[Luis Fuentes]

Hola

en este ejercicio me refería a  \( \dfrac{1}{(1-x)^2} \) fue una equivocación de mi parte disculpen

En ese caso lo que está mal es:

debo multiplicar ambos lados por (-1) y cambio la dirección de la desigualdad

\( \left |{x-1}\right |>-\sqrt[ ]{\frac{1}{M}} \)

Siendo este el resultado final

Este paso. El \( -1 \) no entraría dentro del valor absoluto y cambiaría el sentido de la desigualdad.

Sin hacer eso, simplemente ten en cuenta que:

\( |x-1|=|1-x| \)

Saludos.

[castrokin]

Muchas gracias

siguiendo los pasos que me dices

debería quedar

\( (-1)\left |{x-1}\right |>\sqrt[ ]{\frac{1}{M}}(-1) \)

cambiando como bien dices el sentido de la desigualdad quedadndo

\( -1\left |{x-1}\right |<-\sqrt[ ]{\frac{1}{M}} \)

pasando el -1 al lado izquierdo quedaria

\( \left |{x-1}\right |<-\sqrt[ ]{\frac{1}{M}}+1 \)

siendo este el resultado final

¿Que me dicen chicos?

muchas gracias

Nota: ¿Debo seguir usando el valor absoluto o se elimina como bien habías dicho anteriormente?

[Luis Fuentes]

Hola

debería quedar

\( (-1)\left |{x-1}\right |>\sqrt[ ]{\frac{1}{M}}(-1) \)

cambiando como bien dices el sentido de la desigualdad quedadndo

\( -1\left |{x-1}\right |<-\sqrt[ ]{\frac{1}{M}} \)

pasando el -1 al lado izquierdo quedaria

\( \left |{x-1}\right |<-\sqrt[ ]{\frac{1}{M}}+1 \)

siendo este el resultado final

¿Que me dicen chicos?

¡No! Lo has líado más. No se además de donde sacas es "+1".

Lo que trataba de decirte es que NO tienes que multiplicar por \( -1. \)

Desde aquí:

\( |1-x|<\dfrac{1}{\sqrt{M}} \)

Simplemente \( |1-x|=|x-1| \) y por tanto te queda:

\( |x-1|<\dfrac{1}{\sqrt{M}} \)

Por tanto basta tomar \( \delta=\dfrac{1}{\sqrt{M}} \).

Nota: ¿Debo seguir usando el valor absoluto o se elimina como bien habías dicho anteriormente?

En principio es sin valor asoluto, es decir:

\( \dfrac{1}{(1-x)^2}<M \)

Lo que pasa es que al extraer raíces cuadradas tenemos en cuenta que \( x^2<y^2 \) equivale a \( |x|<|y| \) y por tanto te queda:

\( \dfrac{1}{|1-x|}<\sqrt{M} \)

Y luego sigues igual con las correcciones que te indiqué.

Saludos.

[castrokin]

muchas gracias por todo su apoyo amigos

ahora voy a resolver el ejercicio siguiendo sus consejos para ver si he entendido correctamente

\( \frac{1}{(1-x)^2}>M \)

para eliminar la potencia coloco raíz cuadrada a ambos lados

\( \sqrt[ ]{\frac{1}{(1-x)^2}}>\sqrt[ ]{M} \)

Separo la raíces de la fracción

\( \frac{\sqrt[ ]{1}}{\sqrt[ ]{(1-x)^2}}>\sqrt[ ]{M} \)

Resolviendo quedaría

\( \frac{1}{\left |{x-1}\right |}>\sqrt[ ]{M} \)

Pasaría el 1 que esta en el numerado al otro lado y se cambiaría la dirección de \( > \) a \( < \) quedando

\( \left |{x-1}\right |<\frac{1}{\sqrt[ ]{M}} \)

resolviendo así satisfactoriamente el ejercicio

¿habré obviado alguna parte?

muchismas gracias chicos

[delmar]

muchas gracias por todo su apoyo amigos

ahora voy a resolver el ejercicio siguiendo sus consejos para ver si he entendido correctamente

\( \frac{1}{(1-x)^2}>M \)

para eliminar la potencia coloco raíz cuadrada a ambos lados

\( \sqrt[ ]{\frac{1}{(1-x)^2}}>\sqrt[ ]{M} \)

Separo la raíces de la fracción

\( \frac{\sqrt[ ]{1}}{\sqrt[ ]{(1-x)^2}}>\sqrt[ ]{M} \)

Resolviendo quedaría

\( \frac{1}{\left |{x-1}\right |}>\sqrt[ ]{M} \)

Pasaría el 1 que esta en el numerado al otro lado y se cambiaría la dirección de \( > \) a \( < \) quedando

\( \left |{x-1}\right |<\frac{1}{\sqrt[ ]{M}} \)

resolviendo así satisfactoriamente el ejercicio

¿habré obviado alguna parte?

