[manooooh]

Hola!

Hallar las clases de equivalencia y el conjunto cociente de la relación de equivalencia \( R \) en \( \Bbb{R} \): \( xRy\iff x^3-x=y^3-y \).

En el conjunto cociente no deben repetirse clases.


Al plantear el gráfico de la relación me encuentro con un problema y es que no logro identificar la totalidad de las clases:

\( [a]=\{x\in\Bbb{R}\mid x^3-x=a^3-a\} \)

de donde resolviendo la ecuación para \( x \) me queda:

\[ [a]=\left\lbrace a,\frac{-a+\sqrt{4-3a^2}}{2},\frac{-a-\sqrt{4-3a^2}}{2}\right\rbrace, \]

el gráfico es la unión de la identidad y una elipse degenerada:

Al hallar la intersección, me encuentro con que es \[ x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}} \], pero yo no podría plantear que el conjunto cociente está formado por estas 3 clases:

- \[ [a]=\left\lbrace a,\frac{-a+\sqrt{4-3a^2}}{2},\frac{-a-\sqrt{4-3a^2}}{2}\right\rbrace \] si \[ a\in\left[0,\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \]
- \[ \left[\frac{1}{\sqrt{3}}\right]=\left\lbrace\left[\frac{1}{\sqrt{3}}\right]\right\rbrace \]
- \( [a]=\{a\} \) si \( a\in(\text{??},\infty) \)

porque creo que me estarían faltando nombrar algunos elementos, a saber:

No sé cómo representar ese intervalo (el intervalo azul lo grafiqué a ojo, no sé cómo hallarlo analíticamente).


Viendo la teoría, ésta dice:

Escribir la relación del tipo \( f(x)=f(y) \), graficar \( y=f(x) \), y luego mirar los elementos que tengan igual imagen, ellos van a estar relacionados. Por último, el conjunto de índices debe ser un intervalo en el que la función sea inyectiva.

No entiendo por qué tiene que ser inyectiva, y cómo proceder de esa manera.


Gracias!!
Saludos

AGREGADO
Aclarado

[Fernando Revilla]

Hallar las clases de equivalencia y el conjunto cociente de la relación de equivalencia \( R \) en \( \Bbb{R} \): \( xRy\iff x^3-x=y^3-y \).


Al plantear el gráfico de la relación me encuentro con un problema y es que no logro identificar la totalidad de las clases: \( [a]=\{x\in\Bbb{R}\mid x^3-x=a^3-a\} \) de donde resolviendo la ecuación para \( x \) me queda: \[ [a]=\left\lbrace a,\frac{-a+\sqrt{4-3a^2}}{2},\frac{-a-\sqrt{4-3a^2}}{2}\right\rbrace, \]

¡Pero si ya lo tienes! La relación es en \( \mathbb{R} \) no en \( \mathbb{R}^2 \). El conjunto cociente es simplemente

        \( \mathbb{R}/R=\left\{\{a,\frac{-a+\sqrt{4-3a^2}}{2},\frac{-a-\sqrt{4-3a^2}}{2}\}:a\in \mathbb{R}\right\} \).

[manooooh]

Hola Fernando! Cuánto tiempo que no manteníamos una conversación, espero que te encuentres bien

¡Pero si ya lo tienes! La relación es en \( \mathbb{R} \) no en \( \mathbb{R}^2 \). El conjunto cociente es simplemente

        \( \mathbb{R}/R=\left\{\{a,\frac{-a+\sqrt{4-3a^2}}{2},\frac{-a-\sqrt{4-3a^2}}{2}\}:a\in \mathbb{R}\right\} \).

Pero... allí estaríamos diciendo por ejemplo que la clase del \( 1/\sqrt3 \) tiene \( 3 \) elementos, pero sólo tiene 1. Y además se nombrarían clases distintas cuando en realidad son la misma. Por eso se debe restringir el \( a \), creo que lo agregado en rojo puede ayudar.

Saludos

[Fernando Revilla]

Pero... allí estaríamos diciendo por ejemplo que la clase del \( 1/\sqrt3 \) tiene \( 3 \) elementos, pero sólo tiene 1. Y además se nombrarían clases distintas cuando en realidad son la misma. Por eso se debe restringir el \( a \), creo que lo agregado en rojo puede ayudar.

¿Cuánto elementos tiene por ejemplo el conjunto \( \left\{{1,1,2}\right\} \)? Claramente dos. No es problema tuyo el que en algún caso dos (o más) elementos se repitan. Otra cuestión es que el problema preguntara ¿cuántos elementos tiene cada clase de equivalencia? Tendrías que distinguir las que tienen menos de tres.

[manooooh]

Hola

¿Cuánto elementos tiene por ejemplo el conjunto \( \left\{{1,1,2}\right\} \)? Claramente dos. No es problema tuyo el que en algún caso dos (o más) elementos se repitan. Otra cuestión es que el problema preguntara ¿cuántos elementos tiene cada clase de equivalencia? Tendrías que distinguir las que tienen menos de tres.

Bueno, hay que hacerse esa pregunta. No deben repetirse clases en el conjunto cociente. Perdón por no haberlo notado.

Saludos

[Fernando Revilla]

Perdón por no haberlo notado.

