Autor Tema: Negando una definición matemática

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06 Agosto, 2020, 10:17 am
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manooooh

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Hola!!

En este hilo se hace mención a una definición matemática, y se la quiere negar.

Sabemos que toda definición matemática es un si y sólo si. O sea uno puede decir algo que está en palabras y traducirlo al lenguaje formal mediante el bicondicional: \( p\iff q \). Lo anterior se lee: "Definimos \( p \) como \( q \)".

Hasta aquí no tengo dudas.



El problema que me surge empieza cuando quiero buscar la negación de dicha definición. Es decir saber cómo se interpreta \( \neg(p\iff q) \).

Pero lo anterior NO equivale a \( \neg p\iff\neg q \) como muchos (incluso yo) podríamos pensar, pues con \( p \) verdadera y \( q \) falsa (o al revés) ya ambas proposiciones son distintas.

Obviamente se pueden usar distintas reglas para afirmar que \( \neg(p\iff q) \) equivale a \( (p\land\neg q)\lor(q\land\neg p) \), pero esto dista mucho de ser una expresión fácil y sencilla de entender.

Mis preguntas son: ¿se puede tomar como válido en las definiciones matemáticas, representadas por \( p\iff q \), que su negación sea \( \neg p\iff\neg q \)? Si no fuera posible, ¿cómo es que se niega una definición matemática?

Gracias!!
Saludos

06 Agosto, 2020, 10:40 am
Respuesta #1

feriva

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Hola!!

Mis preguntas son: ¿se puede tomar como válido en las definiciones matemáticas, representadas por \( p\iff q \), que su negación sea \( \neg p\iff\neg q \)? Si no fuera posible, ¿cómo es que se niega una definición matemática?

Gracias!!
Saludos

Hola, manooooh, buenos días, cuánto tiempo sin saludarte.

Qué profundo te pones meditando sobre estas cosas :)

Esta expresión \( \neg p\iff\neg q
  \) es para mí (ahora mismo y sin pensar nada) difícil de interpretar o conciliar con la coherencia lógica; debido a que el principio de explosión explota (valga la redundancia) en dos sentidos a la vez.

Saludos.

06 Agosto, 2020, 10:47 am
Respuesta #2

manooooh

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Hola feriva!! Tienes razón ha pasado mucho tiempo sin hablarnos (más que una pandemia global, imagínate :laugh:). Espero que te encuentres bien, de corazón.

Sí, hay varias cosas que me chirrían en lo que expuse. Empezando por decir que una definición es una proposición. Lo cual es ¿mentira? porque sabemos que las definiciones no se demuestran ni se ponen contraejemplos.

Quizás al bicondicional habría que agregarle algunas hipótesis extra para que realmente se considere "una definición matemática", aunque ahora mismo no se me ocurre nada.

Pero esto lo pongo en duda al ver definiciones como las que plantea Masacroso o como muchísimas veces vimos que se define al límite puntual con un si y sólo si. Algo como:

\( \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=l\iff\ldots \)

¿Cuál sería entonces la negación de dicha definición de límite? ???

Saludos

06 Agosto, 2020, 11:01 am
Respuesta #3

Masacroso

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Hola feriva!! Tienes razón ha pasado mucho tiempo sin hablarnos (más que una pandemia global, imagínate :laugh:). Espero que te encuentres bien, de corazón.

Sí, hay varias cosas que me chirrían en lo que expuse. Empezando por decir que una definición es una proposición. Lo cual es ¿mentira? porque sabemos que las definiciones no se demuestran ni se ponen contraejemplos.

Quizás al bicondicional habría que agregarle algunas hipótesis extra para que realmente se considere "una definición matemática", aunque ahora mismo no se me ocurre nada.

Pero esto lo pongo en duda al ver definiciones como las que plantea Masacroso o como muchísimas veces vimos que se define al límite puntual con un si y sólo si. Algo como:

\( \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=l\iff\ldots \)

¿Cuál sería entonces la negación de dicha definición de límite? ???

Saludos


Cierto, me equivoqué en ese tema, ahora lo corrijo, no es una negación es una equivalencia, es decir \( A \iff B \) es equivalente a \( \lnot A\iff \lnot B \). Añado: y tenemos que \( \lnot(A\iff B)\equiv (A\iff \lnot B)\equiv (\lnot A \iff B) \).

06 Agosto, 2020, 01:49 pm
Respuesta #4

geómetracat

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Sobre la negación del bicondicional ya ha contestado Masacroso, pero este es un comentario muy interesante:

Sí, hay varias cosas que me chirrían en lo que expuse. Empezando por decir que una definición es una proposición. Lo cual es ¿mentira? porque sabemos que las definiciones no se demuestran ni se ponen contraejemplos.

