Autor Tema: Encontrar funciones

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25 Julio, 2020, 11:09 pm
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castrokin

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hola chicos espero me puedan ayudar ya que este problema me esta dando muchos dolores de cabeza

se me pide encontrar un \( δ \) tal que \( \left |{f(x)-l}\right |< Ɛ  \) para todo \( x \) que satisface \( 0<\left |{x-a}\right |<δ \) de la funcion

\( f(x)=\dfrac{x}{1+\sen^2(x)} \) donde \( a=0 \) y \( b=0 \)

Como el enunciado no me da un valor ni para \( x \) ni para \( δ \) he decidido asignarles yo mismo un valor

\( x=90 \) y \( δ=100 \)

al resolver las operaciones quedaria

\( \left |{\frac{90}{1+sen²(90)}}-0\right |<Ɛ \)

\( \left |{45}\right |<Ɛ \)

\( 0<\left |{x-0}\right |<δ \)

\( 0<\left |{x}\right |<δ \)

\( 0<\left |{90}\right |<δ \)

\( 0<90<δ \)

y ese seria el final de la operación.

me gustaría saber si estoy en lo correcto al asignarle un valor a las variables o habrá alguna otra manera de resolver el ejercicio

esperando su pronta respuesta

muchas gracias

26 Julio, 2020, 12:18 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

No es el camino correcto estar dando valores a x, lo que piden es un \( \delta>0 \) dado un \( \epsilon>0 \) tal que si \( 0<\left |{x}\right |<\delta\Rightarrow{\left |{f(x)}\right |<\epsilon} \)  (Inec. I y II), lo escribo así por que a=b=0, en otras palabras piden una relación funcional entre \( \epsilon \) y \( \delta \) tal que con estas cantidades se cumplan las inecuaciones I y II. Una forma :

Considerando \( 0<\left |{x}\right |<\delta<\frac{\pi}{2} \)

Se tiene en forma general \( 0<\left |{sen x}\right |<1\Rightarrow{0<sen^2 x<1}\Rightarrow{1<1+sen^2x<2\Rightarrow{1>\frac{1}{1+sen^2x}>\frac{1}{2}}} \)

Multiplicando por \( \left |{x}\right | \) se tiene :

\( \left |{x}\right |>\left |{\frac{x}{1+sen^2x}}\right | \)

Pero por la consideración \( 0<\left |{x}\right |<\delta \) se tiene :

\( \delta>\left |{\frac{x}{1+sen^2x}}\right |\Rightarrow{\delta>\left |{f(x)}\right |} \) si \( 0<\left |{x}\right |<\delta \)

En consecuencia \( \forall{\epsilon>0} \) si se toma \( \delta=\epsilon\Rightarrow{\left |{f(x)}\right |<\epsilon} \) si \( 0<\left |{x}\right |<\epsilon \)

La relación funcional es \( \delta=\epsilon, \ \ \forall{\epsilon>0} \)

Saludos

Nota : En rigor la relación funcional es \( \delta=\epsilon, \ \ \forall{\frac{\pi}{2}>\epsilon>0} \), para un \( \epsilon\geq{\frac{\pi}{2}} \) hay que darse cuenta que el \( \delta \) correspondiente a cualquier \( \frac{\pi}{2}>\epsilon>0 \) hará que se cumplan las inecuaciones I y II

26 Julio, 2020, 01:22 am
Respuesta #2

castrokin

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Muchas gracias por tu pronta respuesta

Una pregunta por que has utilizado la expresion \( \frac{π}{2} \)

Muchas gracias y disculpa

26 Julio, 2020, 04:00 am
Respuesta #3

delmar

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Solamente lo hice para que se vea con claridad , el seno es inyectivo en esas circunstancias.

Saludos

26 Julio, 2020, 06:24 pm
Respuesta #4

castrokin

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Muchísimas gracias

Entonces siguiendo tus consejos se podría hacer de la misma manera

\( f(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2} \) donde \( a=1 \) y \( l=+\infty \)

o seria otro tipo de operación?

Muchas gracias

CORREGIDO

27 Julio, 2020, 11:45 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Muchísimas gracias

Entonces siguiendo tus consejos se podría hacer de la misma manera

\( f(x)=\dfrac{1}{(1-x^2)} \) donde \( a=1 \) y \( l=+\infty \)

o seria otro tipo de operación?

Yo siempre recomiendo en estos "¿se podría hacer?"... no quedarse en la pregunta. ¡Inténtalo! Así aprenderás mas; y verás tu mismo si se puede o no, o en todo caso que dificultades concretas encuentras.

Como observación nota que en ese caso el límite es infinito. Entonces dado \( M>0 \) tienes que encontrar un \( \delta \) que garantice que:

\( 0<|x-1|<\delta \) implica que \( \cancel{\left|\dfrac{1}{1-x^2}\right|>M} \) \( \dfrac{1}{1-x^2}>M \)
¡Manos a la obra!.

