Autor Tema: Calcular total de recubrimientos de un rectángulo \(2\times n\) con baldosas

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07 Julio, 2020, 09:50 am
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manooooh

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Hola!

Estaba viendo el problema 57 de este enlace:

https://www.unirioja.es/talleres/creatividad_matematica/SeminarioBachillerato/solhoja8_2017.pdf

y me surgió la duda de cómo hallar \( a_3 \).

El problema es sobre relaciones de recurrencia, y dice:

Se quiere recubrir un rectángulo de tamaño \( 2\times n \) con baldosas de tamaños \( 2\times1 \) y \( 2\times2 \). Encuentra una relación de recurrencia para calcular \( a_n \), el número total de recubrimientos diferentes que pueden hacerse.



Pude entender que \( a_1=1 \) y \( a_2=3 \), pero no entiendo por qué \( a_3=5 \).

Si el rectángulo es de \( 2\times 3 \), yo veo que sólo existen 3 formas de poner las baldosas:

- \( 3 \) baldosas \( 2\times 1 \) en horizontal.
- \( 3 \) baldosas \( 2\times 1 \), \( 1 \) horizontal y \( 2 \) vertical.
- \( 1 \) baldosa \( 2\times2 \) y \( 1 \) baldosa \( 2\times1 \) horizontal.

¿Alguien puede dibujar las situaciones restantes, por favor?

Gracias!!
Saludos

07 Julio, 2020, 09:55 am
Respuesta #1

sugata

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En el 2º y tercer caso, cambia horizontales por verticales.
El mismo rectángulo puesto de pie.

07 Julio, 2020, 10:02 am
Respuesta #2

manooooh

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Hola sugata!! Espero que estés bien.

En el 2º y tercer caso, cambia horizontales por verticales.
El mismo rectángulo puesto de pie.

Ahhh... ¿o sea que sería así?:


Yo pensé que la (1) y la (5) contaban como uno, lo mismo entre la (3) y (4). ¿No es que lo que importa es si las baldosas están o no horizontales o verticales? ¿Es otra combinación si están por encima o por debajo de otras?

Gracias y saludos

07 Julio, 2020, 10:36 am
Respuesta #3

sugata

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¿El 3 y 4 son exactamente el mismo recubrimiento?
Numera las baldosas iguales con el mismo número. Observas en seguida que son distintas.

07 Julio, 2020, 11:19 pm
Respuesta #4

manooooh

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Hola

¿El 3 y 4 son exactamente el mismo recubrimiento?
Numera las baldosas iguales con el mismo número. Observas en seguida que son distintas.

No entiendo bien cómo me dices de numerarlas. Disculpa :(

En la (3) tenemos las 2 verticales debajo, y la horizontal arriba. En la (4) están las 2 verticales arriba y la horizontal abajo. Es como si a la (3) la hubiese girado 180º grados, resulta en la (4). ¿Por qué las consideramos como distintas?

Saludos

08 Julio, 2020, 12:15 am
Respuesta #5

geómetracat

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Tú mismo dices que si a la (3) la giras 180° obtienes la (4). Luego la (3) es distinta de la (4), ya que si fuera la misma no tendrías que hacerle nada. Es decir, que cuando hablan de recubrimientos distintos no quiere decir que dos recubrimientos son iguales si existe alguna simetría que lleva uno en el otro, quiere decir que son distintos si el dibujo es distinto. O de otra manera, no es lo mismo poner una baldosa \( 2 \times 1 \) a la izquierda y una \( 2 \times 2 \) a la derecha que una baldosa \( 2 \times 2 \) a la izquierda y una \( 2 \times 1 \) a la derecha.

Aunque hubiera alguna duda sobre esto y pudieras sospechar que cuando dice distintas quisiera decir distintas salvo simetría, de la solución que dan es bien claro que considera diferentes a configuraciones distintas de las baldosas, aunque puedes transformar una en la otra con una simetría.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Julio, 2020, 12:21 am
Respuesta #6

sugata

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Hola

¿El 3 y 4 son exactamente el mismo recubrimiento?
Numera las baldosas iguales con el mismo número. Observas en seguida que son distintas.

