Autor Tema: Calcular velocidad final de un proyectil

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12 Septiembre, 2020, 01:33 am
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ferbad

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Demostrar por cinemática que cualquiera que sea el ángulo de lanzamiento de un proyectil arrojado desde lo alto de un acantilado de altura h con la misma velocidad inicial, la rapidez de llegada al suelo es siempre la misma. Muchas gracias

12 Septiembre, 2020, 02:55 am
Respuesta #1

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...

Por energías es fácil darse cuenta.. la energía cinetica final es igual a la energía cinetica inicial más la variación de energía potencial,  estas dos últimas son constantes, la primera es constante.
Es decir no importa el ángulo de salida ni el de llegada, el módulo de la velocidad al tocar el suelo es el mismo...

Pero veamos si sale por cinemática

supongamos el modulo de la velocidad \( v_o \), un ángulo \(  \theta \) de salida  y un desnivel \( h \)

en ele eje x , la velocidad es constante  \( v_x=v_o\cos\theta \)

y en el eje y    \( 0=h+v_o\sin\theta t-\dfrac12 gt^2 \)

y que la velocidad final en esa dirección es la inicial  menos el tiempo que la gravedad actúa durante el viaje

\( v_y=v_o\sin\theta -gt \)

de esta ultima despejas el tiempo


\( t=\dfrac{v_o\sin\theta -v_y}{g} \)

si reemplazas esta ultima en la ecuacion de la altura

\( 0=h+v_o\sin\theta \dfrac{v_o\sin\theta -v_y}{g}-\dfrac12 g\left(\dfrac{v_o\sin\theta -v_y}{g}\right)^2 \)

ahora resolvemos

\( 0=h+\dfrac{v_o^2\sin^2\theta}{g}-\dfrac{v_yv_o\sin^2\theta}{g}-\dfrac12 g\dfrac{v_o^2\sin^2\theta }{g^2}+g\dfrac{v_ov_y\sin\theta }{g^2}-\dfrac12 g\dfrac{v_y^2}{g^2} \)

simplificamos

\( 0=h+\dfrac{v_o^2\sin^2\theta}{g}\cancel{-\dfrac{v_yv_o\sin^2\theta}{g}}-\dfrac12 \dfrac{v_o^2\sin^2\theta }{g}+\cancel{\dfrac{v_ov_y\sin\theta }{g}}-\dfrac12 \dfrac{v_y^2}{g} \)

\( 0=h+\dfrac{v_o^2\sin^2\theta}{g}-\dfrac12 \dfrac{v_o^2\sin^2\theta }{g}-\dfrac12 \dfrac{v_y^2}{g} \)

multiplicamos por g

\( 0=hg+v_o^2\sin^2\theta-\dfrac12 v_o^2\sin^2\theta -\dfrac12 v_y^2 \)

\( 0=hg+\dfrac12 v_o^2\sin^2\theta -\dfrac12 v_y^2 \)

luego \( v_y^2=2hg+v_o^2\sin^2\theta \)

el módulo de la velocidad final es

\( |v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \)

reemplazando los valores de la velocidad

\( |v|=\sqrt{v_o^2\cos^2\theta+2hg+v_o^2\sin^2\theta} \)

saco factor común

\( |v|=\sqrt{v_o^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+2hg} \)

como

\( \cos^2\theta+2\sin^2\theta =1 \)

entonces

\( \boxed{|v|=\sqrt{v_o^2+2hg}} \)

 el módulo de la velocidad de llegada es independiente del ángulo de salida , y depende de la altura del barranco, del módulo de la velocidad inicial, y de la gravedad en el lugar.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)