Saludos.

CORREGIDO.

28 Julio, 2020, 12:57 am
Respuesta #6

delmar

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Completamente de acuerdo con lo que dice Luis Fuentes hay que intentar responder la interrogante y mostrar lo que se ha hecho, para que de esta manera todos lleguen a buen puerto. Observa que lo que te pidieron demostrar inicialmente se da por que \( \lim_{x \to{}0}{f(x)}=0 \), en el  nuevo caso que propones se ha de averiguar primero ¿si \( \exists{\lim_{x \to{}1}{f(x)}} \)? o ¿si existe el límite por la derecha o por la izquierda? Es evidente que ambos límites existen pero no coinciden, para el límite por la derecha se ha de proceder a encontrar un \( \delta \) dado un M, como ya te lo están mencionando, haciendo los ajustes respectivos.

Saludos

28 Julio, 2020, 10:11 pm
Respuesta #7

castrokin

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Como observación nota que en ese caso el límite es infinito. Entonces dado \( M>0 \) tienes que encontrar un \( \delta \) que garantice que:

\( 0<|x-1|<\delta \) implica que \( \left|\dfrac{1}{1-x^2}\right|>M \)

¡Manos a la obra!.

Saludos.



Muchas gracias amigos por sus respuesta haciendo ejercicios parecidos creo que he logrado realizar el ejercicio

\( \left |{\frac{1}{(1-x)^2}}\right |>M \)

pasando el 1 del numerador al otro lado cambia la dirección de la desigualdad

\( \left |{(1-x)^2}\right |<\frac{1}{M} \)

para eliminar el cuadrado coloco la raíz en ambos lados

\( \sqrt[ ]{\left |{(1-x)^2}\right |}<\sqrt[ ]{\frac{1}{M}} \)

al eliminar quedaría

\( \left |{1-x}\right |<\sqrt[ ]{\frac{1}{M}} \)

debo multiplicar ambos lados por (-1) y cambio la dirección de la desigualdad

\( \left |{x-1}\right |>-\sqrt[ ]{\frac{1}{M}} \)

Siendo este el resultado final

¿Estaré en lo correcto? o ¿Estaré obviando alguna parte?

muchísimas gracias chicos

28 Julio, 2020, 11:05 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola


Como observación nota que en ese caso el límite es infinito. Entonces dado \( M>0 \) tienes que encontrar un \( \delta \) que garantice que:

\( 0<|x-1|<\delta \) implica que \( \left|\dfrac{1}{1-x^2}\right|>M \)

¡Manos a la obra!.

Saludos.



Muchas gracias amigos por sus respuesta haciendo ejercicios parecidos creo que he logrado realizar el ejercicio

\( \left |{\frac{1}{(1-x)^2}}\right |>M \)

Varias cosas:

1) Yo tenía un error. Puse un valor abosulto que no hay que poner. Lo he corregido.

2) En realidad NO es cierto que \( \lim_{x \to 1}{}\dfrac{1}{1-x^2}=+\infty \). Al respecto lee la observación de delmar.

3) Tu has puesto ahora la función \( \dfrac{1}{(1-x)^2} \) pero antes ponías \( \dfrac{1}{1-x^2} \). ¿A cuál de las dos se refiere tu ejercicio?

Saludos.

P.D. Para el exponente 2 usa \( x^2 \) y el carácter dos superíndice.

28 Julio, 2020, 11:10 pm
Respuesta #9

castrokin

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3) Tu has puesto ahora la función \( \dfrac{1}{(1-x)^2} \) pero antes ponías \( \dfrac{1}{1-x^2} \). ¿A cuál de las dos se refiere tu ejercicio?

Saludos.

P.D. Para el exponente 2 usa \( x^2 \) y el carácter dos superíndice.

en este ejercicio me refería a  \( \dfrac{1}{(1-x)^2} \) fue una equivocación de mi parte disculpen

28 Julio, 2020, 11:22 pm
Respuesta #10

Luis Fuentes

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Hola

en este ejercicio me refería a  \( \dfrac{1}{(1-x)^2} \) fue una equivocación de mi parte disculpen

En ese caso lo que está mal es:

debo multiplicar ambos lados por (-1) y cambio la dirección de la desigualdad

\( \left |{x-1}\right |>-\sqrt[ ]{\frac{1}{M}} \)

Siendo este el resultado final

Este paso. El \( -1 \) no entraría dentro del valor absoluto y cambiaría el sentido de la desigualdad.

Sin hacer eso, simplemente ten en cuenta que:

\( |x-1|=|1-x| \)

Saludos.


