[ciberalfil]

Tengo actualmente tres programas en ejecución:

Uno que cuenta números primos menores o iguales que uno dado \( n \), al contador lo llamaré \( c_1 \).
Otro que cuenta el número de pares gemelos hasta uno dado \( n \), al contador lo llamaré \( c_2 \).
Y otro que cuenta el número de pares primos cuya suma es un par dado, \( n \), al contador lo llamaré \( c_3 \)

En los tres se calcula el parámetro:

\( \displaystyle d_i=Log_n(c_i)=\frac{log(c_i)}{log(n)} \)

y en los tres programas dicho parámetro 'parece estabilizarse' alrededor de un determinado valor, al crecer \( n \), valor que resulta ser en cada caso:

[

\( d_1\sim{}0,85 ...\quad\Rightarrow{}\quad c_1\sim{}\displaystyle n^{0'85 ...} \)

\( d_2\sim{}0,71 ...\quad\Rightarrow{}\quad c_2\sim{}n^{0'71 ...} \)

\( d_3\sim{}0,60 ...\quad\Rightarrow{}\quad c_3\sim{}n^{0'60 ...} \)

¿Tiene esto algún sentido para vosotros?

Salu2.

[geómetracat]

Sobre el primero (el de los primos menores que un número dado), en el límite \( n \to \infty \) se tiene \( d_1=1 \). Esto se sigue del teorema de los números primos:
\[ \lim_n \frac{\pi(n)}{n/log(n)}=1 \]
donde \( \pi(n) \) es el número de primos menores o iguales que \( n \).
Probablemente sea un tema de convergencia lenta. He calculado el valor para \( 10^{27} \) (sacado de la wikipedia inglesa) y da \( 0.933... \).

Para los otros dos casos a bote pronto no se me ocurre nada a nivel teórico (pero en temas de teoría analítica de números soy muy ignorante, así que no quiere decir que no se sepa calcular).  Aunque no me extrañaría que pase un fenómeno semejante. O bien que realmente se estabilice en un valor menor que \( 1 \), lo cual sería interesante.

[ciberalfil]

Si conozco el teorema de los números primos, pero me gustaría ver una demostración (en castellano si puede ser, mi inglés deja bastante que desear) ¿Puedes pasarme un enlace o un documento con la demostración?

Por otro lado usando dicho teorema tendríamos que:

\( \displaystyle\pi(n)\sim{}\frac{n}{log (n)}\quad\Rightarrow{}\quad \lim_{n \to\infty}{log_n(\pi(n))}= 1-\lim_{n\to\infty}{log_n(log(n))}=1-\lim_{n \to\infty}{\frac{log(log(n))}{log(n)}}=1 \)

que traducido a la nomenclatura de mi programa sería:

\( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}{d_1}=\lim_{n \to\infty}{log_n\ c_1}=1\neq 0'85 ... \)

¿Te parece correcto?



Gracias.

[geómetracat]

Si conozco el teorema de los números primos, pero me gustaría ver una demostración (en castellano si puede ser, mi inglés deja bastante que desear) ¿Puedes pasarme un enlace o un documento con la demostración?

Hay varias demostraciones, pero ninguna es trivial. La original usaba bastante análisis complejo. Hay otra de Erdös que es "elemental" (en el sentido de que no usa análisis complejo) pero es bastante complicada. Finalmente hay una prueba analítica de Newman bastante corta (comparada con las demás) que usa algo de análisis complejo pero bastante menos que la original. Sobre referencias, he encontrado esto en castellano sobre la prueba de Newman que a priori parece estar bastante bien:
https://miscelaneamatematica.org/welcome/default/download/tbl_articulos.pdf

Por otro lado usando dicho teorema tendríamos que:

\( \displaystyle\pi(n)\sim{}\frac{n}{log (n)}\quad\Rightarrow{}\quad \lim_{n \to\infty}{log_n(\pi(n))}= 1-\lim_{n\to\infty}{log_n(log(n))}=1-\lim_{n \to\infty}{\frac{log(log(n))}{log(n)}}=1 \)

que traducido a la nomenclatura de mi programa sería:

\( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}{d_1}=\lim_{n \to\infty}{log_n\ c_1}=1\neq 0'85 ... \)

¿Te parece correcto?

Sí, justo eso hice yo.

[ciberalfil]

Muchas gracias geometracat.

Es posible que los otros dos límites, \( d_2 \) y \( d_3 \), haya que cambiarlos pero parecería lógico pensar que sean valores inferiores a 1 ya que aunque los tres contadores cuentan números primos en los dos últimos casos son muchos menos primos que en el primero, que los cuenta todos.

