Hola. ¿Cómo andan?
Estoy con la práctica de vectores y valores propios y no puedo con un ejercicio:
Se define la sucesión {\( a_n \)}\( _{n\in{N_o}} \) de la siguiente manera:
\begin{cases} a_o=4, a_1=9 \\ a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n\\\end{cases}
i) Sea \( A=\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-6}&{5}\end{pmatrix} \). Verificar que, para cada \( n\in{N_o} \). \( A\begin{pmatrix}a_n\\{a_{n+1}}\\\end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix}a_{n+1}\\{a_{n+2}}\\\end{pmatrix} \)
ii)Probar que, para todo \( n\in{N_o} \), \( A^n\begin{pmatrix}{4}\\{9}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_n\\{a_{n+1}}\\\end{pmatrix} \)
iii) Encontrar un matriz inversible \( P \) tal que \( PAP^{-1} \)sea diagonal.
iv) Hallar la fórmula general para el término \( a_n, \forall{n\in{N_o}} \)
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Los puntos i y iii son sencillos. Los dejo por si ayudan con los otros. Para el ii), y como es una guía de valores y vectores propios, pensé en expresar la matriz \( A=PDP^{-1} \). Al hacer \( A^n\begin{pmatrix}{4}\\{9}\\\end{pmatrix} \), llego a una matriz que, n a n, me da correcto, pero no sé cómo probarlo para todo n. Dejo la matriz a la que llegué por si sirve:
\( A^n\begin{pmatrix}{4}\\{9}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{3·2^n+3^n}\\{3·2^{n+1}+3^{n+1}}\\\end{pmatrix} \)
Pensé en hacerlo por inducción. Para \( a_o \) lo cumple. Luego, si es cierto para \( n \), verifico si es cierto para \( n+1 \). El primer término de la matriz me da \( a_{n+1} \), pero ¿puedo estar seguro que el segundo es el siguiente término de la sucesión?
Y en el apartado iv), asumo que no tengo que despejar \( a_n \) de la expresión de más arriba, si no alguna otra cosa, pero no sé qué otra cosa.
Muchas gracias.
Edito: para el apartado ii), se me ocurrió reemplazar los \( a_n, a_{n+1}, a_{n+2} \) en la ecuación que me dan al principio y da todo bien, pero si alguien me puede decir si es la forma correcta o si hay otra se lo agradezco.
Edito - 2: mientras que pasaba en limpio me di cuenta que la expresión de \( a_n \) esta en la matriz \begin{pmatrix}{3·2^n+3^n}\\{3·2^{n+1}+3^{n+1}}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{a_n}\\{a_{n+1}}\\\end{pmatrix}. Si todo es correcto, me respondí a mi propia pregunta jajaja pero supongo que es mejor porque pude resolverlo yo sólo. Voy a ver si puedo eliminar el post porque me parece que no tiene sentido que este.
