[Zaragoza]

Hola, encontré un resultado interesante que me causa curiosidad pero no he podido dar con la prueba,

Sea \((x_n)_n\) una sucesión en un espacio métrico compacto \(X\) tal que toda subsucesión convergente, converge para un mismo \(a\). Entonces \((x_n)_n\) converge para \(a\).

Alguna idea para la prueba?

[Masacroso]

Hola, encontré un resultado interesante que me causa curiosidad pero no he podido dar con la prueba,

Sea \((x_n)_n\) una sucesión en un espacio métrico compacto \(X\) tal que toda subsucesión convergente, converge para un mismo \(a\). Entonces \((x_n)_n\) converge para \(a\).

Alguna idea para la prueba?

Es una propiedad casi inmediata de la definición de convergencia en una espacio métrico. Se dice que \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) converge a un punto \( a \) en un espacio métrico \( (X,d) \) si y solo si para cada \( \epsilon >0 \) existe un \( N\in \mathbb{N} \) tal que \( d(x_n,a)<\epsilon  \) para todo \( n\geqslant N \), es decir

\( \displaystyle{
\lim_{n\to\infty}d(x_n,a)=0\iff \forall \epsilon >0, \exists N\in \mathbb{N}, \forall n\geqslant N: d(x_n,a)<\epsilon \tag1
} \)

La negación lógica de \( (1) \) es equivalente a

\( \displaystyle{
\lim_{n\to\infty}d(x_n,a)\neq 0 \iff \exists \epsilon >0, \forall N\in \mathbb{N},\exists n\geqslant N: d(x_n,a)\geqslant \epsilon \tag2
} \)

ya que \( (A\iff B) \) es equivalente a \( (\lnot A \iff \lnot B) \).

Por tanto si \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) no converge a \( a \) existe un \( \epsilon >0 \) y una subsucesión \( \{x_{n_k}\}_{k\in \mathbb N} \) tales que \( d(x_{n_k},a)\geqslant \epsilon  \) para todo \( k\in \mathbb{N} \). Por tanto si toda subsucesión de \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) converge a \( a \) entonces necesariamente \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) también converge a \( a \). Como ves el resultado es más general que el que citas ya que no es necesario que el espacio métrico \( (X,d) \) sea compacto.

CORREGIDO.

[Zaragoza]

Claro, entiendo. Qué ocurriría con el siguiente ejemplo:

Dada la sucesión \((1,\frac{1}{2},2,\frac{1}{3},3,\frac{1}{4},4,\frac{1}{5},5)\) podemos ver que cualquier subsucesión convergente tiende para cero, pero la sucesión no es convergente.

Me parece que lo que has probado es: \((x_n)_n\) es una sucesión convergente si, y solamente si, cualquier subsucesión converge para el mismo valor. Lo cual es distinto a mi pregunta.
Saludos.

[Masacroso]

Claro, entiendo. Qué ocurriría con el siguiente ejemplo:

Dada la sucesión \((1,\frac{1}{2},2,\frac{1}{3},3,\frac{1}{4},4,\frac{1}{5},5)\) podemos ver que cualquier subsucesión convergente tiende para cero, pero la sucesión no es convergente.

Me parece que lo que has probado es: \((x_n)_n\) es una sucesión convergente si, y solamente si, cualquier subsucesión converge para el mismo valor. Lo cual es distinto a mi pregunta.
Saludos.

Entiendo, no es lo mismo. En ese caso sí es necesaria la compacidad del espacio. Si \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) no converge a \( a \) entonces, del resultado anterior, sabemos que existe una subsucesión \( \{x_{n_k}\}_{k\in \mathbb N} \) que cumple que \( d(x_{n_k},a)\geqslant \epsilon  \) para todo \( k \). Como tal subsucesión pertenece a un espacio métrico compacto (el cual es necesariamente sucesionalmente compacto también) entonces posee a su vez una subsucesión \( \{x_{n_{k_j}}\}_{j\in \mathbb N} \) que converge a algún punto \( b\in X \), y necesariamente \( a\neq b \) ya que \( d(x_{n_{k_j}},a)\geqslant \epsilon  \) para todo \( j \). Pero eso contradice la suposición de que toda subsucesión convergente de \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) converge a \( a \).\( \Box \)

[manooooh]

Hola Masacroso

Tengo una pequeña duda de lógica de primer orden:

\( \displaystyle{
\lim_{n\to\infty}d(x_n,a)=0\iff \forall \epsilon >0, \exists N\in \mathbb{N}, \forall n\geqslant N: d(x_n,a)<\epsilon \tag1
} \)

La negación lógica de \( (1) \) es

\( \displaystyle{
\lim_{n\to\infty}d(x_n,a)\neq 0 \iff \exists \epsilon >0, \forall N\in \mathbb{N},\exists n\geqslant N: d(x_n,a)\geqslant \epsilon \tag2
} \)

Según tengo entendido, si quieres negar \( p\iff q \) ("La negación lógica de \( (1) \)") que se escribe \( \neg(p\iff q) \) (a), NO es equivalente a \( \neg p\iff\neg q \) (b). De hecho un contraejemplo es considerar a \( p \) verdadera y \( q \) falsa (o viceversa), el cual hace (a) verdadera pero (b) falsa.

¿Quizás querías decir otra cosa con "La negación lógica de \( (1) \)"? ¿O hay algo que no estoy viendo?

Si no sabes quizás geómetracat pueda intervenir que siempre él me ayuda un montón, le tengo un gran aprecio.

Saludos y gracias

AGREGADO: P.D. Abrí un hilo por esta cuestión. Pueden responder ahí si quieren: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=113952.0

[Masacroso]

Hola Masacroso

Tengo una pequeña duda de lógica de primer orden:

\( \displaystyle{
\lim_{n\to\infty}d(x_n,a)=0\iff \forall \epsilon >0, \exists N\in \mathbb{N}, \forall n\geqslant N: d(x_n,a)<\epsilon \tag1
} \)

La negación lógica de \( (1) \) es

\( \displaystyle{
\lim_{n\to\infty}d(x_n,a)\neq 0 \iff \exists \epsilon >0, \forall N\in \mathbb{N},\exists n\geqslant N: d(x_n,a)\geqslant \epsilon \tag2
} \)

Según tengo entendido, si quieres negar \( p\iff q \) ("La negación lógica de \( (1) \)") que se escribe \( \neg(p\iff q) \) (a), NO es equivalente a \( \neg p\iff\neg q \) (b). De hecho un contraejemplo es considerar a \( p \) verdadera y \( q \) falsa (o viceversa), el cual hace (a) verdadera pero (b) falsa.

¿Quizás querías decir otra cosa con "La negación lógica de \( (1) \)"? ¿O hay algo que no estoy viendo?

Si no sabes quizás geómetracat pueda intervenir que siempre él me ayuda un montón, le tengo un gran aprecio.

Saludos y gracias

AGREGADO: P.D. Abrí un hilo por esta cuestión. Pueden responder ahí si quieren: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=113952.0

Cierto, ya está corregido.

[Zaragoza]

Gracias, obtuve la misma prueba solo que yo construí dicha subsucesión \( (x_{n_k})\) que satisface \(\|x_{n_k}-a\|\geq\varepsilon,\forall k\in\mathbb{N}\). Tal vez por eso mi demora en responder.

Saludos gracias nuevamente