[geómetracat]

Es posible que los otros dos límites, \( d_2 \) y \( d_3 \), haya que cambiarlos pero parecería lógico pensar que sean valores inferiores a 1 ya que aunque los tres contadores cuentan números primos en los dos últimos casos son muchos menos primos que en el primero, que los cuenta todos.

Sí, llevas razón. De hecho, una observación sobre el segundo caso es que, si hubiera un número finito de primos gemelos (cosa no descartable, pero yo diría que poco probable), sería \( d_2=0 \). De todas maneras, aunque haya infinitos, la serie de los recíprocos converge, a diferencia de la de los recíprocos de todos los primos. Esto quiere decir que crece mucho más lentamente que los primos. Quizás usando esto se podría dar una cota superior teórica para \( d_2 \), no sé.

Sobre el tercer caso la cosa es más dudosa. Por ejemplo, a priori no veo ningún motivo por el que deba tener un límite definido y no sea oscilante, de manera que conforme vas aumentando \( n \) par haya algunos que se puedan escribir como suma de primos de muchas formas distintas y otros de pocas.

[ciberalfil]

Casi completamente de acuerdo. La cota superior  para \( d_2 \), la de los pares gemelos, debe existir y quizás podría utilizarse el hecho de cuando existen siempre son de la forma \( 6\times{}n\pm{}1 \). Aunque no se me ocurre mucho mas.

Respecto a la conjetura de Goldbach, \( d_3 \), sí es cierto que la sucesión \( c_3 \) parece oscilar y podría ocurrir que no tuviera límite, aunque la pinta es la de mantenerse acotada entre dos valores, en el entorno de 0'6. Podrían obtenerse las cotas superior e inferior:

\( m<d_3<M \)

Se me ocurre en primer lugar intentar obtener el valor medio de \( d_3 \), y puedo aproximarlo con programación, para ver si se puede obtener el centro de oscilación, y a partir de ahí tratar de obtener dichas cotas. Me pongo a ello.

Salu2.

[ciberalfil]

Tengo una pregunta, a ver. Si el teorema de los números primos es cierto, que lo es porque está demostrado, entonces:

\( \displaystyle\pi(n)\sim{}\frac{n}{log\ n}=\frac{log \ e^n}{log\ n}=log_n\ e^n=n\ log_n\ e \)

Pero si llamamos \( \gamma(n) \) a los números compuestos hasta \( n \) entonces debe cumplirse que:

\( \displaystyle \gamma(n)+\pi(n)=n\quad\Rightarrow{}\quad \gamma(n)+log_n\ e^n\sim{}n=log_n\ n^n\quad\Rightarrow{}\quad \gamma(n)\sim{}log_n\ n^n-log_n\ e^n=log_n \left(n/e \right)^n=n\ log_n\left(n/e\right) \)

Conclusión:

\( \displaystyle\pi(n)\sim{}\frac{n}{log\ n}\quad\Rightarrow{}\quad\pi(n)\sim{}n\ log_n\ e\quad\Rightarrow{}\quad \gamma(n)\sim{}n\ log_n \left(n/e \right) \)

y de aquí podemos razonar que:

\( \displaystyle\frac{\gamma(n)}{\pi(n)}\sim{}\frac{n\ log_n\ (n/e)}{n\ log_n e}=log\ n -1\sim{}\log\ n \)

¿Es correcto mi razonamiento?

Salu2

[feriva]

Tengo una pregunta, a ver. Si el teorema de los números primos es cierto, que lo es porque está demostrado, entonces:

\( \displaystyle\pi(n)\sim{}\frac{n}{log\ n}=\frac{log \ e^n}{log\ n}=log_n\ e^n=n\ log_n\ e \)

Pero si llamamos \( \gamma(n) \) a los números compuestos hasta \( n \) entonces debe cumplirse que:

\( \displaystyle \gamma(n)+\pi(n)=n\quad\Rightarrow{}\quad \gamma(n)+log_n\ e^n\sim{}n=log_n\ n^n\quad\Rightarrow{}\quad \gamma(n)\sim{}log_n\ n^n-log_n\ e^n=log_n \left(n/e \right)^n=n\ log_n\left(n/e\right) \)

Conclusión:

\( \displaystyle\pi(n)\sim{}\frac{n}{log\ n}\quad\Rightarrow{}\quad\pi(n)\sim{}n\ log_n\ e\quad\Rightarrow{}\quad \gamma(n)\sim{}n\ log_n \left(n/e \right) \)

¿Es correcto mi razonamiento?

Salu2

Pues es muy de noche y yo hasta de día meto la pata, como sabes, pero me parece que las cuentas están bien.

Buenas noches.

[ciberalfil]

Añadí un párrafo más después de llegar tu mensaje, feriva. De todos modos ...

Gracias