29 Julio, 2020, 12:39 am
Respuesta #11

castrokin

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Muchas gracias

siguiendo los pasos que me dices

debería quedar

\( (-1)\left |{x-1}\right |>\sqrt[ ]{\frac{1}{M}}(-1) \)

cambiando como bien dices el sentido de la desigualdad quedadndo

\( -1\left |{x-1}\right |<-\sqrt[ ]{\frac{1}{M}} \)

pasando el -1 al lado izquierdo quedaria

\( \left |{x-1}\right |<-\sqrt[ ]{\frac{1}{M}}+1 \)

siendo este el resultado final

¿Que me dicen chicos?

muchas gracias

Nota: ¿Debo seguir usando el valor absoluto o se elimina como bien habías dicho anteriormente?

29 Julio, 2020, 12:07 pm
Respuesta #12

Luis Fuentes

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Hola

debería quedar

\( (-1)\left |{x-1}\right |>\sqrt[ ]{\frac{1}{M}}(-1) \)

cambiando como bien dices el sentido de la desigualdad quedadndo

\( -1\left |{x-1}\right |<-\sqrt[ ]{\frac{1}{M}} \)

pasando el -1 al lado izquierdo quedaria

\( \left |{x-1}\right |<-\sqrt[ ]{\frac{1}{M}}+1 \)

siendo este el resultado final

¿Que me dicen chicos?

¡No! Lo has líado más. No se además de donde sacas es "+1".

Lo que trataba de decirte es que NO tienes que multiplicar por \( -1. \)

Desde aquí:

\( |1-x|<\dfrac{1}{\sqrt{M}} \)

Simplemente \( |1-x|=|x-1| \) y por tanto te queda:

\( |x-1|<\dfrac{1}{\sqrt{M}} \)

Por tanto basta tomar \( \delta=\dfrac{1}{\sqrt{M}} \).

Citar
Nota: ¿Debo seguir usando el valor absoluto o se elimina como bien habías dicho anteriormente?

En principio es sin valor asoluto, es decir:

\( \dfrac{1}{(1-x)^2}<M \)

Lo que pasa es que al extraer raíces cuadradas tenemos en cuenta que \( x^2<y^2 \) equivale a \( |x|<|y| \) y por tanto te queda:

\( \dfrac{1}{|1-x|}<\sqrt{M} \)

Y luego sigues igual con las correcciones que te indiqué.

Saludos.

29 Julio, 2020, 08:45 pm
Respuesta #13

castrokin

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muchas gracias por todo su apoyo amigos

ahora voy a resolver el ejercicio siguiendo sus consejos para ver si he entendido correctamente

\( \frac{1}{(1-x)^2}>M \)

para eliminar la potencia coloco raíz cuadrada a ambos lados

\( \sqrt[ ]{\frac{1}{(1-x)^2}}>\sqrt[ ]{M} \)

Separo la raíces de la fracción

\( \frac{\sqrt[ ]{1}}{\sqrt[ ]{(1-x)^2}}>\sqrt[ ]{M} \)

Resolviendo quedaría

\( \frac{1}{\left |{x-1}\right |}>\sqrt[ ]{M} \)

Pasaría el 1 que esta en el numerado al otro lado y se cambiaría la dirección de \( > \) a \( < \) quedando

\( \left |{x-1}\right |<\frac{1}{\sqrt[ ]{M}} \)

resolviendo así satisfactoriamente el ejercicio

¿habré obviado alguna parte?

muchismas gracias chicos

30 Julio, 2020, 01:23 am
Respuesta #14

delmar

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muchas gracias por todo su apoyo amigos

ahora voy a resolver el ejercicio siguiendo sus consejos para ver si he entendido correctamente

\( \frac{1}{(1-x)^2}>M \)

para eliminar la potencia coloco raíz cuadrada a ambos lados

\( \sqrt[ ]{\frac{1}{(1-x)^2}}>\sqrt[ ]{M} \)

Separo la raíces de la fracción

\( \frac{\sqrt[ ]{1}}{\sqrt[ ]{(1-x)^2}}>\sqrt[ ]{M} \)

Resolviendo quedaría

\( \frac{1}{\left |{x-1}\right |}>\sqrt[ ]{M} \)

Pasaría el 1 que esta en el numerado al otro lado y se cambiaría la dirección de \( > \) a \( < \) quedando

\( \left |{x-1}\right |<\frac{1}{\sqrt[ ]{M}} \)

resolviendo así satisfactoriamente el ejercicio

¿habré obviado alguna parte?

muchismas gracias chicos


Sí, esta bien, dado M>0 has encontrado la condición de x para que \( \left |{f(x)}\right |>M \), la condición es \( 0<\left |{x-1}\right |<\frac{1}{\sqrt[ ]{M}} \), en consecuencia \( \forall{M>0}, \ \exists{\delta>0}, \ \delta =\frac{1}{\sqrt[ ]{M}} \ / \ si \ 0<\left |{x-1}\right |<\delta\Rightarrow{\left |{f(x)}\right |>M} \) esto equivale a \( \lim_{x \to{}1}{f(x)}=\infty \)