Quizás al bicondicional habría que agregarle algunas hipótesis extra para que realmente se considere "una definición matemática", aunque ahora mismo no se me ocurre nada.

Pero esto lo pongo en duda al ver definiciones como las que plantea Masacroso o como muchísimas veces vimos que se define al límite puntual con un si y sólo si. Algo como:

\( \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=l\iff\ldots \)

¿Cuál sería entonces la negación de dicha definición de límite? ???

Es que hay que entender bien el papel que juegan las definiciones en lógica formal. En principio, a un nivel totalmente formal, las únicas fórmulas válidas en matemáticas son las escritas en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Es decir, las fórmulas únicamente pueden contener variables, conectores lógicos (esto incluye el signo de igualdad, \( = \)) y el símbolo \( \in \).
Cuando se introduce un nuevo símbolo en una definición, en realidad lo que se está haciendo es consensuar una abreviatura para una fórmula (o un término).

Por ejemplo, cuando introducimos el símbolo para la inclusión de conjuntos, \( \subset \), definimos \( A \subset B \) como que todo elemento de \( A \) es también un elemento de \( B \). Podríamos dar una definición de inclusión de conjuntos \( \subset \) en el estilo de la de límite así:
\( A \subset B \iff \forall x (x\in A \to x \in B) \)
Pero cuidado, porque esto no es una fórmula válida. No puede serlo porque hemos dicho antes que las fórmulas o pueden contener símbolos que no sean conectores lógicos ni \( \in \), y esta contiene a \( \subset \).
Por eso, aunque a veces se escriban como "bicondicionales" hay que tener muy claro que las definiciones de ese tipo no son fórmulas lógicas, y que por tanto la flechita doble de ahí no es ningún conector lógico, es decir, no es ningún bicondicional.

Entonces, ¿qué significa exactamente hacer una definición y para qué sirve (a nivel lógico)?
Pues se hace simplemente para poder usar abreviaturas en las fórmulas lógicas, para hacerlas más legibles e inteligibles. Por ejemplo, para expresar que dos conjuntos \( A,B \) son iguales si cada uno es subconjunto del otro, escribiríamos:
\( \forall A \forall B (A \subset B \wedge B \subset A \to A=B) \).
Pero esto no es una fórmula válida en lógica de primer orden, estrictamente hablando, porque el símbolo \( \subset \) no pertenece al lenguaje.
La gracia de las definiciones es que como hemos definido \( A \subset B \) en términos de una fórmula que sí es válida, podemos interpretar la fórmula precedente como la fórmula en lógica de primer orden que resulta de sustituir cada aparición de \( A \subset B \) por su definición (el lado derecho), quedando así:
\( \forall A \forall B ((\forall x (x\in A \to x \in B) \wedge (\forall x (x \in B \to x \in A))\to A=B) \).
Esta sí que es una fórmula válida en el lenguaje de la teoría de conjuntos, pero para un humano es menos legible que la misma expresada con subconjuntos. Ahora imagina cómo sería una fórmula que involucrara conceptos como "función derivable" en términos únicamente de \( \in \). Sería una fórmula larguísima e incomprensible.

En resumen, las definiciones no forman parte de la lógica de primer orden y solamente representan abreviaturas de otras fórmulas. Por tanto el "bicondicional" en la definición que indicas no es ningún bicondicional porque esa fórmula no es una fórmula lógica. De la misma manera podríamos haber escrito algo como
\( A \subset B := \forall x (x\in A \to x \in B)  \).

Espero que esto haya contribuido a aclarar las cosas y no a liarlas más.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

06 Agosto, 2020, 11:57 pm
Respuesta #5

manooooh

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Hola a todos

Muchas gracias geómetracat por tu exposición. En pocas palabras podemos decir que por ejemplo "Dos conjuntos son iguales si y sólo si uno está incluido en el otro", "pensamos" que dice \( A=B\iff A\subseteq B\land B\subseteq A \) aunque formalmente esto no signifique nada. Lo hacemos por practicidad. ¿Está bien?

Por otro lado, de acuerdo a lo que menciona Masacroso, guiándonos por esta idea práctica, diremos:

Definición Dos conjuntos NO son iguales si y sólo si uno NO está incluido en el otro, o bien, el otro NO está incluido en el primero.

