No jorge
El tema es fácil , a la aceleración te la dan como una función del tiempo, multiplicada por una constante,
Siempre la velocidad es integral de la aceleración, evaluada en las condiciones de contorno, que sabes que cuando t=0 entonces v=0
y que
Siempre la posición es integral de la velocidad, evaluada en las condiciones de contorno, que sabes que cuando t=0 entonces x=0
en al caso a)
\( a=\dfrac{dv}{dt}=kt^2 \)
si resuelves la ecuación diferencial
\( dv=kt^2 dt \)
\( \displaystyle{\int_{v_0}^v dv=\int_{t_0}^t kt^2 dt} \)
\( \cancel{v-v_0=v-0=\dfrac{k}{3}t^3 -\dfrac{k}{3}t_0^3=\dfrac{k}{3}t^3-0} \)
\( \color{Blue}v-v_0=\dfrac{k}{3}t^3 -\dfrac{k}{3}t_0^3=\dfrac{k}{3}t^3-0\color{black} \)
\( \cancel{\boxed{v=\dfrac{k}{3}t^3}} \)
\( \color{Blue}\boxed{v-v_0=\dfrac{k}{3}t^3}\color{black} \)
luego
\( \cancel{v=\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{k}{3}t^3} \)
\( \color{Blue}v=\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{k}{3}t^3+v_0\color{Black} \)
resolviendo de la misma manera
\( \cancel{x=\dfrac{k}{12}t^4} \)
\( \color{Blue}x=\dfrac{k}{12}t^4+v_0t\color{Black} \)
los puntos b y c se tratan de reiterar la tarea con dos funciones distintas.
en b veo que vas a tener un problema con los limites de integración, pues te queda v indeterminado como función 1/v tapara tiempo 0 que da infinito, es decir ese sistema tiene solucion mientras v y x no sean nulas a tiempo cero.
y en c tienes que resolver la Ec dif de segundo grado
\( x''=kx'x \)
wolfram devuelve
\( x(t) = \dfrac{\sqrt 2 \sqrt{c_1} tan(1/2 (\sqrt 2 \sqrt{c_1} \sqrt k t + \sqrt 2 \sqrt{c_1} c_2 \sqrt k))}{\sqrt k} \)
si \( c_1 \) y \( c_2 \) son las condiciones de contorno vamos , que tampoco se llega a nada ....
Físicamente hablando ,dadas las condiciones iniciales enunciadas , los sistemas b y C no evolucionan mantiene la posición hasta tiempo infinito, cualquier perturbación externa, ya entrega un abanico de posibilidades.