De donde\(  \vec F_{ab}=-\vec F_{ba} \)




Indicando esto que las fuerzas a las que están sometidos son iguales y de sentido contrario tal como indica la tercera ley de Newton




Si sumamos las fuerzas vemos  que la resultante sobre la suma de masas debe ser nula




\( m_a \vec  a_{a}+ m_b \vec  a_{b}=(m_a+m_b)\vec a_{CM}=0 \)




pero esta primer igualdad trae consecuencias, puesto que integrando respecto al tiempo dos veces llegamos a




\( \vec  x_{CM}=\dfrac{\vec x_a m_a+\vec x_b m_b}{m_a+m_b} \)




Que es la definición habitual de la posición del Centro de masas del sistema




Veamos ahora el concepto de masa reducida.




Si llamamos \( r \) a la distancia entre los cuerpos




\( \vec  r=\vec  x_{a}-\vec x_{b} \)






derivando dos veces




\( \ddot{r} =\vec  a_{a}-\vec a_{b}=\dfrac{\vec  F_{ab}}{m_a}-\dfrac{\vec  F_{ba}}{m_b}=\vec  F_{ab}\left(\dfrac{1}{m_a}+\dfrac{1}{m_b}\right) \)




si despejamos la fuerza




\( \dfrac{ \ddot{r}} {\left(\dfrac{1}{m_a}+\dfrac{1}{m_b}\right)}=\vec  F_{ab} \)




por lo tanto como toda fuerza el igual a la masa por su aceleración si llamamos \( \mu \) a la masa asociada para obtener la fuerza entre los cuerpos




 \( \mu  \ddot{r} =\vec  F_{ab} \)




 donde \( \mu=\dfrac{1}{\dfrac{1}{m_a}+\dfrac{1}{m_b}}=\dfrac{m_am_b}{m_a+m_b} \)










que se denomina masa reducida.


vemos que si \( m_a>>m_b \quad\to\quad \mu =m_b \) o si \( m_a<<m_b \quad\to\quad \mu =m_a \)




es decir que si un sistema donde la gravedad de uno de los cuerpos es muy superior a la del otro se recupera la formula de la gravitación universal y la aceleración del cuerpo pequeño se hace independiente de su masa, es decir todo los cuerpos caen con la misma aceleración.










\( \vec F=-\dfrac{Gm_am_b}{r^3}\vec r=\mu \vec a_{ab} \)


si\(  m_a>>m_b \)




\( -\dfrac{Gm_am_b}{r^3}\vec r=\mu \vec a_{ab}  \)




\( -\dfrac{Gm_am_b}{r^3}\vec r=m_b \vec a_{ab}  \)


\( -\dfrac{Gm_a}{r^3}\vec r=\vec a_{ab}  \)






El desarrollo mas completo para el calculo de una órbita plana  esta bien explicado en




https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_los_dos_cuerpos#La_%C3%B3rbita




 rescato que se arriba a






\( r  = \dfrac{ L^2 / Gm_a  }{ 1+  e\cos\theta}  \)




donde si \( e \)  es la excentricidad de la órbita








Si \( 0<e<1 \), la órbita es una elipse
Si \( e>1 \), la órbita es una hipérbola
Si \( e=1 \), la órbita es una parábola


o bien de acuerdo a \( r_p=a(1-e) \) y \( r_a=a(1-e) \)


de donde  \( e=\dfrac{r_a-r_p}{r_a+r_p}=\dfrac{r_a-r_p}{2a} \)


como vimos en punto anterior es posible obtener las velocidades de la órbita en cualquier punto conocida la distancia radial. Así  tenemos todos los valores para determinar la posición,velocidad y aceleración para un sistema de dos cuerpos analiticamente.




Si al sistema  Sol tierra , lo estudiamos como binario, despreciando  la masa de la luna,  pueden hallarse buenos resultados sin mucho error , puesto que la masa solar es mucho mayor que la de la tierra. del mismo modo   El modelo del sistema Tierra Luna funciona bien porque masa de la tierra es casi 80 veces la de la Luna. Entonces los centros de masas se ubican en el interior del cuerpo mas masivo. de ese modo si no ponemos en un  sistema de referencia inercial no vemos al solo rotar  sobre un punto . sino un leve bamboleo , no debido a la masa de la tierra sino a la masa de Jupiter, y la tierra también mueve su CM mas o menos de la mitad de su radio. Como estros movimientos son de periodo muy largos , no notamos ningún efecto en la vida diaria.


Por lo tanto si hacemos cálculos finos para enviar naves interplanetarias , no introduce demasiado error la velocidad del bamboleo, pero si quizá se necesite un pequeño ajuste por en la distancia , dependiendo de la posición de la luna al momento de lanzar, como las distancias astronómicas comparadas con el radio terrestre son muy grandes , el error porcentual sobre la distancia final, es varios ordenes inferior a la unidad.