Mi duda viene cuando planteamos lo de recién: si pensamos que \( p\iff q \) es una definición y \( \neg p\iff\neg q \) es la negación de dicha definición, ¿cómo cabe en la cabeza que dichos resultados son equivalentes? Es como decir que la definición que habla en afirmativo ("son iguales") es equivalente al que habla en negativo ("NO son iguales"), algo como \( V\equiv F \) lo cual es falso.

Saludos

07 Agosto, 2020, 07:37 am
Respuesta #6

feriva

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Mi duda viene cuando planteamos lo de recién: si pensamos que \( p\iff q \) es una definición y \( \neg p\iff\neg q \) es la negación de dicha definición, ¿cómo cabe en la cabeza que dichos resultados son equivalentes?

Hola, manooooh, buenos días (estoy bien, gracias).

Pienso que la negación es \( \neg(p\iff q)
  \) y ésta no es equivalente a \(  (\neg q\Leftrightarrow\neg p)
  \). La primera dice que es falso que p implique q y viceversa. Dentro de un problema lógico, para que se cumpla esto, puede pasar que p implique q sin que q implique p o que q implique p sin que p implique... Y la sentencia así sería cierta (vamos, sería cierto que es falso \( (p\iff q)
  \). Ahora bien, si p implica q y q implica p, entonces esto \( \neg(p\iff q)
  \) no es cierto, sería cierto \( \neg(\neg(p\iff q))
  \).

Saludos.

07 Agosto, 2020, 10:17 am
Respuesta #7

geómetracat

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Muchas gracias geómetracat por tu exposición. En pocas palabras podemos decir que por ejemplo "Dos conjuntos son iguales si y sólo si uno está incluido en el otro", "pensamos" que dice \( A=B\iff A\subseteq B\land B\subseteq A \) aunque formalmente esto no signifique nada. Lo hacemos por practicidad. ¿Está bien?
Creo que en el fondo sí, pero ese es un muy mal ejemplo. Creo entender que pretendes definir la igualdad de conjuntos a partir de las inclusiones. Pero resulta que la igualdad sí que es un símbolo lógico. La fórmula \( A=B \) es una fórmula perfectamente válida eb el lenguaje de la teoría de conjuntos. Así que no puedes definir la igualdad de conjuntos. Por eso lo que se hace en teoría de conjuntos es introducir un axioma, el axioma de extensionalidad, que dice:
\( \forall A \forall B (A \subseteq B \wedge B \subseteq A \to A=B) \)
(la otra implicación es una fórmula lógicamente válida, no hace falta introducirlo como axioma).

Citar
Por otro lado, de acuerdo a lo que menciona Masacroso, guiándonos por esta idea práctica, diremos:

Definición Dos conjuntos NO son iguales si y sólo si uno NO está incluido en el otro, o bien, el otro NO está incluido en el primero.

Mi duda viene cuando planteamos lo de recién: si pensamos que \( p\iff q \) es una definición y \( \neg p\iff\neg q \) es la negación de dicha definición, ¿cómo cabe en la cabeza que dichos resultados son equivalentes? Es como decir que la definición que habla en afirmativo ("son iguales") es equivalente al que habla en negativo ("NO son iguales"), algo como \( V\equiv F \) lo cual es falso.

No es que una definición sea equivalente a su negación, obviamente eso no tendría sentido. Ahí lo único que dice es que decir que \( A \subseteq B \) es lo mismo que \( \forall x (x \in A \to x \in B) \) es equivalente a decir que \( \neg(A \subseteq B) \) es lo mismo que decir \( \neg \forall x (x \in A \to x \in B) \), lo cual es una obviedad.
Es como lo que dice feriva,
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

07 Agosto, 2020, 11:16 am
Respuesta #8

manooooh

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Hola

El primer párrafo lo entendí. De hecho siempre leía "el axioma de extensionalidad" y no entendía qué quería decir. Ahora sí. ¡Es por esto que se necesitan más preguntas cuasi filosóficas como la que planteo en el primer mensaje!

Con respecto al segundo párrafo:

No es que una definición sea equivalente a su negación, obviamente eso no tendría sentido. Ahí lo único que dice es que decir que \( A \subseteq B \) es lo mismo que \( \forall x (x \in A \to x \in B) \) es equivalente a decir que \( \neg(A \subseteq B) \) es lo mismo que decir \( \neg \forall x (x \in A \to x \in B) \), lo cual es una obviedad.
Es como lo que dice feriva,

¿Cómo es posible que lo marcado en rojo sean dos cosas equivalentes? Una está negada y la otra no.