No entiendo bien cómo me dices de numerarlas. Disculpa :(

En la (3) tenemos las 2 verticales debajo, y la horizontal arriba. En la (4) están las 2 verticales arriba y la horizontal abajo. Es como si a la (3) la hubiese girado 180º grados, resulta en la (4). ¿Por qué las consideramos como distintas?

Saludos

Si llamamos 1 a las baldosas 2x1, y 2 a las 2x2, en tus dibujos sería.
El primero
\(  
1\\2
 \)

Y el 5 sería
\(  2\\1 \)
Al no estar colocados en el mismo sitio, como dice geómetracat, no son iguales.

P.D. ¿Dónde está el botón rápido de Látex?

08 Julio, 2020, 12:24 am
Respuesta #7

geómetracat

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P.D. ¿Dónde está el botón rápido de Látex?

Es el botón que tiene una \( \Sigma \) (de más a la izquierda).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

08 Julio, 2020, 12:27 am
Respuesta #8

sugata

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P.D. ¿Dónde está el botón rápido de Látex?

Es el botón que tiene una \( \Sigma \) (de más a la izquierda).


Gracias. Esto habrá cambiado hace poco, porque lo último que escribí seguía llamándose "Tex"

08 Julio, 2020, 01:32 am
Respuesta #9

manooooh

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Hola a ambos

Muchas gracias, pensé que los giros era una cuestión estética, pero sí que es cierto que mirar una figura rotada 0º o 180º, son figuras distintas. Es bueno saberlo de ustedes ;)

Saludos

08 Julio, 2020, 02:05 am
Respuesta #10

sugata

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Hola a ambos

Muchas gracias, pensé que los giros era una cuestión estética, pero sí que es cierto que mirar una figura rotada 0º o 180º, son figuras distintas. Es bueno saberlo de ustedes ;)

Saludos

Una figura rotada 0º, muy distinta no es...
 :P
Sé lo que querías decir, pero así expresado me sonaba raro.

24 Julio, 2020, 02:51 am
Respuesta #11

manooooh

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Hola

Tengo una duda en cómo el documento busca la recurrencia.

Dice que si tenemos recubiertos \( 2\times(n-1) \) es necesario recubrir con una baldosa de \( 2\times1 \) lo cual lo entiendo.

Mi problema viene cuando dice que para recubrir \( 2\times(n-2) \) se deben añadir dos baldosas \( 2\times1 \) en horizontal o una baldosa \( 2\times2 \). De ahí deduce que \( a_n=a_{n-1}+2a_{n-2} \).

Pero ¿no es que \( a_2=3 \)? Para mí cuando se recubrieron \( 2\times(n-2) \) hay 3 opciones: las que dice y además dos baldosas de \( 2\times1 \) en vertical. ¿Estoy en lo correcto?

En ese caso el autor está equivocado y ya no veo por qué \( a_n=a_{n-1}+2a_{n-2} \). ¿Alguien me ayuda?

Saludos

24 Julio, 2020, 10:32 am
Respuesta #12

geómetracat

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El caso de dos baldosas en vertical ya está contemplado en el caso en que amplías un recubrimiento \( 2\times (n-1) \). Si lo contaras también en el segundo caso estarías contando un mismo recubrimiento dos veces, y por tanto estaría mal.

Es decir, dado un recubrimiento \( 2\times n \) hay dos casos. O bien proviene de un recubrimiento \( 2 \times (n-1) \) añadiendo una baldosa vertical al final. O bien proviene de un recubrimiento \( 2 \times (n-2) \) pero no de uno \( 2 \times (n-1) \) en cuyo caso se obtiene o bien agregando dos baldosas horizontales o una \( 2\times 2 \). Ahora los casos son excluyentes (ningún recubrimiento aparece en los dos casos) y por tanto puedes escribir la recurrencia que te dan.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

24 Julio, 2020, 11:01 am
Respuesta #13

manooooh

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Hola

El caso de dos baldosas en vertical ya está contemplado en el caso en que amplías un recubrimiento \( 2\times (n-1) \). Si lo contaras también en el segundo caso estarías contando un mismo recubrimiento dos veces, y por tanto estaría mal.