Saludos

30 Julio, 2020, 05:14 am
Respuesta #15

castrokin

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Muchas gracias chicos he salido de muchas dudas con ustedes

He resuelto 2 ejercicios mas parecidos y me gustaría que pudieran revisarlos

el primero

\( f(x)=\sqrt[ ]{x}  \)

donde \( a=1 \) y \( l=1 \)

\( 0<\left |{\sqrt[ ]{x}}-1\right |<δ \)

\( \left |{\sqrt[ ]{x}}-1\right |<ε  \)

al hacer la conjugada me quedaría

\( \left |{\frac{x-1}{\sqrt[ ]{x+1}}}\right | \)

como \( \sqrt[ ]{x}+1 \) siempre va a ser un numero positivo le elimino las barras del valor absoluto quedando

\( \frac{\left |{x-1}\right |}{1+\sqrt[ ]{x}}<ε \)

ahora como el denominador mas pequeño de esta función es 1 yo puedo hacer

\( \frac{\left |{x-1}\right |}{1+\sqrt[ ]{x}}\leq{\frac{\left |{x-1}\right |}{1}} \)

ahora

\( \frac{\left |{x-1}\right |}{1}<ε \)

\( \frac{ε }{1} \) \( = \) \( ε  \)

siendo entonces \( δ=ε  \)

me gustaría saber si me he saltado algún paso o si es correcto afirmar que


\( \frac{\left |{x-1}\right |}{1}<ε \)\( = \) \( \frac{ε }{1} \) \( = \) \( ε  \)

es lo correcto

y la segunda

\( f(x)=\frac{5x+1}{3x+9} \) donde \( a=\infty \) y \( l=\frac{5}{3} \)

En esta tengo mas dudas porque investigando un poco encontré que para todo \( ε >0 \) hay un \( N>0 \) tal que si \( x>N \) entonces \( \left |{f(X)-l}\right |<ε  \)

tratando de simplificar la fracción me quedaría

\( \frac{14}{3\left |{x+3}\right |}<ε  \)

al pasar el \( 14 \) al otro lado cambio la dirección de la desigualdad

\( 3\left |{x+3}\right |>\frac{14}{ε} \)

como la tendencia de la función es hacia el infinito positivo puedo eliminar el valor absoluto quedando

\( x+3>\frac{14}{3ε} \)

finalmente para despejar y quedar

\( x>\frac{14}{3ε}-3 \)

siendo este el resultado

ahora en la segunda creo que he fallado en los despejes y no estoy seguro si el enunciado es el correcto para este ejercicio

Muchísimas gracias y disculpen las molestias

Nota: Si debo escribir los ejercicios en otro tema que no sea este me lo hacen saber y lo arreglare muchas gracias

30 Julio, 2020, 01:31 pm
Respuesta #16

Luis Fuentes

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Hola

Alguna pequeña errata:

el primero

\( f(x)=\sqrt[ ]{x}  \)

donde \( a=1 \) y \( l=1 \)

\( 0<\left |{\color{red}\sqrt[ ]{x}\color{black}}-1\right |<δ \)

Ahí sobra la raíz.

Citar
\( \left |{\sqrt[ ]{x}}-1\right |<ε  \)

al hacer la conjugada me quedaría

\( \left |{\frac{x-1}{\color{red}\sqrt[ ]{x+1}}\color{black}}\right | \)

El denominador es en realidad: \( \sqrt{x}+1 \).

Citar
y la segunda

\( f(x)=\frac{5x+1}{3x+9} \) donde \( a=\infty \) y \( l=\frac{5}{3} \)

En esta tengo mas dudas porque investigando un poco encontré que para todo \( ε >0 \) hay un \( N>0 \) tal que si \( x>N \) entonces \( \left |{f(X)-l}\right |<ε  \)

tratando de simplificar la fracción me quedaría

\( \frac{14}{3\left |{x+3}\right |}<ε  \)

al pasar el \( 14 \) al otro lado cambio la dirección de la desigualdad

\( 3\left |{x+3}\right |>\frac{14}{ε} \)

como la tendencia de la función es hacia el infinito positivo puedo eliminar el valor absoluto quedando

\( x+3>\frac{14}{3ε} \)

finalmente para despejar y quedar

\( x>\frac{14}{3ε}-3 \)

siendo este el resultado

ahora en la segunda creo que he fallado en los despejes y no estoy seguro si el enunciado es el correcto para este ejercicio

Está bien.

Saludos.

31 Julio, 2020, 02:46 am
Respuesta #17

castrokin

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Muchas gracias amigos me han ayudado a entender mejor estos ejercicios muchas gracias de verdad