Autor Tema: Conjunto infinito

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07 Julio, 2020, 09:24 pm
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Einsteindecasa

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Hola a todos,

El ejercicio consiste en:
Produce an infinitive collection of sets \(  A_{1} \), \(  A_{2} \), \(  A_{3} \)... with the property that every \(  A_{i} \) has an infinitive number of elements \(  A_{i} \cap A_{j} = \emptyset  \), and \(  \displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}=N }  \)

Lo iba a traducir pero quizás mi traducción no sea exacta y no quería generar un mal entendido con el problema. Mi solución es \(  A_{1} =  \) conjunto de números pares y \(  A_{2} =  \) conjunto de números impares.

Mi duda es si el problema queda resuelto con mi solución,
Saludos


07 Julio, 2020, 10:09 pm
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Diría que no está bien. La colección de conjuntos que das no es infinita. Prueba tomando \( A_i \) los números cuyo divisor primo más pequeño es el i-esimo primo. Luego añade el 1 a uno de ellos.

Un saludo.

08 Julio, 2020, 01:40 am
Respuesta #2

manooooh

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Hola

Sólo para ahondar en la respuesta de martiniano, el ejemplo que das no cumple con la condición de que la colección de conjuntos que tomaste sea infinita (de hecho sólo hay dos: \( A_1 \) y \( A_2 \)).

Haciendo una búsqueda rápida de tu pregunta en Google aparecen estos apuntes:

https://www.math.ucdavis.edu/~npgallup/m17_mat25/homework/homework_1/m17_mat25_homework_1_solutions.pdf

El enunciado y una posible respuesta son el Exercise 3. Allí toman \( A_n=\{2^{n-1},(3)2^{n-1},(5)2^{n-1},(7)2^{n-1},\ldots\} \).

Saludos

08 Julio, 2020, 03:35 am
Respuesta #3

Einsteindecasa

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Hola.

Diría que no está bien. La colección de conjuntos que das no es infinita. Prueba tomando \( A_i \) los números cuyo divisor primo más pequeño es el i-esimo primo. Luego añade el 1 a uno de ellos.

Un saludo.

No pude desarrollar el problema con los números cuyo divisor primo más pequeño es el i-esimo primo. No sé, si podrías darme una imagen mejor de la solución que planteas.

Hola

Sólo para ahondar en la respuesta de martiniano, el ejemplo que das no cumple con la condición de que la colección de conjuntos que tomaste sea infinita (de hecho sólo hay dos: \( A_1 \) y \( A_2 \)).

Haciendo una búsqueda rápida de tu pregunta en Google aparecen estos apuntes:

https://www.math.ucdavis.edu/~npgallup/m17_mat25/homework/homework_1/m17_mat25_homework_1_solutions.pdf

El enunciado y una posible respuesta son el Exercise 3. Allí toman \( A_n=\{2^{n-1},(3)2^{n-1},(5)2^{n-1},(7)2^{n-1},\ldots\} \).

Saludos

Gracias, revisaré esa página web.

08 Julio, 2020, 04:35 am
Respuesta #4

Masacroso

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Una posible solución sería definir \( A_n:=\{p_n^k: k\in \mathbb N\setminus\{0\}\} \) para cada número primo \( p_n \) y donde \( A_0:=\mathbb{N}\setminus \left(\bigcup_{k\geqslant 1}A_k\right) \). Entonces es fácil de ver que la colección \( \{A_k:k\in \mathbb N\cup\{0\}\} \) es disjunta y \( \bigcup_{k\geqslant 0}A_k=\mathbb{N} \).

08 Julio, 2020, 09:54 am
Respuesta #5

martiniano

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Hola.

No pude desarrollar el problema con los números cuyo divisor primo más pequeño es el i-esimo primo. No sé, si podrías darme una imagen mejor de la solución que planteas.

Como ves hay muchas soluciones. En la que te propuse yo había que tener en cuenta que:

1. Hay infinitos primos mayores que el i-ésimo primo. Al multiplicar cada uno de ellos por el i-ésimo primo se obtiene un elemento de \( A_i \), luego éste es infinito.

2. Un natural no puede tener dos divisores primos distintos más pequeños, luego los \( A_i \) son disjuntos dos a dos.

3. Todo natural salvo el 1 tiene un divisor primo mínimo. Luego, una vez agregado el 1 a un \( A_i \) cualquiera, la unión de todos los \( A_i  \) será \( \mathbb{N} \).

Espero que te sirva. Un saludo.

08 Julio, 2020, 10:03 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

 Otra. \( A_n=\{\textsf{naturales que se escriben como producto de }n\textsf{ primos}\} \).

 A \( A_1 \) le añadimos el \( 1 \), para que no quede fuera.

Saludos.

08 Julio, 2020, 10:32 am
Respuesta #7

feriva

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Mi solución es \(  A_{1} =  \) conjunto de números pares y \(  A_{2} =  \) conjunto de números impares.

Y por qué no “triares” en vez de pares. Los pares no es un conjunto especial, sólo quiere decir “todos los múltiplos de 2”. Después, todos los que no son pares son los impares y la intersección es vacía. Si piensas en “triares” (una palabra que invento yo análoga a “pares”) son todos los múltiplos de 3; y los “intriares”, en vez de impares, son los no mútliplos de 3. Lo mismo puedes hacer con todos los primos y tendrás infinitos conjuntos de infinitos elementos y superas la objeción de manooooh... Pero ni aun así esa idea te vale, pues en el conjunto de todos los múltiplos de 3 estará el 30, por ejemplo, que también estará en el de todos los múltiplos de 2 y de 5; y la intersección no será vacía. Necesitas algo más.

