Hola, veo que has ampliado en el Spoiler la velocidad de propagación, para incluir la onda transversal.
Planteo mi solución para la velocidad de propagación de una onda transversal en un muelle de constante \( K \) y longitud fija \( L \) y longitud de equilibrio (longitud natural ) \( L_o
\)
Cuando tensamos el muelle y lo fijamos en los extremos, la fuerza externa F para tensar el muelle es igual a la propia
tensión del muelle T en cada uno de sus puntos, de modo que \( F = T
\)
Al perturbar el muelle ( desplazando
muy poco* cualquier punto perpendicularmente a su eje), ya cada elemento \( dl \) de longitud cerca de la perturbación deja de estar en equilibrio de fuerzas, (ver dibujo)
Para el elemento diferencial , descomponiendo las ecuaciones de Newtón en x (dirección del muelle) e y ( transversal y dirección de la perturbación)
\( F_x-T_x=dm a_x \) (1)
\( F_y-T_y=dm a_y \) (2)
Ahora como vemos en el dibujo las componentes x e y de la tensión y de la fuerza no tienen por que coincidir , ya que los ángulos de estas fuerzas con la hotizontal son distintos, ( \( \theta \) y \( \theta + d \theta \), respectivamente), pero en módulo siguen siendo iguales \( F=T \)
\( F\cos (\theta + d \theta)-F\cos \theta =dm a_x \) (1)
\( F\sen (\theta + d \theta)-F\sen \theta =dm a_y \) (2)
Si suponemos la perturbación muy pequeña \( \displaystyle\frac{\Delta y}{L}<<1 \), es decir la amplitud de la perturbación muy pequeña respecto de la longitud del muelle.
Podemos ver que \( \theta<<1 \) y \( \theta + d \theta<<1 \) y por tanto \( \sen \theta\approx{}\tan \theta\approx{\theta} \) , \( \cos \theta\approx{}1 \) , quedando:
\( 0=dm a_x \) (1)
\( F\theta + Fd \theta -F \theta =dm a_y \)
\( Fd \theta =dm a_y \) (2)
La variación del ángulo \( d \theta \) , podemos suponer que se hace a lo largo del eje "x" ya que \( dy<<dx \)
Por tanto \( d \theta=\dfrac{{\partial \theta}}{{\partial x}}dx \)
Introduciendo esta en (2) y teniendo en cuenta que \( y=f(t,x) \)
\( F\dfrac{{\partial \theta}}{{\partial x}}dx =\dfrac{{\partial ^2 y}}{{\partial t^2}}dm \) (3)
La fuerza que se hizo para estirar el muelle es \( F=k(L-L_o) \) (4)
Solo falta relacionar \( \theta \) con \( y \) , esto lo podemos hacer a través de la tangente en el elemento \( dm \)
\( \tan \theta =\dfrac{{\partial y}}{{\partial x}}\approx{}\theta \) (5)
Sustituyendo (4) y(5) en (3) y entendiendo que \( dm=\rho S dx \)
Obtenemos: \( k(L-L_o)\dfrac{{\partial ^2 y}}{{\partial x^2}}=\rho S \dfrac{{\partial ^2 y}}{{\partial t^2}} \)
y como la densidad utilizada en \( dm \) es cuando el muelle ya se estiro una longitud \( L \) , tenemos que \( \rho=\displaystyle\frac{m}{SL} \)
Por último: \( \displaystyle\frac{k(L-L_o)L}{m}\dfrac{{\partial ^2 y}}{{\partial x^2}}=\dfrac{{\partial ^2 y}}{{\partial t^2}} \)
de donde \( v_t=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{k(L-L_o)L}{m}} \)
Saludos.