Saludos

07 Agosto, 2020, 11:36 am
Respuesta #9

geómetracat

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El primer párrafo lo entendí. De hecho siempre leía "el axioma de extensionalidad" y no entendía qué quería decir. Ahora sí. ¡Es por esto que se necesitan más preguntas cuasi filosóficas como la que planteo en el primer mensaje!
Sí, no están mal las preguntas "filosóficas". Pero a mí me parece que el problema principal por la que tienes estas confusiones (tú y mucha otra gente, incluídos matemáticos) es que no has seguido nunca un curso serio de lógica matemática. Todas estas cosas deberían quedar claras y bien explicadas si se aprende bien y en orden los rudimentos de la lógica matemática. Y no, ni los cursos de lógica de carreras como informática o filosofía, ni las asignaturas de "lógica y razonamiento matemático" de primero de mates son cursos serios de lógica matemática.
Por eso al final se tiene una idea vaga de las cosas y tienes que ir adivinando qué significan y por qué esto se hace así y no asá, etc.

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No es que una definición sea equivalente a su negación, obviamente eso no tendría sentido. Ahí lo único que dice es que decir que \( A \subseteq B \) es lo mismo que \( \forall x (x \in A \to x \in B) \) es equivalente a decir que \( \neg(A \subseteq B) \) es lo mismo que decir \( \neg \forall x (x \in A \to x \in B) \), lo cual es una obviedad.
Es como lo que dice feriva,

¿Cómo es posible que lo marcado en rojo sean dos cosas equivalentes? Una está negada y la otra no.
Es que las cosas marcadas en rojo no son equivalentes.
"\( A \subseteq B \) es lo mismo que \( \forall x (x \in A \to x \in B) \)"
 es equivalente a
"\( \neg(A \subseteq B) \) es lo mismo que \( \neg \forall x (x \in A \to x \in B) \)"
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

07 Agosto, 2020, 11:43 am
Respuesta #10

manooooh

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Hola

 :aplauso: :aplauso:. Gracias.

¿Conoces de algún curso online sobre los rudimentos de lógica? No como los libros de Carlos que son bien profundos sino algo más light.

¿Podríamos decir que esto es consecuencia de una mala educación? Porque este matete en mi cabeza empezó cuando quise indagar por fuera del dictado normal de un curso de matemáticas discretas. Si todo estuviera bien, esto hubiera pasado a un segundo plano, ¿no?

Saludos

07 Agosto, 2020, 12:46 pm
Respuesta #11

geómetracat

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¿Conoces de algún curso online sobre los rudimentos de lógica? No como los libros de Carlos que son bien profundos sino algo más light.
Pues a lo que me refería por un curso serio es precisamente a algo del estilo de (los primeros capítulos del) libro de lógica de Carlos Ivorra. No creo que haya caminos fáciles, la verdad. Es necesario algún libro donde esté todo hecho, desde el principio, y con toda precisión. Y luego darle muchas vueltas y pensar las cosas hasta que lo entiendas bien.

El problema de querer algo "light" es que, o bien solo vas a aprender tonterías (como hacer razonamientos lógicos sencillos, que en realidad no sirve para nada) o bien vas a acabar con un lío tremendo porque te van a contar cosas de manera vaga y sin definiciones precisas.

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¿Podríamos decir que esto es consecuencia de una mala educación? Porque este matete en mi cabeza empezó cuando quise indagar por fuera del dictado normal de un curso de matemáticas discretas. Si todo estuviera bien, esto hubiera pasado a un segundo plano, ¿no?

Sí, yo creo que sí. El problema es que lo que se suele hacer en ese tipo de cursos tiene bien poco que ver con lo que es en realidad el campo de la lógica matemática o metamatemática. Y entre que las cosas se hacen de manera un tanto vaga, y la materia de por sí ya es enrevesada, acabas con líos.

Un ejemplo, para que veas la diferencia. Recuerdo algún hilo donde hablábamos de qué reglas podías usar para hacer demostraciones formales, y me diste una lista (modus ponens, tollendo tollens, etc) de la que te dije que no bastaba para demostrar todo lo demostrable, luego me dijiste que faltaban algunas más, etc. Esto es un tanto vago. Además, ¿quién te asegura que cualquier lista que te den te va a bastar para demostrar todas las sentencias lógicamente válidas?