[Richard R Richard]

13.   Puntos de Lagrange de un sistema  de tres cuerpos 
 
Se denomina puntos de Lagrange a los puntos del espacio donde al situar un objeto de masa despreciable \( m \) por ejemplo un satélite artificial , este permanece en posición estacionaria con respecto a otros 2 objetos de masa no despreciable \(  M_1 \) y \(  M_2 \). En estos puntos se verifica el equilibrio entre las fuerzas gravitatorias que ejercen la masas y la fuerza centrípeta de rotación de la órbita que describe el objeto respecto al centro de  masa del sistema \( M_1 \) - \( M_2 \) .


En la práctica sucede generalmente que uno de los dos cuerpos tiene una masa muy superior a la del otro llamaremos \( M_1 \) a este y \(  M_2 \) a la otra Ej masa del sol vs masa de la tierra o masa de la tierra vs masa de la luna.


\( M_1>M_2>>>m  \)


Si la masa de \( M_1 \) es muy grande con respecto a \( M_2 \) el centro de masas del conjunto \( M_{1-2} \) estará muy próximo al centro de masas de \( M_1 \), de ese modo la mayoría de los libros toman como origen del sistema de referencia al centro de masas de \( M_1 \), y no al centro de masas del conjunto, por el escaso error que se comete.


Primero presentaré la forma correcta o más precisa de determinarlo, aplicando la mecánica newtoniana y luego aplicaré varias aproximaciones, para simplificar el cálculo.


Llamaré


\(  a  \) a la distancia radial entre \( M_1 \) y \( M_2 \)


\(  b  \) a la distancia radial entre \( M_2 \) y el objeto \( m \)


\( v  \) a la relación entre ambas distancias \( v=\dfrac ba \)


\(  u  \) a la relación entre las masas \( u =\dfrac{M_2}{M_1} \)


La posición del centro de masas del conjunto \( M_{1-2} \) será
\( x_{cm}=\dfrac{a\cdot M_2}{M_1+M_2} \)


Hay 5 lugares físicamente posibles que presentan esa propiedad los que pasaré a describir. En particular este artículo lo dedicaré al punto de Lagrange L1 y para para los demás.
En otro blog de otra web ya tengo desarrollado el tema por lo que publicare solo el desarrollo para el punto de Lagrange L1, si surgen dudad debatimos( si esto incumple alguna norma del foro, elimino los links) y las otras pueden seguir los pasos en ese blog , su redirección es


Punto de Lagrange L1
 Punto de Lagrange L2
 Punto de Lagrange L3
 Punto de Lagrange L4 y L5
 
 Punto de Lagrange L1[/color][/size] [/font]


Sabemos que todo el sistema gira en torno al punto \( x_{cm} \) con una velocidad angular \( \omega \) que será la misma para los 3 objetos si mantienen posición estacionaria entre si, todos tendrán el mismo periodo de rotación \( T \)


\( \omega_{M_1}=\dfrac{V_{M_1}}{x_{cm}}=\omega_{M_2}=\dfrac{V_{M_2}}{a-x_{cm}}=\omega_{m}=\dfrac{V_{m}}{a-b-x_{cm}}=\omega_{M_1}=\dfrac{V_{M_1-M_2}}{a}=\dfrac{2\pi}T \)(1)


El primer punto de Lagrange se halla ubicado entre ambos objetos a una distancia \( b \) del objeto \( M_2 \) que es nuestra incógnita.
El equilibrio de fuerzas sobre el objeto \( m \) sera


\( -F_{1-m}+F_{2-m}+F_c=0 \)(2)


La Fuerza de atracción gravitatoria entre \( M_1 \) y \( m \)


\( F_{1-m}=\dfrac{GM_1m}{(a-b)^2} \)(3)


La Fuerza de atracción gravitatoria entre \( M_2 \) y \( m \)


\( F_{2-m}=\dfrac{GM_2m}{b^2} \)(4)
La fuerza centrípeta del objeto m con respecto al centro de masas


\( F_c=\dfrac{m V_m^2}{a-b-x_{cm}} \)(5)


reemplazando 3,4,5 en 2


\( -\dfrac{GM_1m}{(a-b)^2}+\dfrac{GM_2m}{b^2}+\dfrac{m V_m^2}{a-b-x_{cm}}=0 \)(6)


de aplicar la tercera ley de Kepler se desprende que


\( \omega^2=\dfrac{4\pi^2}{T^2}=\dfrac{M_1G} {a^3} \)(7)


a la vez de 1 se desprende que


\( V_m^2=\omega^2\cdot (a-b-x_{cm})^2 \)(8)


reemplazando 7 y 8 en 6 tenemos


\( -\dfrac{GM_1m}{(a-b)^2}+\dfrac{GM_2m}{b^2}+\dfrac{mGM_1(a-b-x_{cm})^2}{a^3(a-b-x_{cm})}=0 \)


luego podemos simplificar y reacomodar


\( \boxed{\dfrac{M_1}{(a-b)^2}-\dfrac{M_2}{b^2}-\dfrac{M_1(a-b-x_{cm})}{a^3}=0} \)(9)


Nuestra incógnita es la distancia \( b \) queda por delante por resolver una ecuación polinómica de grado 5, bastante difícil, pero no imposible, programas de cálculo dan solución inmediata, o podemos hacer aproximaciones que sean útiles a la para simplificar el cálculo.