Una solución podría entenderse con la idea anterior y por combinatoria:

Un conjunto estará formado por elementos-producto como sigue: los múltiplos de \( p_{1}
  \), sin ser múltiplos de ningún otro primo. Otro conjunto será el de los múltiplos de \( p_{1}
  \), sin ser múltiplos de ningún otro primo, pero multiplicados cada uno de ellos por \( p_{2}
  \). Otro, los múltiplos de \( p_{1}
  \)... etc., por \( p_{3}
  \)...

No obstante, con esta forma de decirlo nos va a faltar el 1; necesitamos conceptuarlo con potencias para tener incluido el elemento \( 2^{0}=1
  \).

Saludos.

08 Julio, 2020, 11:11 am
Respuesta #8

geómetracat

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Que no sea por soluciones: una sin primos.
Sea \( A_1 \) los impares, \( A_2 \) los múltiplos de \( 2 \) pero no de \( 4 \), \( A_3 \) los múltiplos de \( 4 \) pero no de \( 8 \), etc. En general, \( A_n \) es el conjunto de múltiplos de \( 2^{n-1} \) que no son múltiplos de \( 2^n \).

Esto es lo mismo que considerar \( A_1 \) los naturales cuya expresión en binario acaba en \( 1 \), \( A_2 \) los naturales cuya expresión en binario acaba en \( 10 \), y en general, \( A_n \) es el conjunto de naturales cuya expresión en binario acaba en \( 10\dots 0 \), donde hay \( n-1 \) ceros.

Estos conjuntos son disjuntos e infinitos y la unión de todos ellos es \( \Bbb N - \{0\} \). Podemos añadir el \( 0 \) a un conjunto cualquiera (al \( A_1 \) por ejemplo).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Julio, 2020, 11:26 am
Respuesta #9

feriva

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Hola

 Otra. \( A_n=\{\textsf{naturales que se escriben como producto de }n\textsf{ primos}\} \).

 A \( A_1 \) le añadimos el \( 1 \), para que no quede fuera.

Saludos.

  ¡Qué buena! (es tan corta que ni la había visto al mirar)

08 Julio, 2020, 12:46 pm
Respuesta #10

martiniano

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Hola.

Que no sea por soluciones: una sin primos.
Sea \( A_1 \) los impares, \( A_2 \) los múltiplos de \( 2 \) pero no de \( 4 \), \( A_3 \) los múltiplos de \( 4 \) pero no de \( 8 \), etc. En general, \( A_n \) es el conjunto de múltiplos de \( 2^{n-1} \) que no son múltiplos de \( 2^n \).

Sí, también funciona. De hecho, creo que algo así propuso manooooh.

...
Allí toman \( A_n=\{2^{n-1},(3)2^{n-1},(5)2^{n-1},(7)2^{n-1},\ldots\} \).

Esto es lo mismo que considerar \( A_1 \) los naturales cuya expresión en binario acaba en \( 1 \), \( A_2 \) los naturales cuya expresión en binario acaba en \( 10 \), y en general, \( A_n \) es el conjunto de naturales cuya expresión en binario acaba en \( 10\dots 0 \), donde hay \( n-1 \) ceros.

Interesante interpretación. Después de leerla a uno se le ocurren muchas otras soluciones extrapolándola a otras bases.

Saludos.

08 Julio, 2020, 12:51 pm
Respuesta #11

geómetracat

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Ah sí, es lo mismo de manooooh, se me pasó su mensaje.

De hecho lo pensé primero con la expansión binaria. En efecto, es fácil extrapolar la idea para encontrar muchas otras particiones distintas.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Julio, 2020, 09:47 pm
Respuesta #12

Einsteindecasa

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Wow... literalmente volé, gracias; estoy revisando todas las soluciones; quisiera, algún día, llegar a tener ese potencial que cada uno demuestra en el foro.

Saludos,

Aunque, antes que me retiré. El mundo ha llegado a desarrollar tantas ideas que conformé uno aprende y aprende, nunca acaba de aprender. Es hermoso, te da un enorme deseo de seguir y seguir devorando libros y entendiendo teoremas.

09 Julio, 2020, 07:52 am
Respuesta #13

feriva

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estoy revisando todas las soluciones

Bueno, yo no he llegado a concretar realmente una respuesta, era algo así como un esbozo.
La idea de Geómetracat, con las bases, es muy original; la de Martiniano es muy corta y rápida de entender... Pero si tuvieras que dar una respuesta al ejercicio para clase, yo me quedaría sin duda con la de Luis (con todo el respeto y admiración por los demás) porque no sólo es corta, es instantánea de ver, no hay que hacer el más mínimo esfuerzo dado que es en sí misma el TFA. El teorema fundamental de la aritmética es lo que, directa o indirectamente, sustenta cualquier otra prueba, ya que, es casi una definición de lo que es un número entero; por sí mismo, como ha hecho ver Luis, ya lo demuestra (con alguna añadidura muy ligera que se sobreentiende y no haría falta ni decir). Y, sin embargo, a mí, por ejemplo, no se me ocurrió pensarlo.

Saludos.