Por energías es fácil darse cuenta.. la energía cinetica final es igual a la energía cinetica inicial más la variación de energía potencial, estas dos últimas son constantes, la primera es constante.
Es decir no importa el ángulo de salida ni el de llegada, el módulo de la velocidad al tocar el suelo es el mismo...
Pero veamos si sale por cinemática
supongamos el modulo de la velocidad \( v_o \), un ángulo \( \theta \) de salida y un desnivel \( h \)
en ele eje x , la velocidad es constante \( v_x=v_o\cos\theta \)
y en el eje y \( 0=h+v_o\sin\theta t-\dfrac12 gt^2 \)
y que la velocidad final en esa dirección es la inicial menos el tiempo que la gravedad actúa durante el viaje
\( v_y=v_o\sin\theta -gt \)
de esta ultima despejas el tiempo
\( t=\dfrac{v_o\sin\theta -v_y}{g} \)
si reemplazas esta ultima en la ecuacion de la altura
\( 0=h+v_o\sin\theta \dfrac{v_o\sin\theta -v_y}{g}-\dfrac12 g\left(\dfrac{v_o\sin\theta -v_y}{g}\right)^2 \)
ahora resolvemos
\( 0=h+\dfrac{v_o^2\sin^2\theta}{g}-\dfrac{v_yv_o\sin^2\theta}{g}-\dfrac12 g\dfrac{v_o^2\sin^2\theta }{g^2}+g\dfrac{v_ov_y\sin\theta }{g^2}-\dfrac12 g\dfrac{v_y^2}{g^2} \)
simplificamos
\( 0=h+\dfrac{v_o^2\sin^2\theta}{g}\cancel{-\dfrac{v_yv_o\sin^2\theta}{g}}-\dfrac12 \dfrac{v_o^2\sin^2\theta }{g}+\cancel{\dfrac{v_ov_y\sin\theta }{g}}-\dfrac12 \dfrac{v_y^2}{g} \)
\( 0=h+\dfrac{v_o^2\sin^2\theta}{g}-\dfrac12 \dfrac{v_o^2\sin^2\theta }{g}-\dfrac12 \dfrac{v_y^2}{g} \)
multiplicamos por g
\( 0=hg+v_o^2\sin^2\theta-\dfrac12 v_o^2\sin^2\theta -\dfrac12 v_y^2 \)
\( 0=hg+\dfrac12 v_o^2\sin^2\theta -\dfrac12 v_y^2 \)
luego \( v_y^2=2hg+v_o^2\sin^2\theta \)
el módulo de la velocidad final es
\( |v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \)
reemplazando los valores de la velocidad
\( |v|=\sqrt{v_o^2\cos^2\theta+2hg+v_o^2\sin^2\theta} \)
saco factor común
\( |v|=\sqrt{v_o^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+2hg} \)
como
\( \cos^2\theta+2\sin^2\theta =1 \)
entonces
\( \boxed{|v|=\sqrt{v_o^2+2hg}} \)
el módulo de la velocidad de llegada es independiente del ángulo de salida , y depende de la altura del barranco, del módulo de la velocidad inicial, y de la gravedad en el lugar.
