Autor Tema: algebra de limites

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31 Julio, 2020, 03:26 am
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castrokin

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Hola chicos tengo este ejercicio que no estoy seguro de como resolver y me gustaría que me pudiesen ayudar

se me pide encontrar ejemplos para demostrar que

\( \lim_{x \to c}{f(x)+g(x)} \) existe, esto no implica que exista \( \lim_{x \to c}{f(x)} \) o \( \lim_{x \to c}{g(x)} \)

y

\( \lim_{x \to c}{f(x)*g(x)} \) existe, esto no implica que exista \( \lim_{x \to c}{f(x)} \) o \( \lim_{x \to c}{g(x)} \)

ahora para el ejercicio de la suma he elegido como \( f(x) \)

\( \frac{x+1}{x} \)

y \( g(x) \)

\( \frac{-1}{x} \)

ya que el

\( \lim_{x \to 0}{\frac{x+1}{x}} \) no existe y

\( \lim_{x \to 0}{\frac{-1}{x}} \) no existe tampoco

para la multiplicación si estoy mas confundido

he elegido las funciones

\( f(x)= -3x^3 \)

\( g(x)= x^2 \)

cuando el limite tiende a \( 0 \) también

ahora no se si seria la mejor opción

muchas gracias a todos

31 Julio, 2020, 10:32 am
Respuesta #1

robinlambada

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Hola ..
Hola chicos tengo este ejercicio que no estoy seguro de como resolver y me gustaría que me pudiesen ayudar

se me pide encontrar ejemplos para demostrar que

\( \lim_{x \to c}{f(x)+g(x)} \) existe, esto no implica que exista \( \lim_{x \to c}{f(x)} \) o \( \lim_{x \to c}{g(x)} \)

y

\( \lim_{x \to c}{f(x)*g(x)} \) existe, esto no implica que exista \( \lim_{x \to c}{f(x)} \) o \( \lim_{x \to c}{g(x)} \)

ahora para el ejercicio de la suma he elegido como \( f(x) \)

\frac{x+1}{x}

y \( g(x) \)

\frac{-1}{x}

ya que el

\( \lim_{x \to 0}{\frac{x+1}{x}} \) no existe y

\( \lim_{x \to 0}{\frac{-1}{x}} \) no existe tampoco

para la multiplicación si estoy mas confundido

he elegido las funciones

\( f(x)= -3x^3 \)

\( g(x)= x^2 \)

cuando el limite tiende a \( 0 \) también

ahora no se si seria la mejor opción

muchas gracias a todos
El ejemplo de la suma es válido.

Pero creo que te has confundido en la multiplicación ( considero que es menos fácil el ejemplo de la suma).

¿No piensas que deberías haber puesto  \( g(x)=\dfrac{1}{x^2} \)?

Cuando dices que un limite no existe,¿ te refieres también a que es infinito? o ¿solamente a que los límites laterales no coinciden?

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

31 Julio, 2020, 10:36 am
Respuesta #2

robinlambada

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Pues si la cuestión es que los límites laterales no coincidan, entonces  mejor utilizar:

\(f(x)=x^2\)  y \(g(x)=\dfrac{1}{x} \)

Cuando x tiende a cero.( en este caso los límites laterales de g(x) son \( \pm{}\infty  \) ,logicamente no coinciden )

Saludos
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31 Julio, 2020, 10:53 am
Respuesta #3

manooooh

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Hola

Pues si la cuestión es que los límites laterales no coincidan, entonces  mejor utilizar:

\(f(x)=x^2\)  y \(g(x)=\dfrac{1}{x} \)

Cuando x tiende a cero.( en este caso los límites laterales de g(x) son \( \pm{}\infty  \) ,logicamente no coinciden )

Me parece que \( f \) es continua en \( 0 \) y por lo tanto no se demuestra que el límite en ese punto no existe.

Creo que hay que considerar el límite de un producto que exista, pero que ninguno de los dos límites por separado exista. Aunque estoy de acuerdo en que habría que precisar qué se entiende por existencia de límite.

A mí no se me ocurrió ningún contraejemplo. Pienso en tomar \( f(x)=\ln(x)/x \) cuyo límite en cero no existe, y buscar \( g \) tal que tampoco exista en cero, pero que su producto sí lo sea. ¿Quizás para la suma no vale pero sí para el producto?

A ver si está sirve:

\( f(x)=\begin{cases}1&\text{si}&x>0\\0 & \text{si}& x\leq0\end{cases} \)

\( g(x)=1-f(x) \)

El límite de cada función por separado en cero no existe, pero el límite del producto existe y vale cero.

Saludos

31 Julio, 2020, 11:01 am
Respuesta #4

sugata

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El enunciado dice que no exista el límite de \( f(x)  \) ó \( g(x)  \)
No necesariamente que no existan ambos.

31 Julio, 2020, 11:06 am
Respuesta #5

manooooh

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Hola sugata

Tuve dudas al leer el enunciado pero al final concluí que no niega el consecuente, sino que niega el condicional (cuestión lógica).

Es decir el enunciado según entiendo yo se traduce como \( \neg(p\to q\lor r) \), o sea \( p\land\neg q\land\neg r \), ahí aparece la y.

En cambio lo otro que propones sería \( p\to\neg(q\lor r) \), pero no estaría representando lo que el enunciado expresa.

