[jorge_nunez]

Hola, ¿Cómo andan? Necesito ayuda con estos dos items de un ejercicio.

Hallar \( a)  f: R^2\longrightarrow{R^2}, f\neq \) \( Id / f^3=Id \)
Hallar \( b)  A\in{R^{2X2}}, A\neq \) \( Id/ A^3=Id \) ¿Y en \( R^{3X3} \)?

Realmente, no sé cómo encarar el ejercicio. Se me ocurrieron un par de cosas, pero todas me llevan a nada.

Muchas gracias.

[Fernando Revilla]

Hallar \( a) \; f: R^2\longrightarrow{R^2}, f\neq Id ,\; f^3=Id \)

Considera la matriz \( A_{\alpha}=\begin{bmatrix}{\cos \alpha}&{-\sin \alpha}\\{\sin \alpha}&{\cos \alpha}\end{bmatrix} \) que representa un giro de centro el origen y ángulo \( \alpha \) respecto de la base canónica de \( \mathbb{R}^2 \), entonces \( A_{2\pi/3}^3=A_{2\pi}=Id \) y \( A_{2\pi/3}\ne Id \). Elige por tanto \( f \) como la transformación lineal cuya matriz respecto de la base canónica es \( A_{2\pi/3} \). Mismo método para el apartado \( b) \).

P.D. Por favor, no incluyas texto entre [tex] y [/tex]. Queda feo.

[jorge_nunez]

Muchas gracias Fernando.

PD. Ahí arreglé lo de los textos. Lo tengo en cuenta para la próxima.

[jorge_nunez]

Entonces, si no entendí mal, la \( f \) que estoy buscando tiene esta forma

\( f(x,y)=(xcos(\frac{2π}{3})-ysin(\frac{2π}{3});xsin(\frac{2π}{3})+ycos(\frac{2π}{3})) \)

¿Sería así?

[Fernando Revilla]

Entonces, si no entendí mal, la \( f \) que estoy buscando tiene esta forma
\( f(x,y)=(xcos(\frac{2π}{3})-ysin(\frac{2π}{3});xsin(\frac{2π}{3})+ycos(\frac{2π}{3})) \)

Así es.

[jorge_nunez]

Mil gracias.

[delmar]

Hola

Otra forma de analizar es considerando que la matriz de f respecto a la base canónica de \( R^2 \) es \( A=\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix} \), la matriz de  \( f^3 \) será : \( A^3 \) y tendrá que ser igual a la matriz de la función identidad es decir se tiene \( A^3=I\Rightarrow{det \ A=1} \) luego es invertible y multiplicando por la inversa se tiene : \( A^2=A^{-1} \), en este punto estando en el tema se hace sencillo y la ecuación se traduce en :

\( A^2=\begin{pmatrix}{a^2+bc}&{ab+bd}\\{ac+cd}&{bc+d^2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{d}&{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}=A^{-1} \) se establecen las cuatro ecuaciones :

\( a^2+bc=d \) Ec. 1

\( ab+bd=-b \) Ec. 2

\( ac+cd=-c \) Ec. 3

\( bc+d^2=a \) Ec. 4

Restando la Ec 4 de la 1 se llega :

\( a^2-d^2=d-a \) suponiendo \( d-a\neq 0\Rightarrow{d\neq a} \) se llega a \( a+d=-1 \)

En este punto es suficiente, entre las diversas posibilidades, asumir  \( a=0\Rightarrow{d=-1} \) para que se cumplan las Ec. 2 y 3 independientemente de los valores de b y c; pero también es necesario que se verifique \( det \ A=ad-bc=1\Rightarrow{bc=-1}\Rightarrow{c=\frac{-1}{b}}, \ \forall{b}\neq 0 \) luego una de las soluciones (b=-1/2)es :

\( A=\begin{pmatrix}{0}&{-1/2}\\{2}&{-1}\end{pmatrix} \)

El ejercicio b es prácticamente lo mismo.Ojo si \( A\in{R^{2X2}}\Rightarrow{A^3\in{R^{2X2}}} \) se trata de matrices de 2 filas y 2 columnas, son matrices cuadradas.

Saludos

[Fernando Revilla]

Una tercera opción: \( A^3=I \) equivale a \( A^3-I=0 \) o bien a \( (A-I)(A^2+A+I)=0 \). Basta que busquemos una matriz \( A \) tal que \( A^2+A+I=0 \). Como \( A \) es de orden \( 2 \) su polinomio característico ha de ser \( \lambda^2+\lambda+1= \lambda^2-(\text{traza }A)\lambda+\det A \). Una matriz candidata ha de ser una con traza \( -1 \) y determinante \( 1 \). Elegimos la simple opción \( A=\begin{bmatrix}{-1}&{1}\\{-1}&{0}\end{bmatrix} \) y verificamos que \( A^3=\ldots=I \).

[jorge_nunez]

Gracias por las respuestas.

Estas últimas dos formas las entiendo porque ya di la materia para otra carrera, pero en realidad se supone que todavía no vimos ni determinantes ni valores característicos.

Pero es bueno saberlo para cuando veamos esos temas.

Saludos.

[delmar]

Solamente una acotación, para la segunda forma no es necesario el concepto de determinante, \( A^3=I\Rightarrow{\exists{A^{-1}}=A^2} \) y esto se traduce en :

\( \begin{pmatrix}{a^2+bc}&{ab+bd}\\{ac+cd}&{bc+d^2}\end{pmatrix}=\frac{1}{ad-bc} \ \begin{pmatrix}{d}&{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix} \) se establecen las 4 ecuaciones y de ellas se deriva :

\( a+d=\frac{-1}{ad-bc} \) cualquier cuaterna a,b,c,d que cumple la ecuación será solución de \( A^3=I \)

Saludos