En cambio, si abres cualquier libro serio de lógica matemática (como el de Carlos), te encontrarás:
1) Que te dan un cálculo deductivo completamente especificado, con un número finito de axiomas y reglas de inferencia, te definen qué es una demostración formal respecto a ese cálculo, y nunca más te lo van a cambiar ni te van a ir añadiendo reglas conforme interese.
2) Que te definen de manera precisa una semántica. Te dicen lo que es un modelo, qué quiere decir que un modelo satisfaga una fórmula, te definen una relación de consecuencia, etc.
3) Te demuestran que toda sentencia demostrable a partir del cálculo deductivo que te definieron es lógicamente válida (es decir, verdadera en cualquier modelo). Esto es el teorema de corrección o adecuación, soundness en inglés.
4) Te demuestran que toda sentencia lógicamente válida (verdadera en todo modelo) es demostrable en el cálculo deductivo. Esto es el teorema de completitud de Gödel.

Estos dos últimos puntos nunca los encontrarás en los cursos de ingenierías, etc. Porque lo que se hace ahí en realidad son chorradas, mientras que para seguir el programa que he apuntado hace falta tiempo (y esfuerzo) dedicado a definir bien la sintaxis, la semántica, y hacer las demostraciones de los teoremas de los puntos 3) y 4). Y el teorema de completitud de Gödel no es trivial (el otro sí).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Agosto, 2020, 12:16 pm
Respuesta #12

manooooh

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Hola

Pues a lo que me refería por un curso serio es precisamente a algo del estilo de (los primeros capítulos del) libro de lógica de Carlos Ivorra. No creo que haya caminos fáciles, la verdad. Es necesario algún libro donde esté todo hecho, desde el principio, y con toda precisión. Y luego darle muchas vueltas y pensar las cosas hasta que lo entiendas bien.

El problema de querer algo "light" es que, o bien solo vas a aprender tonterías (como hacer razonamientos lógicos sencillos, que en realidad no sirve para nada) o bien vas a acabar con un lío tremendo porque te van a contar cosas de manera vaga y sin definiciones precisas.

Pues tienes razón. Es una materia de primer año, y muchos dicen que les cuesta.

El tema está en que el ingeniero no sale con la cabeza de un matemático. No sólo aprende herramientas del cálculo deductivo, sino que abarca muchísimas cosas más tales como programación en muchas formas, álgebra, algo de geometría, inglés técnico, organizaciones, análisis de sistemas, inteligencia artificial... Ya ves, muchas cosas.

Sí, yo creo que sí. El problema es que lo que se suele hacer en ese tipo de cursos tiene bien poco que ver con lo que es en realidad el campo de la lógica matemática o metamatemática. Y entre que las cosas se hacen de manera un tanto vaga, y la materia de por sí ya es enrevesada, acabas con líos.

¿Cuál sería una solución? ¿No estudiar ingenierías? ¿O cambiar el plan de estudios?

Un ejemplo, para que veas la diferencia. Recuerdo algún hilo donde hablábamos de qué reglas podías usar para hacer demostraciones formales, y me diste una lista (modus ponens, tollendo tollens, etc) de la que te dije que no bastaba para demostrar todo lo demostrable, luego me dijiste que faltaban algunas más, etc. Esto es un tanto vago. Además, ¿quién te asegura que cualquier lista que te den te va a bastar para demostrar todas las sentencias lógicamente válidas?

Me agrada mucho cuando te acuerdas del pasado. :)

A ver, demostrado no está, pero para lo que es el nivel que los estudiantes necesitan está más que bien, ¿no? De hecho cuando hicimos en conjunto la demostración de que toda AB finita es isomorfa al conjunto de partes de sus átomos, todos esos resultados intermedios tuve que estudiarlos con la teoría que tenía. Y ya ves que valió.

Si pudieras poner un sólo ejemplo de teorema que no se pueda demostrar solamente con esas herramientas, estaría agradecido.

En cambio, si abres cualquier libro serio de lógica matemática (como el de Carlos), te encontrarás:
1) Que te dan un cálculo deductivo completamente especificado, con un número finito de axiomas y reglas de inferencia, te definen qué es una demostración formal respecto a ese cálculo, y nunca más te lo van a cambiar ni te van a ir añadiendo reglas conforme interese.
2) Que te definen de manera precisa una semántica. Te dicen lo que es un modelo, qué quiere decir que un modelo satisfaga una fórmula, te definen una relación de consecuencia, etc.
3) Te demuestran que toda sentencia demostrable a partir del cálculo deductivo que te definieron es lógicamente válida (es decir, verdadera en cualquier modelo). Esto es el teorema de corrección o adecuación, soundness en inglés.
4) Te demuestran que toda sentencia lógicamente válida (verdadera en todo modelo) es demostrable en el cálculo deductivo. Esto es el teorema de completitud de Gödel.