Es decir, dado un recubrimiento \( 2\times n \) hay dos casos. O bien proviene de un recubrimiento \( 2 \times (n-1) \) añadiendo una baldosa vertical al final. O bien proviene de un recubrimiento \( 2 \times (n-2) \) pero no de uno \( 2 \times (n-1) \) en cuyo caso se obtiene o bien agregando dos baldosas horizontales o una \( 2\times 2 \). Ahora los casos son excluyentes (ningún recubrimiento aparece en los dos casos) y por tanto puedes escribir la recurrencia que te dan.

Muchas gracias! Creo entenderte, y es simplemente que estaba contando casos repetidos.


¿Lo entendí bien?

El problema que veo es que para \( n=4 \) me da menos que lo que debería dar que son \( 11 \) (contando las que no oscuras da un total de 8).

Saludos

24 Julio, 2020, 11:31 am
Respuesta #14

geómetracat

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El diagrama no está bien. Tienes que ir persiguiendo cada posibilidad hasta el final. Por ejemplo, en la primera bifurcación arriba te queda \( 2 \times (n-1) + 2 \times 1 \) y lo marcas como si fuera terminal, pero ahora deberías descomponer el factor \( 2 \times (n-1) \) siguiendo la recurrencia.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

24 Julio, 2020, 11:35 am
Respuesta #15

Luis Fuentes

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Hola

 manooooh: no entiendo muy bien el esquema que haces.

 No se porque bifurcas los casos \( 2\times (n-2) \) pero no los \( 2\times (n-1) \). No estoy seguro de que sea clarificador.

 Tampoco entiendo esto:

El problema que veo es que para \( n=4 \) me da menos que lo que debería dar que son \( 11 \) (contando las que no oscuras da un total de 8).

 Para \( n=4 \) el número de configuraciones ciertamente son 11 y salen aplicando la relación recursiva indicada:

\(  a_1=1,\quad a_2=3,\quad a_n=a_{n-1}+2a_n \)

\(  a_3=a_2+2\cdot a_1=3+2\cdot 1=5 \)
\(  a_4=a_3+2\cdot a_2=5+2\cdot 3=11 \)

Saludos.

P.D. Mientras escribías esto se adelantó geómetracat

24 Julio, 2020, 11:36 am
Respuesta #16

manooooh

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Hola

El diagrama no está bien. Tienes que ir persiguiendo cada posibilidad hasta el final. Por ejemplo, en la primera bifurcación arriba te queda \( 2 \times (n-1) + 2 \times 1 \) y lo marcas como si fuera terminal, pero ahora deberías descomponer el factor \( 2 \times (n-1) \) siguiendo la recurrencia.

Ah, claro. Entonces el diagrama no nos dice nada. Porque no podría detenerse jamás, salvo si decimos que \( 2\times(n-1)+2\times1=2\times(n-2)+2\times1+2\times1=2\times(n-3)+2\times1+2\times1+2\times1=\cdots=2\times1+\cdots+2\times1 \).

Entonces está bien en que siempre dado un recubrimiento cualquiera, por ejemplo \( 2\times(n-6) \), van a haber 2 posibilidades: que las \( 2\times(n-5) \) se le agreguen la baldosa \( 2\times1 \), o que se cuenten nuevas combinaciones.

Saludos

AGREGADO:

No se porque bifurcas los casos \( 2\times (n-2) \) pero no los \( 2\times (n-1) \). No estoy seguro de que sea clarificador.

Estoy de acuerdo contigo. Pensé que las no oscuras eran terminales pero siguen dependiendo de \( n \). En ese caso, para que sean terminales, es lo mismo que hacer con menos símbolos la recurrencia en la forma que haces.

24 Julio, 2020, 11:49 am
Respuesta #17

geómetracat

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He dibujado el diagrama correspondiente a \( 2 \times 4 \). Los números entre paréntesis corresponden a no terminales, que aún hay que seguir desarrollando.


La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

24 Julio, 2020, 11:57 am
Respuesta #18

manooooh

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Hola

 :aplauso: :aplauso:. Ahora lo veo claro gracias a tu dibujo. No consideré los casos en que la baldosa podía estar acostada. Y eso que me lo dijiste.

Muchísimas gracias :).

Saludos

24 Julio, 2020, 12:07 pm
Respuesta #19

Luis Fuentes

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