Una alternativa que no requiere topología algebraica es usar la diferenciabilidad.
Considera una parametrización \( \phi: U \to S \subseteq \Bbb R^3 \), con \( U \) abierto de \( \Bbb R^2 \). Como \( S \) es regular, \( \phi \) es una inmersión de un abierto de \( \Bbb R^2 \) en \( \Bbb R^3 \). Pero hay un teorema que te dice que localmente (tal vez reduciendo \( U \) y cambiando coordenadas en dominio y llegada) \( \phi \) es de la forma \( \phi(x,y)=(x,y,0) \), de forma que la imagen no contiene ningún abierto de \( \Bbb R^3 \).
Esto requiere conocer el teorema de la forma local de las inmersiones, que no es muy complicado (básicamente es usar el teorema de la función implícita) pero que no sé si conocerás. No se me ocurre una manera completamente elemental de probarlo, pero esta es la más sencilla que se me ocurre.
Con más maquinaria, otra prueba casi inmediata es usar el teorema de Sard: si tienes \( \phi:U \to \Bbb R^3 \) diferenciable, con \( U \subseteq \Bbb R^2 \) abierto, el conjunto de valores críticos de \( \phi \) es \( \phi(U) \), que es de medida nula por el teorema de Sard. Así, no puede contener ningún abierto de \( \Bbb R^3 \).