Estos dos últimos puntos nunca los encontrarás en los cursos de ingenierías, etc. Porque lo que se hace ahí en realidad son chorradas, mientras que para seguir el programa que he apuntado hace falta tiempo (y esfuerzo) dedicado a definir bien la sintaxis, la semántica, y hacer las demostraciones de los teoremas de los puntos 3) y 4). Y el teorema de completitud de Gödel no es trivial (el otro sí).

Entiendo que si juntamos (3) y (4) obtenemos un bicondiconal, ¿no?

Por fuera de eso, estoy completamente de acuerdo con lo que dices. Vamos, que la lógica tiene sus vericuetos más hermosos de todas las matemáticas (por ahí deben andar los de teoría de conjuntos). Me encantaría poder entender con ejemplos concretos esos 2 teoremas y 2 definiciones.

Saludos

CORREGIDO

08 Agosto, 2020, 01:13 pm
Respuesta #13

geómetracat

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Pues tienes razón. Es una materia de primer año, y muchos dicen que les cuesta.

El tema está en que el ingeniero no sale con la cabeza de un matemático. No sólo aprende herramientas del cálculo deductivo, sino que abarca muchísimas cosas más tales como programación en muchas formas, álgebra, algo de geometría, inglés técnico, organizaciones, análisis de sistemas, inteligencia artificial... Ya ves, muchas cosas.

Sí, claro. Los intereses y funciones de un ingenierio informático son muy distintas de las de un matemático. Por eso es normal que las materias que se den sean muy distintas, aunque haya una base común. De hecho, la inmensa mayoría de los informáticos nunca necesitarán ni usarán nada de lógica formal, así que no hay ningún problema en que salgan sin saber gran cosa.

De igual forma, la mayoría de matemáticos nunca necesitarán ni usarán nada de lógica formal, y de nuevo no hay ningún problema en que salgan de la carrera sin saber gran cosa (que es lo que pasa en la mayoría de los casos).

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¿Cuál sería una solución? ¿No estudiar ingenierías? ¿O cambiar el plan de estudios?

No hombre, para nada. Yo estaba hablando desde el punto de vista de una persona que quiera aprender y comprender muy a fondo la lógica matemática. No creo que haya más de un 1% de estudiantes de ingenierías a los que eso les interese, así que las ingenierías y los planes de estudios ya están bien como están.
Si alguien, antes de entrar en la universidad, estuviera muy interesado en temas de lógica yo le recomendaría cursar matemáticas. Pero vaya, hay muchísima gente en el mundo que ha hecho informática (o filosofía) y se dedican a la investigación en lógica, así que no haber estudiado matemáticas tampoco es ningún impedimento para dedicarse a la lógica.

Bajo mi punto de vista, hay básicamente dos formas de aprender bien y de manera seria lógica matemática (o, de hecho, cualquier otra materia). Una es buscar un curso serio en la universidad y asistir a clases. La segunda es coger un buen libro y aprender por tu cuenta. Con la primera aprenderás más rápido, aunque seguramente también de manera más superficial. La segunda es más costosa, pero más efectiva a la larga. Además ahora hay grandes recursos para salvar la principal dificultad del autoaprendizaje: el no tener a nadie que te resuelva dudas. Sin ir más lejos puedes preguntar cualquier duda que te surja en este foro y seguro que alguien te resuelve tus dudas (y en caso que nadie de este foro supiera responder, siempre puedes recurrir a math stackexchange o a math overflow). Vamos, qu nunca ha estado tan bien como ahora para aprender cosas por tu cuenta.

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A ver, demostrado no está, pero para lo que es el nivel que los estudiantes necesitan está más que bien, ¿no?
Claro, es lo que decía antes: la diferencia entre lo que va a necesitar la gran mayoría de estudiantes de ingeniería informática, y de entener a fondo la lógica. Yo no critico los cursos. Para la gran mayoría de estudiantes de ingeniería informática les basta y les sobra con lo que darán ahí. Lo que digo es que un curso de ese estilo no es útil a alguien que quiera aprender lógica en serio, y que si quiere salirse de los contenidos o darles más vueltas de la cuenta tiene todos los números para acabar hecho un lío.

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Si pudieras poner un sólo ejemplo de teorema que no se pueda demostrar solamente con esas herramientas, estaría agradecido.

Tendría que buscar el hilo para ver exactamente qué eran y pensarlo bien, pero creo que al final me dijiste, al margen de la lista de reglas de inferencia, algo como que podías usar "cualquier tautología proposicional" o algo así, con lo cual ya puedes demostrar lo que quieras (aunque tiene otros problemas mucho más serios, como que los axiomas no son recursivos). Pero quizás no me acuerdo bien. Solamente con la lista de reglas de inferencia creo que ya te puse ejemplos de teoremas que no se podían demostrar.

