Autor Tema: Posición en función de la velocidad.

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28 Agosto, 2020, 04:14 am
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jorge_nunez

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Hola. ¿Cómo andan? Hace poco retomé física, pero lo estoy haciendo por mi cuenta y no tengo un profesor que me pueda dar una mano. Tengo una duda con respecto a un ejercicio. Dice lo siguiente:

Un cuerpo se mueve en línea recta partiendo a  t = 0 de la posición x(t = 0) = 0 con velocidad v (t = 0) = Vo. Encuentre x(t) y x(v) en los casos en que la aceleración del cuerpo está dada por la ecuación (k constante):
a) \[ a = kt^2  \]
b) \[ a = -kv^2 \]
c) \[ a= kvx \]

No sé cómo plantearlos para encontrar x(v). Lo único que se me ocurrió fue hacer:
a) \[ a = \dfrac{dv}{dt} = \left(\dfrac{dv}{dx}\right)\left(\dfrac{dx}{dt}\right)=\left(\dfrac{dv}{dx}\right)v \]
Entonces:
\[ dV=kt^{(2)}dx \]
\[ V-Vo=kxt^2 \]
\[ x=(V-Vo)/kt^2 \]

Pero no sé si eso también estaría en función del tiempo. El resto de los ejercicios se me ocurrió algo similar.

Gracias.

PD: es mi primer post y no sé cómo hacer para que las ecuaciones se vean bien. Espero que se entienda.

28 Agosto, 2020, 04:17 am
Respuesta #1

jorge_nunez

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Ahora estoy viendo me equivoqué en la integral. Debería ser V^2-Vo^2, pero la idea es la misma.

28 Agosto, 2020, 05:27 am
Respuesta #2

ingmarov

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Hola Jorge, bienvenido

Toma tiempo para leer la reglas del foro y el tutorial de LaTeX, así sabrás cómo se escriben las ecuaciones de forma correcta.
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?board=177.0

Por esta vez he editado tus ecuaciones desde la moderación del foro.


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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28 Agosto, 2020, 12:37 pm
Respuesta #3

sugata

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La velocidad es la integral de la aceleración respecto al tiempo.
En el primer caso.
\( v(t) =\int_{}^{}kt^2dt=\dfrac{1}{3}kt^3+v_0 \)

El \( v_0 \) es la constante de integración.
Edito para ampliar.

Está es la velocidad respecto al tiempo y piden la posición. Tienes que integrar otra vez y tendrás la posición respecto al tiempo. Para obtener la posición respecto a la velocidad, tendrás que integrar respecto a v.

28 Agosto, 2020, 08:10 pm
Respuesta #4

jorge_nunez

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Gracias por las respuestas.

Entonces mi planteo esta bien? O tengo que hacer \( adV=kt^2dV \) y de ahí integrar?

La posición con respecto al tiempo es sencilla. Mi duda es la posición con respecto a la velocidad.

Gracias.

29 Agosto, 2020, 03:06 am
Respuesta #5

Richard R Richard

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No jorge
El tema es fácil , a la aceleración te la dan como una función del tiempo, multiplicada por una constante,
Siempre la velocidad es integral de la aceleración, evaluada en las condiciones de contorno,  que sabes que cuando t=0 entonces v=0
y que
Siempre la posición es integral de la velocidad, evaluada en las condiciones de contorno,  que sabes que cuando t=0 entonces x=0
en al caso a)

\( a=\dfrac{dv}{dt}=kt^2 \)

si resuelves la ecuación diferencial

\( dv=kt^2 dt \)

\( \displaystyle{\int_{v_0}^v dv=\int_{t_0}^t kt^2 dt} \)

\( \cancel{v-v_0=v-0=\dfrac{k}{3}t^3 -\dfrac{k}{3}t_0^3=\dfrac{k}{3}t^3-0} \)

\( \color{Blue}v-v_0=\dfrac{k}{3}t^3 -\dfrac{k}{3}t_0^3=\dfrac{k}{3}t^3-0\color{black} \)

\( \cancel{\boxed{v=\dfrac{k}{3}t^3}} \)

\( \color{Blue}\boxed{v-v_0=\dfrac{k}{3}t^3}\color{black} \)

luego

\( \cancel{v=\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{k}{3}t^3} \)

\( \color{Blue}v=\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{k}{3}t^3+v_0\color{Black}  \)

resolviendo de la misma manera

\( \cancel{x=\dfrac{k}{12}t^4} \)