De perdón nada. Tal como está redadctado el problema, puedes dejar la solución como te dije.

[manooooh]

Hola

De perdón nada. Tal como está redadctado el problema, puedes dejar la solución como te dije.

Lo agregado en rojo es una ayuda para resolver el ejercicio.

Gracias y saludos

[Fernando Revilla]

Lo agregado en rojo es una ayuda para resolver el ejercicio.

No vale, ver siguientes mensajes.

Claro, pero entonces lo que te pide el problema es una representación gráfica del conjunto cociente. La gráfica de \( y=x^3-x \) la tienes aquí. Si trazas la recta horizontal \( y=a \), los puntos de corte con la gráfica \( (x_1,a),(x_2,a),\ldots \) satisfacen \( x_1^3-x_1=a^3-a, x_2^3-x_3=a^3-a,\ldots \) con lo cual \( x_1Rx_2,\ldots \) y para ciertos valores de \( a \) la clase es \( [a]=\{x_1,x_2,x_3\} \) (tres elementos), y esto ocurre cuando \( a \) está comprendido entre los extremos locales.

Para otros (fíjate en la tangente en cada extremo local) tenemos \( [a] \) con dos elementos, y para las rectas \( y=a \) por encima o por debajo de los extremos (i.e. la función es inyectiva), \( [a] \) contiene un único elemento.

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

Claro, pero entonces lo que te pide el problema es una representación gráfica del conjunto cociente. La gráfica de \( y=x^3-x \) la tienes aquí. Si trazas la recta horizontal \( y=a \), los puntos de corte con la gráfica \( (x_1,a),(x_2,a),\ldots \) satisfacen \( x_1^3-x_1=a^3-a, x_2^3-x_3=a^3-a,\ldots \) con lo cual \( x_1Rx_2,\ldots \) y para ciertos valores de \( a \) la clase es \( [a]=\{x_1,x_2,x_3\} \) (tres elementos), y esto ocurre cuando \( a \) está comprendido entre los extremos locales.

Para otros (fíjate en la tangente en cada extremo local) tenemos \( [a] \) con dos elementos, y para las rectas \( y=a \) por encima o por debajo de los extremos (i.e. la función es inyectiva), \( [a] \) contiene un único elemento.

¿No has mezclado ahí dos puntos de vista posibles para describir el conjunto cociente?.

 -  Una opción es como dices trazar las rectas \( y=a \), pero entonces los puntos de corte lo que satisfacen es \( x_i^3-x_i=a \) y no \( x_i^3-x_i=a^3-a \). Y esos tres puntos de corte no serían la clase de \( a \) sino la clase de un \( x \) verificando \( x^3-x=a \). La ventaja de esa representación es que \( a_{es} \) distintas representan clases distintas; el inconveniente es que explicitar los valores que cumplen \( x^3-x=a \) es feo.

- Otra opción es trazar las rectas \( y=a^3-a \) y entonces es el punto de vista que ponías en los mensajes anteriores. Entonces las soluciones de \( x^3-x=a^3-a \) si son los elementos de la clase de \( a \). El único inconveniente (si se considera como tal) es que distintos valores de \( a \) pueden representar la misma clase. Esto podría evitarse restringiendo los valores de \( a \). La ventaja es que las soluciones de \( x^3-x=a^3-a \) son más amables de escribir.

Saludos.

[Fernando Revilla]

¿No has mezclado ahí dos puntos de vista posibles para describir el conjunto cociente?.
 -  Una opción es como dices trazar las rectas \( y=a \), pero entonces los puntos de corte lo que satisfacen es \( x_i^3-x_i=a \) y no \( x_i^3-x_i=a^3-a \). Y esos tres puntos de corte no serían la clase de \( a \) sino la clase de un \( x \) verificando \( x^3-x=a \). La ventaja de esa representación es que \( a_{es} \) distintas representan clases distintas; el inconveniente es que explicitar los valores que cumplen \( x^3-x=a \) es feo.
- Otra opción es trazar las rectas \( y=a^3-a \) y entonces es el punto de vista que ponías en los mensajes anteriores. Entonces las soluciones de \( x^3-x=a^3-a \) si son los elementos de la clase de \( a \). El único inconveniente (si se considera como tal) es que distintos valores de \( a \) pueden representar la misma clase. Esto podría evitarse restringiendo los valores de \( a \). La ventaja es que las soluciones de \( x^3-x=a^3-a \) son más amables de escribir.

Sí, así es. El asunto está en que el conjunto cociente \( \mathbb{R}/R=\left\{\{a,\frac{-a+\sqrt{4-3a^2}}{2},\frac{-a-\sqrt{4-3a^2}}{2}\}:a\in \mathbb{R}\right\} \) está completamente definido, y yo lo hubiera dejado tal como está. Claro que para distintos valores de \( a \) proporcionan la misma clase, pero yo no lo veo inconveniente (tal como dices).

No sé si ententiendo bien la cuestión gráfica que plantea manooooh, cosa que no pide el problema, pero en cualquier caso  la representación gráfica no es muy visualizable en contraposición con casos en los cuales cada clase es una circunferencia, una hipérbola, etc. Lo que si es claro es que se puede según los valores de \( a \) especificar el número de representantes de cada clase \( [a] \).