He vuelto a mirar el hilo y con la lista que diste al final creo que deberías ser capaz de probar cualquier tautología, pues son los axiomas de un álgebra de Boole (y más cosas).


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Entiendo que si juntamos (3) y (4) obtenemos un bicondiconal, ¿no?
Sí. El resumen es que la relación de demostración sintática coincide con la relación de consecuencia semántica. Un eslógan sería "algo es demostrable si y solo si es verdadero".

Citar
Por fuera de eso, estoy completamente de acuerdo con lo que dices. Vamos, que la lógica tiene sus vericuetos más hermosos de todas las matemáticas (por ahí deben andar los de teoría de conjuntos). Me encantaría poder entender con ejemplos concretos esos 2 teoremas y 2 definiciones.

Eso tiene fácil solución. Toma un libro serio de lógica y empieza a estudiar. ;D
De todas formas, ten en cuenta que esas dos definiciones y esos dos teoremas son el núcleo de la lógica de primer orden. Digamos que es lo mínimo que debería hacer cualquier curso serio de lógica matemática, pero que tranquilamente te puedes tirar un curso entero solo con esto.

Corregido.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

12 Agosto, 2020, 08:39 am
Respuesta #14

manooooh

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Hola

Te entiendo perfectamente. Lo que mi cabeza entiende es "lo que no se ve, no existe". Me explico: Sabiendo que existe bastante relación entre matemáticas y programación (por decir lo más relevante de esas ingenierías), lo que sucede es que como en general se oye hablar en la sociedad del trabajo de los matemáticos y no tanto de los programadores, mi cabeza termina "queriendo" a los matemáticos y "apartando" los programadores. Soy consciente de que ambas personas tienen capacidades, pero me huele que el matemático (o lógico) es más estructurado, sabe qué usar y qué funciona o qué no, es difícil escribir una demostración y que contenga un error tan pequeño como un alfiler, etc. Al programador no le pasa tanto eso, en mi opinión.

Resalto un párrafo que escribiste muy bien:

Bajo mi punto de vista, hay básicamente dos formas de aprender bien y de manera seria lógica matemática (o, de hecho, cualquier otra materia). Una es buscar un curso serio en la universidad y asistir a clases. La segunda es coger un buen libro y aprender por tu cuenta. Con la primera aprenderás más rápido, aunque seguramente también de manera más superficial. La segunda es más costosa, pero más efectiva a la larga. Además ahora hay grandes recursos para salvar la principal dificultad del autoaprendizaje: el no tener a nadie que te resuelva dudas. Sin ir más lejos puedes preguntar cualquier duda que te surja en este foro y seguro que alguien te resuelve tus dudas (y en caso que nadie de este foro supiera responder, siempre puedes recurrir a math stackexchange o a math overflow). Vamos, qu nunca ha estado tan bien como ahora para aprender cosas por tu cuenta.

Saludos y muchas gracias

12 Agosto, 2020, 11:21 am
Respuesta #15

geómetracat

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Te entiendo perfectamente. Lo que mi cabeza entiende es "lo que no se ve, no existe". Me explico: Sabiendo que existe bastante relación entre matemáticas y programación (por decir lo más relevante de esas ingenierías), lo que sucede es que como en general se oye hablar en la sociedad del trabajo de los matemáticos y no tanto de los programadores, mi cabeza termina "queriendo" a los matemáticos y "apartando" los programadores. Soy consciente de que ambas personas tienen capacidades, pero me huele que el matemático (o lógico) es más estructurado, sabe qué usar y qué funciona o qué no, es difícil escribir una demostración y que contenga un error tan pequeño como un alfiler, etc. Al programador no le pasa tanto eso, en mi opinión.

Unos comentarios sobre esto. Sobre lo primero de la percepción de la sociedad, me resulta gracioso porque hace unos años (pongamos 15 años o así) la situación era diametralmente opuesta. Los matemáticos eran "cuatro frikis" que hacían cosas raras mientras que los informáticos eran percibidos poco menos que como los que dominarían el futuro. Aquí en España por lo menos, muy poca gente quería entrar en la carrera de matemáticas, todo el que quería entrar entraba (la nota de corte era un 5) y las salidas profesionales eran básicamente ser profesor de secundaria. Ahora en cambio matemáticas es una de las carreras más demandadas y casi todos acaban en empresas (muchas veces haciendo tareas de informático).
Con esto lo que quiero decir es que todo esto de las percepciones de la sociedad no son más que modas. Ahora está muy de moda el "data science" y las empresas buscan matemáticos, pero no me extrañaría en absoluto que en una década haya vuelto a cambiar todo radicalmente.

