[castrokin]

hola chicos espero me puedan ayudar ya que este problema me esta dando muchos dolores de cabeza

se me pide encontrar un \( δ \) tal que \( \left |{f(x)-l}\right |< Ɛ  \) para todo \( x \) que satisface \( 0<\left |{x-a}\right |<δ \) de la funcion

\( f(x)=\dfrac{x}{1+\sen^2(x)} \) donde \( a=0 \) y \( b=0 \)

Como el enunciado no me da un valor ni para \( x \) ni para \( δ \) he decidido asignarles yo mismo un valor

\( x=90 \) y \( δ=100 \)

al resolver las operaciones quedaria

\( \left |{\frac{90}{1+sen²(90)}}-0\right |<Ɛ \)

\( \left |{45}\right |<Ɛ \)

\( 0<\left |{x-0}\right |<δ \)

\( 0<\left |{x}\right |<δ \)

\( 0<\left |{90}\right |<δ \)

\( 0<90<δ \)

y ese seria el final de la operación.

me gustaría saber si estoy en lo correcto al asignarle un valor a las variables o habrá alguna otra manera de resolver el ejercicio

esperando su pronta respuesta

muchas gracias

[delmar]

Hola

No es el camino correcto estar dando valores a x, lo que piden es un \( \delta>0 \) dado un \( \epsilon>0 \) tal que si \( 0<\left |{x}\right |<\delta\Rightarrow{\left |{f(x)}\right |<\epsilon} \)  (Inec. I y II), lo escribo así por que a=b=0, en otras palabras piden una relación funcional entre \( \epsilon \) y \( \delta \) tal que con estas cantidades se cumplan las inecuaciones I y II. Una forma :

Considerando \( 0<\left |{x}\right |<\delta<\frac{\pi}{2} \)

Se tiene en forma general \( 0<\left |{sen x}\right |<1\Rightarrow{0<sen^2 x<1}\Rightarrow{1<1+sen^2x<2\Rightarrow{1>\frac{1}{1+sen^2x}>\frac{1}{2}}} \)

Multiplicando por \( \left |{x}\right | \) se tiene :

\( \left |{x}\right |>\left |{\frac{x}{1+sen^2x}}\right | \)

Pero por la consideración \( 0<\left |{x}\right |<\delta \) se tiene :

\( \delta>\left |{\frac{x}{1+sen^2x}}\right |\Rightarrow{\delta>\left |{f(x)}\right |} \) si \( 0<\left |{x}\right |<\delta \)

En consecuencia \( \forall{\epsilon>0} \) si se toma \( \delta=\epsilon\Rightarrow{\left |{f(x)}\right |<\epsilon} \) si \( 0<\left |{x}\right |<\epsilon \)

La relación funcional es \( \delta=\epsilon, \ \ \forall{\epsilon>0} \)

Saludos

Nota : En rigor la relación funcional es \( \delta=\epsilon, \ \ \forall{\frac{\pi}{2}>\epsilon>0} \), para un \( \epsilon\geq{\frac{\pi}{2}} \) hay que darse cuenta que el \( \delta \) correspondiente a cualquier \( \frac{\pi}{2}>\epsilon>0 \) hará que se cumplan las inecuaciones I y II

[castrokin]

Muchas gracias por tu pronta respuesta

Una pregunta por que has utilizado la expresion \( \frac{π}{2} \)

Muchas gracias y disculpa

[delmar]

Solamente lo hice para que se vea con claridad , el seno es inyectivo en esas circunstancias.

Saludos

[castrokin]

Muchísimas gracias

Entonces siguiendo tus consejos se podría hacer de la misma manera

\( f(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2} \) donde \( a=1 \) y \( l=+\infty \)

o seria otro tipo de operación?

Muchas gracias

CORREGIDO

[Luis Fuentes]

Hola

Muchísimas gracias

Entonces siguiendo tus consejos se podría hacer de la misma manera

\( f(x)=\dfrac{1}{(1-x^2)} \) donde \( a=1 \) y \( l=+\infty \)

o seria otro tipo de operación?

