Autor Tema: Valores y vectores propios.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

02 Octubre, 2020, 04:14 am
Leído 151 veces

jorge_nunez

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 42
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
Hola. ¿Cómo andan?

Estoy con la práctica de vectores y valores propios y no puedo con un ejercicio:

Se define la sucesión {\( a_n \)}\( _{n\in{N_o}} \) de la siguiente manera:
\begin{cases} a_o=4, a_1=9 \\ a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n\\\end{cases}

i) Sea \( A=\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-6}&{5}\end{pmatrix} \). Verificar que, para cada \( n\in{N_o} \). \( A\begin{pmatrix}a_n\\{a_{n+1}}\\\end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix}a_{n+1}\\{a_{n+2}}\\\end{pmatrix} \)
ii)Probar que, para todo \( n\in{N_o} \), \( A^n\begin{pmatrix}{4}\\{9}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_n\\{a_{n+1}}\\\end{pmatrix} \)

iii) Encontrar un matriz inversible \( P \) tal que \( PAP^{-1} \)sea diagonal.

iv) Hallar la fórmula general para el término \( a_n, \forall{n\in{N_o}} \)
------------
Los puntos i y iii son sencillos. Los dejo por si ayudan con los otros. Para el ii), y como es una guía de valores y vectores propios, pensé en expresar la matriz \( A=PDP^{-1} \). Al hacer \( A^n\begin{pmatrix}{4}\\{9}\\\end{pmatrix} \), llego a una matriz que, n a n, me da correcto, pero no sé cómo probarlo para todo n. Dejo la matriz a la que llegué por si sirve:

\( A^n\begin{pmatrix}{4}\\{9}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{3·2^n+3^n}\\{3·2^{n+1}+3^{n+1}}\\\end{pmatrix} \)

Pensé en hacerlo por inducción. Para \( a_o \) lo cumple. Luego, si es cierto para \( n \), verifico si es cierto para \( n+1 \). El primer término de la matriz me da \( a_{n+1} \), pero ¿puedo estar seguro que el segundo es el siguiente término de la sucesión?

Y en el apartado iv), asumo que no tengo que despejar \( a_n \) de la expresión de más arriba, si no alguna otra cosa, pero no sé qué otra cosa.

Muchas gracias.

Edito: para el apartado ii), se me ocurrió reemplazar los \( a_n, a_{n+1}, a_{n+2} \) en la ecuación que me dan al principio y da todo bien, pero si alguien me puede decir si es la forma correcta o si hay otra se lo agradezco.

Edito - 2: mientras que pasaba en limpio me di cuenta que la expresión de \( a_n \) esta en la matriz \begin{pmatrix}{3·2^n+3^n}\\{3·2^{n+1}+3^{n+1}}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{a_n}\\{a_{n+1}}\\\end{pmatrix}. Si todo es correcto, me respondí a mi propia pregunta jajaja pero supongo que es mejor porque pude resolverlo yo sólo. Voy a ver si puedo eliminar el post porque me parece que no tiene sentido que este.

02 Octubre, 2020, 06:03 am
Respuesta #1

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,900
  • País: hn
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Tenemos     \[ A=\begin{pmatrix}{0}&{1}\\{-6}&{5}\end{pmatrix} \]

El polinomio característico de A es \[ P(\lambda)=-\lambda (5-\lambda)+6=\lambda^2-5\lambda +6=(\lambda-2)(\lambda-3) \]

Tenemos los valores propios 2, 3

Calculamos los vectores propios, resultan

\[ \vec{v_1}=\begin{pmatrix}{1}\\{2}\end{pmatrix} \]         \[ \vec{v_2}=\begin{pmatrix}{1}\\{3}\end{pmatrix} \]

Las columnas de \[ P^{-1} \]  Son estos vectores.


Puedes ver ejemplos de diagonalización en los siguientes enlaces:

http://fernandorevilla.es/blog/2014/06/22/diagonalizacion-ortogonal/

http://fernandorevilla.es/blog/2014/07/19/forma-canonica-de-jordan/


... Voy a ver si puedo eliminar el post porque me parece que no tiene sentido que este.

No debes hacer esto, va contra las reglas .


Saludos

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

02 Octubre, 2020, 09:24 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,123
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

 Sólo una observación, el punto (ii) es consecuencia inmediata (no hace falta hallar \( A^n \)) de (i) y se prueba por inducción.

Para \( n=0 \) se tiene que:

\( A^0\begin{pmatrix}{4}\\{9}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{4}\\{9}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_0\\{a_{1}}\\\end{pmatrix} \)

Supuesto cierto para \( n \), para \( n+1 \) se tiene:

\( A^{n+1}\begin{pmatrix}{4}\\{9}\\\end{pmatrix}=AA^n\begin{pmatrix}{4}\\{9}\\\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}a_n\\{a_{n+1}}\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{n+1}\\{a_{n+2}}\\\end{pmatrix} \)

donde en la segunda igualdad usamos la hipótesis de inducción y en la tercera (i).

Saludos.


02 Octubre, 2020, 05:57 pm
Respuesta #3

jorge_nunez

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 42
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
Muchas gracias a los dos por las respuestas.

Ingmarov: sisi. Diagonalización no se me dificulta. El apartado iii fue sencillo.

Luis Fuentes: claro, es mucho más sencillo así.

Saludos.

02 Octubre, 2020, 11:17 pm
Respuesta #4

ingmarov

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,900
  • País: hn
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
...
Ingmarov: sisi. Diagonalización no se me dificulta. El apartado iii fue sencillo.

...

Ah perdón, había leído que no tenías problemas con I y II.


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

03 Octubre, 2020, 05:56 am
Respuesta #5

jorge_nunez

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 42
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
...
Ingmarov: sisi. Diagonalización no se me dificulta. El apartado iii fue sencillo.

...

Ah perdón, había leído que no tenías problemas con I y II.


Saludos

No hay drama. Se agradece la intención.

Saludos.