muchismas gracias chicos

Sí, esta bien, dado M>0 has encontrado la condición de x para que \( \left |{f(x)}\right |>M \), la condición es \( 0<\left |{x-1}\right |<\frac{1}{\sqrt[ ]{M}} \), en consecuencia \( \forall{M>0}, \ \exists{\delta>0}, \ \delta =\frac{1}{\sqrt[ ]{M}} \ / \ si \ 0<\left |{x-1}\right |<\delta\Rightarrow{\left |{f(x)}\right |>M} \) esto equivale a \( \lim_{x \to{}1}{f(x)}=\infty \)

Saludos

[castrokin]

Muchas gracias chicos he salido de muchas dudas con ustedes

He resuelto 2 ejercicios mas parecidos y me gustaría que pudieran revisarlos

el primero

\( f(x)=\sqrt[ ]{x}  \)

donde \( a=1 \) y \( l=1 \)

\( 0<\left |{\sqrt[ ]{x}}-1\right |<δ \)

\( \left |{\sqrt[ ]{x}}-1\right |<ε  \)

al hacer la conjugada me quedaría

\( \left |{\frac{x-1}{\sqrt[ ]{x+1}}}\right | \)

como \( \sqrt[ ]{x}+1 \) siempre va a ser un numero positivo le elimino las barras del valor absoluto quedando

\( \frac{\left |{x-1}\right |}{1+\sqrt[ ]{x}}<ε \)

ahora como el denominador mas pequeño de esta función es 1 yo puedo hacer

\( \frac{\left |{x-1}\right |}{1+\sqrt[ ]{x}}\leq{\frac{\left |{x-1}\right |}{1}} \)

ahora

\( \frac{\left |{x-1}\right |}{1}<ε \)

\( \frac{ε }{1} \) \( = \) \( ε  \)

siendo entonces \( δ=ε  \)

me gustaría saber si me he saltado algún paso o si es correcto afirmar que


\( \frac{\left |{x-1}\right |}{1}<ε \)\( = \) \( \frac{ε }{1} \) \( = \) \( ε  \)

es lo correcto

y la segunda

\( f(x)=\frac{5x+1}{3x+9} \) donde \( a=\infty \) y \( l=\frac{5}{3} \)

En esta tengo mas dudas porque investigando un poco encontré que para todo \( ε >0 \) hay un \( N>0 \) tal que si \( x>N \) entonces \( \left |{f(X)-l}\right |<ε  \)

tratando de simplificar la fracción me quedaría

\( \frac{14}{3\left |{x+3}\right |}<ε  \)

al pasar el \( 14 \) al otro lado cambio la dirección de la desigualdad

\( 3\left |{x+3}\right |>\frac{14}{ε} \)

como la tendencia de la función es hacia el infinito positivo puedo eliminar el valor absoluto quedando

\( x+3>\frac{14}{3ε} \)

finalmente para despejar y quedar

\( x>\frac{14}{3ε}-3 \)

siendo este el resultado

ahora en la segunda creo que he fallado en los despejes y no estoy seguro si el enunciado es el correcto para este ejercicio

Muchísimas gracias y disculpen las molestias

Nota: Si debo escribir los ejercicios en otro tema que no sea este me lo hacen saber y lo arreglare muchas gracias

[Luis Fuentes]

Hola

Alguna pequeña errata:

el primero

\( f(x)=\sqrt[ ]{x}  \)

donde \( a=1 \) y \( l=1 \)

\( 0<\left |{\color{red}\sqrt[ ]{x}\color{black}}-1\right |<δ \)

Ahí sobra la raíz.

\( \left |{\sqrt[ ]{x}}-1\right |<ε  \)

al hacer la conjugada me quedaría

\( \left |{\frac{x-1}{\color{red}\sqrt[ ]{x+1}}\color{black}}\right | \)

El denominador es en realidad: \( \sqrt{x}+1 \).

y la segunda

\( f(x)=\frac{5x+1}{3x+9} \) donde \( a=\infty \) y \( l=\frac{5}{3} \)

En esta tengo mas dudas porque investigando un poco encontré que para todo \( ε >0 \) hay un \( N>0 \) tal que si \( x>N \) entonces \( \left |{f(X)-l}\right |<ε  \)

tratando de simplificar la fracción me quedaría

\( \frac{14}{3\left |{x+3}\right |}<ε  \)

al pasar el \( 14 \) al otro lado cambio la dirección de la desigualdad

\( 3\left |{x+3}\right |>\frac{14}{ε} \)

como la tendencia de la función es hacia el infinito positivo puedo eliminar el valor absoluto quedando

\( x+3>\frac{14}{3ε} \)

finalmente para despejar y quedar

\( x>\frac{14}{3ε}-3 \)

siendo este el resultado

ahora en la segunda creo que he fallado en los despejes y no estoy seguro si el enunciado es el correcto para este ejercicio

Está bien.

Saludos.

[castrokin]

Muchas gracias amigos me han ayudado a entender mejor estos ejercicios muchas gracias de verdad