Empecemos acomodando la ecuación 9 aproximando \(  x_{cm}=0 \)


\( \dfrac{M_1}{(a-b)^2}-\dfrac{M_2}{b^2}-\dfrac{M_1(a-b)}{a^3}=0 \)


reordenando


\( \dfrac{M_1}{(a-b)^3}-\dfrac{M_2}{b^2(a-b)}-\dfrac{M_1}{a^3}=0 \)


dividiendo todo por \( M_1 \) y reemplazando por la definición de \( u \)


\( \dfrac{1}{(a-b)^3}-\dfrac{u}{b^2(a-b)}-\dfrac{1}{a^3}=0 \)


multiplicando todo por \( a^3 \) y reemplazando por la definición de \( v \)


\( \dfrac{1}{(1-v)^3}-\dfrac{u}{v^2(1-v)}-1=0 \)(10)


por aproximaciones de Taylor podemos hacer


\( \dfrac{1}{(1-v)^3} \approx 1 + 3v \)


\( \dfrac{1}{(1-v)} \approx 1 + v \)


reemplazando en 13


\( 1 + 3v -\dfrac{u(1+v)}{v^2}-1\approx 0 \)


simplificando


\(  3v -\dfrac{u(1+v)}{v^2}\approx 0 \)


\( 3v \approx \dfrac{u(1+v)}{v^2} \)


\( 3v^3 \approx u(1+v) \)


cuanto mayor es la relación \( u \) mas proxima a 0 sera la relación \( v \) por lo que si miedo a cometer grandes errores podemos eliminarlo de la ecuación


\( 3v^3 \approx u \)


luego


\( v=\dfrac ba \approx \sqrt[3]{\dfrac u3}=\sqrt[3]{\dfrac {M_2}{3M_1}} \)


\( \boxed{b\approx a\sqrt[3]{\dfrac{ M_2}{3M_1}}} \)(11)


que es fácilmente calculable.


Ej con los siguientes datos


\( M_{sol}=1,9891\,10^{30} kg \)


\( M_{tierra}=5,9736\,10^{24} kg \)


\( D_{s-t}=149597870700 m \)


\( M_{luna}=7,349\,10^{22} kg \)


\( D_{t-l}=384400000 m \)


\( b_{L1s-t}\cong 1496504983,60m \mapsto \epsilon=0,338 \)%


\( b_{L1s-t}=1491449063,15m \)


\( b_{L1t-l}\cong 61528122,60 m \) con un gran error pues la masa de la luna, si bien es menor que la de la tierra, es lo suficientemente grande como para que al cambiarse la ubicación del centro de masas, genere gran error en el método de cálculo \(  \epsilon=6,67\% \)


\( b_{L1t-l}=57677987.73m \)


Lo importante de estos puntos de Lagrange, es que permiten órbitas bastante estables , y son fuente de innumerables experimentos por la posición privilegiada, L1 para estudiar el sol y a la tierra siempre soleada, L2 para estudiar el espacio en ausencia de luz solar etc para colocar antenas de retransmisión de datos, telescopios etc.

[Richard R Richard]

14.   Asistencia gravitatoria




La asistencia gravitatoria es una maniobra orbital, para reducir o aumentar la velocidad relativa de un cuerpo respecto de otro aprovechado la gravedad de un cuerpo celeste.
El funcionamiento es el siguiente se hace una aproximación de cohete a la vecindad del cuerpo celeste, escogiendo la trayectoria o bien por delante o por detrás del mismo, con el objeto que durante ese tiempo este le transfiera momento línea de su órbita, resultado por el cual se gana o pierde velocidad que servirá para alcanzar otras orbitas sin haber consumido combustible.
El mecanismo por el cual funciona es muy similar a una colisión elástica e bolas de billar. Como uno de los cuerpo es muy masivo, puede variar sobre el pequeño muy marcadamente su momento lineal, conservando la energía cinética de ese sistema.
Pero si el cohete lleva al inicio velocidad de escape superior, puede lograr tres cosas,
La primera salir despedido a mayor velocidad relativa de otros cuerpos celestes, Casos como las sondas Voyager, Viking para alcanza planetas exteriores.
La segunda es reducir la velocidad, pero mantenerse por encima de la de escape, por ejemplo para alcanzar órbitas más cercanas al sol, o para planetas interiores, ej. Parker solar Probe, marinero 10, Messenger etc.
La tercera, es realizar la captura de orbital, se trataría de una entrada en órbita al menos elíptica, sobre el cuerpo celeste, al reducir la velocidad por debajo de la de escape.