Saludos

31 Julio, 2020, 11:39 am
Respuesta #6

geómetracat

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Para el producto y que no exista ninguno de los dos, ¿qué tal \[ f(x)=\sin(\frac{1}{x}), g(x)=1/f(x) \] en \( 0 \)?
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

31 Julio, 2020, 01:02 pm
Respuesta #7

robinlambada

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Hola:
Hola

Pues si la cuestión es que los límites laterales no coincidan, entonces  mejor utilizar:

\(f(x)=x^2\)  y \(g(x)=\dfrac{1}{x} \)

Cuando x tiende a cero.( en este caso los límites laterales de g(x) son \( \pm{}\infty  \) ,logicamente no coinciden )

Me parece que \( f \) es continua en \( 0 \) y por lo tanto no se demuestra que el límite en ese punto no existe.
Creo que hay que considerar el límite de un producto que exista, pero que ninguno de los dos límites por separado exista. Aunque estoy de acuerdo en que habría que precisar qué se entiende por existencia de límite.

Cierto que f(x) es continua en x=0, por tanto existe el límite de la función en x=0.

Pero es que en el enunciado que publica  castrokin
\( \lim_{x \to c}{f(x)*g(x)} \) existe, esto no implica que exista \( \lim_{x \to c}{f(x)} \) o \( \lim_{x \to c}{g(x)} \)


Da la opción de que no exista uno u otro limite o ambos, pero no se obliga a que ambos límites deban no existir, al menos así lo entiendo yo.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

31 Julio, 2020, 09:10 pm
Respuesta #8

castrokin

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Hola chicos gracias por su respuestas les adjuntare la imagen del enunciado del ejercicio para que puedan despejar sus dudas

para el producto he decidido usar \( f(x) = x^2 -1 \) cuando el limite tiende a \( 0 \) y \( g(x) = \frac{1}{x-1} \) cuando tiende a \( 1 \)

una pregunta como f\( (x) =\frac{x+1}{x} \) y \( g(x) \frac{-1}{x} \) se puede utilizar si al aplicar la suma el limite es \( \pm{\infty} \) eso quiere decir que no existe

muchas gracias

31 Julio, 2020, 10:33 pm
Respuesta #9

delmar

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Hola chicos gracias por su respuestas les adjuntare la imagen del enunciado del ejercicio para que puedan despejar sus dudas

para el producto he decidido usar \( f(x) = x^2 -1 \) couado el limite tiende a \( 0 \) y \( g(x) = \frac{1}{x-1} \) cuando tiende a \( 1 \)



Hola

A ver si te entiendo \( f(x)= x^2 -1, \ g(x)=\frac{1}{x-1} \) pero y ¿c?


Saludos

31 Julio, 2020, 10:35 pm
Respuesta #10

castrokin

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Saludos \( c=1 \)

31 Julio, 2020, 10:43 pm
Respuesta #11

delmar

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En ese caso \( \lim_{x \to{}1}{f(x)g(x)}=2, \ \lim_{x \to{}1}{f(x)}=0 \) por ser funciones continuas en 1, por otro lado no existe el \( \lim_{x \to{}1}{g(x)} \), por que por la derecha tiende a \( +\infty \) y por la izquierda a \( -\infty \). Luego sí es válido el ejemplo.

Saludos

31 Julio, 2020, 10:50 pm
Respuesta #12

manooooh

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Hola

Para el producto y que no exista ninguno de los dos, ¿qué tal \[ f(x)=\sin(\frac{1}{x}), g(x)=1/f(x) \] en \( 0 \)?

Perfecto :aplauso: :aplauso:. Es un excelente contraejemplo.

¿Qué dices sobre el enunciado original? ¿Es como propuse o se aplica la negación al consecuente?:

Es decir el enunciado según entiendo yo se traduce como \( \neg(p\to q\lor r) \), o sea \( p\land\neg q\land\neg r \), ahí aparece la y.

En cambio lo otro que propones sería \( p\to\neg(q\lor r) \), pero no estaría representando lo que el enunciado expresa.

Dice "no implica que exista..." o sea \( p\not\to q \), no dice "implica que no exista..." que sería \( p\to\neg q \). Por lo tanto hay que buscar ejemplos donde los límites por separado no existan, pero el límite de su producto exista.

Saludos

31 Julio, 2020, 11:02 pm
Respuesta #13

castrokin

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Muchas gracias amigos para saber si he entendido correctamente he hecho los ejercicios
para el producto me he decidido por

\( \lim_{x \to1}{x^2-1*\frac{1}{x-1}}=\frac{x²-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1=(1)+1=2 \)

y para la suma

\( \lim_{x \to0}{\frac{x+1}{x}+\frac{-1}{x}}=\frac{x+1-1}{x}=\frac{x}{x}=1 \)

que me dicen chicos ¿estará correcto mi razonamiento?

Muchas gracias por su ayuda

31 Julio, 2020, 11:57 pm
Respuesta #14

delmar

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Sí, esta correcto.

Saludos

01 Agosto, 2020, 12:12 am
Respuesta #15

castrokin

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Muchas gracias chicos se los agradezco un montón

01 Agosto, 2020, 12:31 am
Respuesta #16

geómetracat

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¿Qué dices sobre el enunciado original? ¿Es como propuse o se aplica la negación al consecuente?:

Pues es un tanto ambiguo, se pueden entender las dos cosas. Por eso no he dicho nada sobre el enunciado en mi respuesta anterior. En cualquier caso hay contraejemplos de todo tipo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)