\( \color{Blue}x=\dfrac{k}{12}t^4+v_0t\color{Black} \)

los puntos b y c se tratan de reiterar la tarea con dos funciones distintas.

en b veo que vas a tener un problema con los limites de integración, pues te queda v  indeterminado como función  1/v tapara tiempo 0 que da infinito, es decir ese sistema tiene solucion mientras v y x no sean nulas a tiempo cero.

y en c tienes que resolver la Ec dif de segundo grado

\( x''=kx'x  \)

wolfram devuelve
\( x(t) = \dfrac{\sqrt 2 \sqrt{c_1} tan(1/2 (\sqrt 2 \sqrt{c_1} \sqrt k t + \sqrt 2  \sqrt{c_1} c_2 \sqrt k))}{\sqrt k} \)

si \( c_1 \) y \( c_2 \) son las condiciones de contorno vamos , que tampoco se llega a nada ....


Físicamente hablando ,dadas las condiciones iniciales enunciadas , los sistemas b y C no evolucionan  mantiene la posición hasta tiempo infinito,  cualquier perturbación externa, ya entrega un abanico de posibilidades.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

29 Agosto, 2020, 03:36 am
Respuesta #6

jorge_nunez

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Claro. Así calculo \( x(t) \). Mi dificultad aparece cuando tengo que encontrar \( x(v) \) (es decir, la posición en función de la velocidad).

Gracias por la respuesta.

Edit: ahora que lo pienso, en el primero podría despejar el tiempo en la ecuación de la velocidad y reemplazarlo en \( x(t) \). Tendría que ver en los otros dos items.

29 Agosto, 2020, 05:55 am
Respuesta #7

ingmarov

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Hola

Es algo raro el problema para encontrar x(v).

Y ¿tienes la respuesta a la que se supone debemos llegar?

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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29 Agosto, 2020, 06:52 am
Respuesta #8

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...

Si despejas t(v)
\( t=\sqrt[3]{\dfrac{3(v-v_0)}{k}} \)
Y reemplazas en x(t) ese valor te queda \( x(v)=x(t(v)) \)


\( x(v)=\dfrac k{12}\left(\dfrac{3(v-v_0)}{k}\right)^{\frac 43} \)
Este fue fácil porque existe la función inversa de la velocidad en función del tiempo




Todas mis respuestas anteriores las base erróneamente  en leer equivocado  que \( v_o=0 \) a tiempo cero
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

29 Agosto, 2020, 07:23 am
Respuesta #9

ingmarov

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Hola Richard


Si despejas t(v)
\( t=\sqrt[3]{\dfrac{3v}{k}} \)
Y reemplazas en x(t) ese valor te queda \( x(v)=x(t(v)) \)


\( x(v)=\dfrac k{12}\left(\dfrac{3v}{k}\right)^{\frac 43} \)
Este fue fácil porque existe la función inversa de la velocidad en función del tiempo

Sí, creo que esta es la forma de resolver.

Solo un pequeño detalle fácil de corregir, que \[ v(0)=v_0 \] y la v que consideras es para  \[ v_0=0 \]

Saludos
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29 Agosto, 2020, 02:59 pm
Respuesta #10

martiniano

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Hola.

Para sacar \( x(t) \) en el b) se resuelve una EDO de variables separables:

\[ a=-kv^2\;\Rightarrow{\;}\frac{dv}{dt}=-kv^2\;\Rightarrow{\;}\frac{dv}{v^2}=-kt^2\;\Rightarrow{\;}\frac{1}{v}-\frac{1}{v_0}=kt \]

De ahí se despeja \( v \), se deriva para obtener \( x(t) \) y hallar \( x(v)  \) se presenta sencillo.

En el c) yo hallaría primero \( x(v)  \):

\[ a=kvx\;\Rightarrow{\;}\frac{dv}{dt}dx=kvxdx\;\Rightarrow{\;}dv=kxdx\;\Rightarrow{\;}v-v_0=\frac{kx^2}{2} \].

De donde se puede despejar \[ x(v)  \] y también resolver laEDO de variables separables para hallar \( x(t) \).

Espero que sirva. Un saludo.

29 Agosto, 2020, 05:59 pm
Respuesta #11

jorge_nunez

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Muchas gracias a todos por las respuestas. Creo que con esto es suficiente.

Suerte.