Yo siempre recomiendo en estos "¿se podría hacer?"... no quedarse en la pregunta. ¡Inténtalo! Así aprenderás mas; y verás tu mismo si se puede o no, o en todo caso que dificultades concretas encuentras.

Como observación nota que en ese caso el límite es infinito. Entonces dado \( M>0 \) tienes que encontrar un \( \delta \) que garantice que:

\( 0<|x-1|<\delta \) implica que \( \cancel{\left|\dfrac{1}{1-x^2}\right|>M} \) \( \dfrac{1}{1-x^2}>M \)
¡Manos a la obra!.

Saludos.

CORREGIDO.

[delmar]

Completamente de acuerdo con lo que dice Luis Fuentes hay que intentar responder la interrogante y mostrar lo que se ha hecho, para que de esta manera todos lleguen a buen puerto. Observa que lo que te pidieron demostrar inicialmente se da por que \( \lim_{x \to{}0}{f(x)}=0 \), en el  nuevo caso que propones se ha de averiguar primero ¿si \( \exists{\lim_{x \to{}1}{f(x)}} \)? o ¿si existe el límite por la derecha o por la izquierda? Es evidente que ambos límites existen pero no coinciden, para el límite por la derecha se ha de proceder a encontrar un \( \delta \) dado un M, como ya te lo están mencionando, haciendo los ajustes respectivos.

Saludos

[castrokin]

Como observación nota que en ese caso el límite es infinito. Entonces dado \( M>0 \) tienes que encontrar un \( \delta \) que garantice que:

\( 0<|x-1|<\delta \) implica que \( \left|\dfrac{1}{1-x^2}\right|>M \)

¡Manos a la obra!.

Saludos.

Muchas gracias amigos por sus respuesta haciendo ejercicios parecidos creo que he logrado realizar el ejercicio

\( \left |{\frac{1}{(1-x)^2}}\right |>M \)

pasando el 1 del numerador al otro lado cambia la dirección de la desigualdad

\( \left |{(1-x)^2}\right |<\frac{1}{M} \)

para eliminar el cuadrado coloco la raíz en ambos lados

\( \sqrt[ ]{\left |{(1-x)^2}\right |}<\sqrt[ ]{\frac{1}{M}} \)

al eliminar quedaría

\( \left |{1-x}\right |<\sqrt[ ]{\frac{1}{M}} \)

debo multiplicar ambos lados por (-1) y cambio la dirección de la desigualdad

\( \left |{x-1}\right |>-\sqrt[ ]{\frac{1}{M}} \)

Siendo este el resultado final

¿Estaré en lo correcto? o ¿Estaré obviando alguna parte?

muchísimas gracias chicos

[Luis Fuentes]

Hola

Como observación nota que en ese caso el límite es infinito. Entonces dado \( M>0 \) tienes que encontrar un \( \delta \) que garantice que:

\( 0<|x-1|<\delta \) implica que \( \left|\dfrac{1}{1-x^2}\right|>M \)

¡Manos a la obra!.

Saludos.

Muchas gracias amigos por sus respuesta haciendo ejercicios parecidos creo que he logrado realizar el ejercicio

\( \left |{\frac{1}{(1-x)^2}}\right |>M \)

Varias cosas:

1) Yo tenía un error. Puse un valor abosulto que no hay que poner. Lo he corregido.

2) En realidad NO es cierto que \( \lim_{x \to 1}{}\dfrac{1}{1-x^2}=+\infty \). Al respecto lee la observación de delmar.

3) Tu has puesto ahora la función \( \dfrac{1}{(1-x)^2} \) pero antes ponías \( \dfrac{1}{1-x^2} \). ¿A cuál de las dos se refiere tu ejercicio?

Saludos.

P.D. Para el exponente 2 usa \( x^2 \) y el carácter dos superíndice.

[castrokin]

3) Tu has puesto ahora la función \( \dfrac{1}{(1-x)^2} \) pero antes ponías \( \dfrac{1}{1-x^2} \). ¿A cuál de las dos se refiere tu ejercicio?

Saludos.

P.D. Para el exponente 2 usa \( x^2 \) y el carácter dos superíndice.

en este ejercicio me refería a  \( \dfrac{1}{(1-x)^2} \) fue una equivocación de mi parte disculpen