[manooooh]

Hola!

Marcar la opción correcta. Si \( f(t)=\sin^2(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \), entonces:

a) \( A\neq B \)
b) \( A=B \)
c) \( C=0 \)
d) \( Y=0 \)

(aquí intuyo que \( t>0 \))


Este ejercicio debería ser resuelto dentro de alguno de los siguientes temas:

- Series y transformadas de Fourier
- Transformada de Laplace
- Función de transferencia y sistemas estables
- Señales discretas y transformada \( \mathcal{Z} \)

En particular, yo creo que puede tener que ver con transformada de Laplace y/o fasores, pero no sé... ¿Me ayudan?

Lo que intenté fue:

Respuesta: a). Justificación: Supongamos por el absurdo que \( A=B \). Luego \( \sin^2(t)=\overbrace{X\sin(At)}^{(1)}+Y\cos(At+C) \). Sabemos que \( \cos(t)=\sin(t+\pi/2) \), luego \( Y\cos(At+C)=\overbrace{Y\sin(At+C+\pi/2)}^{(2)} \).

Pero entonces tendríamos que \( (1)+(2) \) es igual a una función senoidal \( \sin^2(t) \), lo cual en general no es cierto pues no siempre la suma de dos funciones senoidales es otra senoidal. Contradicción. Por tanto, \( A\neq B \).


¿Es correcto? ¿Cómo lo harían o cómo descartarían las opciones incorrectas?

¿Qué tiene que ver mi justificación (si fuera correcta) con alguno de los temas mencionados más arriba?

Gracias!!
Saludos

[geómetracat]

Pues yo diría que son todas falsas. Me parece que es imposible que se dé la igualdad:
\( \sin^2(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \).

Corregido.

[Luis Fuentes]

Hola

Pues yo diría que son todas falsas. Me parece que es imposible que se dé la igualdad:
\( \sin^2(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \).

Estoy de acuerdo; pero entonces curiosamente serían todas verdaderas.

Saludos.

[ancape]

Pues yo diría que son todas falsas. Me parece que es imposible que se dé la igualdad:
\( \sin^2(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \).

No pueden ser todas falsas o todas verdaderas puesto que a) y b) son complementarias

[geómetracat]

Tiene Luis razón, son todas verdaderas si lo tomas como un condicional "si se cumple que
\( f(t)=\sin^2(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \), entonces ...", por el hecho de que una implicación con el antecedente falso es siempre verdadera.

[manooooh]

Hola

Muchas gracias por sus respuestas!!

A falta de más información creo que todos pensamos que las letras son constantes numéricas, no  funciones que dependen de \( t \). ¿No se puede escribir \( \sin^2(t) \) como suma finita de seno y coseno? ¿Será fácil de justificar?

Saludos

[ingmarov]

Hola

...
¿No se puede escribir \( \sin^2(t) \) como suma finita de seno y coseno? ¿Será fácil de justificar?
...

Una idea, a ver si te sirve.

Creo que se podría justificar mediante la teoría de series de Fourier y las funciones pares. La suma de dos funciones pares resulta en una función par, la suma de dos funciones impares resulta en una función impar, etc.

Saludos

[ancape]

Tiene Luis razón, son todas verdaderas si lo tomas como un condicional "si se cumple que
\( f(t)=\sin^2(t)=X\sin(At)+Y\cos(Bt+C) \), entonces ...", por el hecho de que una implicación con el antecedente falso es siempre verdadera.

Es la primera vez que oigo que una proposición con antecedente falso es siempre verdadera. Con esa premisa, si es así, podré demostrar montones de teoremas que tengo pendientes.

Un saludo

[ancape]

Creo que la clave del problema está en la frase 'Marcar la opción correcta'. El artículo 'la' debe indicarnos que sólo hay una respuesta correcta, (las opciones a y b complementarias sugieren lo mismo aunque no pueden afirmarlo). Aunque no dicen nada, suponemos que A,B,C,X,Y no dependen de t pues si, por ejemplo, podemos tomar A=1, X=sin(t) el problema es trivial.
Derivamos un par de veces y sustituimos en t=0. Se obtiene que debe ser

\( YCos(C) = 0 \)
\( AX-BYSin(C) = 0 \)
\( -A^2X-B^2YCos(C)=2 \)

De estas tres ecuaciones deducimos fácilmente que \( Y\neq0,C\neq0 \), esto es, c) y d) son falsas, es más \( C=Pi/2+kPi \). Sólo queda ver si \( A=B \) o \( A\neq B \)

Saludos

[Fernando Revilla]

Es la primera vez que oigo que una proposición con antecedente falso es siempre verdadera. Con esa premisa, si es así, podré demostrar montones de teoremas que tengo pendientes.

El problema que tendrías es que si \( P \) es falsa tanto \( P\rightarrow{Q} \) como \( P\rightarrow{\neg Q} \) serían verdaderas lo cual no te da información acerca de si \( Q \) es verdadera o no.