Como las fórmulas para la asistencia gravitacional se pueden derivar de las fórmulas de una colisión elástica, en las que tanto el momento como la energía cinética se conservan, por lo que para el cuerpo celeste con masa \(  M  \) y nuestro satélite o cohete de masa \(  m  \), y velocidades \(  u_1  \) y \(  u_2  \) antes de la colisión y \(  v_1  \) y \(  v_2  \) después de la colisión.
El momento lineal antes y después de la colisión se expresa mediante:


\( Mu_{1}+mu_{2}=Mv_{1}+m v_{2} \)


La energía cinética se expresa mediante


\(  \dfrac12 Mu_1 ^ 2 + \dfrac12 mu_2 ^ 2 = \dfrac12 Mv_1 ^ 2 + \dfrac12 mv_2 ^ 2  \)


Estas ecuaciones pueden resolverse para encontrar \(  v_1, v_2  \) cuando se conocen \(  u_1, u_2  \):


\( \begin {array} {ccc}v_1 & = & \displaystyle \frac {M-m} {M + m} u_1 + \frac {2m} {M + m} u_2 \\v_2 & = & \displaystyle \frac {2M} {M + m} u_1 + \frac {m-M} {M + m} u_2\end {array} \)


En el caso de una nave espacial que sobrevuela un planeta, la masa de la nave espacial (\(  m  \)) es insignificante en comparación con la de un planeta (\(  M  \)) (\(  m \ll M  \)), por lo que esto se reduce a:




\( \begin {array} {ccc}v_2 & \approx & -u_2 + 2 u_1 \\ v_1 & \approx & u_1\end {array} \)


Qué importancia tiene esto, en que se puede calcular muy bien el Angulo de entrada y el de salida, para que aunque cayendo el rendimiento de la asistencia, se mejore la precisión de la dirección, apuntando al siguiente objetivo de la trayectoria.
De estas fórmulas se puede analizar que cuando se entra por delante de del cuerpo masivo y se sale por detrás en relación al movimiento orbital, el resultado es que la velocidad  relativa respecto de ese marco es menor es decir un frenado. Y si se pasa por detrás se obtiene un incremento de velocidad.



El Delta v y la asistencia gravitatoria.


Podríamos pensar que luego de ser asistidos gravitacionalmente, cuando estemos próximos al objetivo, en la cercanía del apoastro de la última órbita obtenida, en acelera aplicando impulso tanto para alcanzar la órbita requerida. Debido al cambio de energía cinética por potencial, Pero esto es un error caro. Existe una forma de lograr la misma velocidad final pero con un coste menor.


Imaginemos la siguiente situación tenemos una cierta velocidad v de viaje  y necesitamos incrementa r la velocidad para llegar a un órbita externa para lo cual encendemos motores esto provoca la variación de energía cinética del cohete. Creando un cierto \( \Delta v \)


\( \Delta E = E_{f} - E_{i} = \dfrac{1}{2} (v + \Delta v)^{2} - \dfrac{1}{2} (v)^{2} = v \Delta v + \dfrac{(\Delta v)^2}{2} \)


Ahora bien, si observamos en detalle esta fórmula no dice que cuanto más rápido viaje nuestra nave más variación de energía cinética obtenemos aplicando el mismo \( \Delta v \), puesto que uno de los factores es proporcional a la velocidad inicial, y el otro es en común para todos los casos de aceleración
Y si observamos una órbita hiperbólica o elíptica alrededor de un cuerpo celeste hemos visto que en el perihelio tenemos la máxima velocidad. Luego si encendemos los motores  cuando estamos arribando al perihelio la variación de energía cinética será mucho mayor con el mismo \( \Delta v \)  en decir con el mismo consumo de combustible produciríamos mayor velocidad final. Este fenómeno se lo conoce como efecto Oberth.


Entonces la combinación de la asistencia gravitatoria con el efecto Oberth  es lo que se aplica en astronáutica para elevar o reducir la energía cinética de una nave para impulsarla a una órbita externa o interna utilizando mucho menos combustible.


Analicemos la siguiente paradoja. Las órbitas internas del sistema solar tienen mucha mayor velocidad tangencial que la de la Tierra y las externas menor velocidad, sin embargo para alcanzar una órbita interna más rápida nuestras naves deben frenar, y para alcanzar una más lenta deben acelerar.