Sobre lo de que el matemático/lógico es más estructurado, también tengo mis dudas. Yo creo que en programación hay que ser mucho más riguroso que en matemáticas, ya que un error de sintaxis te estropea el programa. Y ser capaz de estructurar bien un programa o pensar algoritmos para hacer algo no es más fácil que hacer una demostración matemática. Sí que es verdad que el informático se suele centrar más en la parte sintáctica y el matemático en la parte semántica, pero el rigor necesario es igual (o superior) en programación que en matemáticas, por lo menos si quieres hacer las cosas bien.
De hecho hay muchos matemáticos que se pasan a la programación y les va muy bien, y hay informáticos que acaban haciendo mates y también les va bien. Por ejemplo, hay muchas disciplinas "de frontera" en las que trabajan tanto matemáticos como informáticos, como cosas tipo teoría de lenguajes de programación, teorías de tipos, complejidad computacional, etc.

En definitiva, que hay de todo y depende más de la persona que de la formación recibida. También te diré que si defines matemático como "persona que ha superado la carrera de matemáticas" e informático de la misma manera, muchos matemáticos e informáticos no son capaces de pensar de manera estructurada y lógica, porque muchos estudiantes pasan por las carreras (y aprueban) sin entender lo que hacen.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Agosto, 2020, 09:22 am
Respuesta #16

manooooh

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Hola geómetracat, volví a retomar el foro, espero no haber desilusionado ;). Si ves que se me pasó un hilo por alto me dices

Claro, la definición estricta de matemático e informático es esa que pones al final, tener el título. A lo que voy es que me parece que hoy en día no se busca un sobresaliente, sino un "Entendedor de la realidad y explicaciones claras". Eso puede llevar al éxito a un programador/matemático aficionado y al fracaso a unos que tienen promedio alto.

Pero de todas maneras que parece algo lioso lo que digo, siempre hay excepciones y lo importante es entender y digerir lo que se hace.

Comparto lo de tu visión a futuro. Únicamente espero que no triunfe el egocentrismo y que al menos a corto plazo, la vacuna del covid esté disponible para todas las sociedades :laugh:.

Saludos

30 Agosto, 2020, 11:51 am
Respuesta #17

geómetracat

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Hola geómetracat, volví a retomar el foro, espero no haber desilusionado ;). Si ves que se me pasó un hilo por alto me dices

¡Bienvenido de nuevo!  ;)
Creo que no te has pasado hilos por alto, aunque yo tampoco llevo la cuenta.

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Claro, la definición estricta de matemático e informático es esa que pones al final, tener el título. A lo que voy es que me parece que hoy en día no se busca un sobresaliente, sino un "Entendedor de la realidad y explicaciones claras". Eso puede llevar al éxito a un programador/matemático aficionado y al fracaso a unos que tienen promedio alto.

Pero de todas maneras que parece algo lioso lo que digo, siempre hay excepciones y lo importante es entender y digerir lo que se hace.

Sí, es así. De hecho tampoco hay tanta correlación entre ser buen matemático y tener la carrera de matemáticas (lo mismo aplica a cualquier otra carrera). Conozco a bastante gente que se sacó la carrera de matemáticas y a los dos o tres años ya no se acordaba de nada más allá de lo más básico, y que tendrían serios problemas para hacer una demostración sencilla. Y al revés, hay "aficionados" o gente que estudió otras carreras que saben un montón de matemáticas aunque no tengan ningún título que lo acredite.

De hecho, yo tengo un papel por ahí que dice que soy licenciado en física, pero yo no me considero físico sino matemático, porque me he dedicado a las matemáticas y no a la física. Si me preguntaras por algo de física seguramente habría muchas cosas que no te sabría contestar, y ya no digamos si me metes en un laboratorio, como mínimo acaba incendiado.  :laugh:

Con esto quiero decir que en realidad cuenta mucho más lo que uno aprenda por su cuenta o por gusto que lo que aprenda en la carrera que haga, aunque no tengas un título que lo acredite.

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Comparto lo de tu visión a futuro. Únicamente espero que no triunfe el egocentrismo y que al menos a corto plazo, la vacuna del covid esté disponible para todas las sociedades :laugh:.

Pues sí, esperemos que esté disponible la vacuna para todo el mundo, aunque me da a mí que el egocentrismo siempre triunfa...
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)