Autor Tema: Verificación de mapeo conforme.

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28 Junio, 2020, 06:22 pm
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ASamuel

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Hola, qué tal, podrían ayudarme con el siguiente problema por favor:

Encuentre el mapeo conforme del disco \( |z − 4i| < 2 \) al semiplano \( v < u \), \( (w = u + iv) \) tal que el centro del disco se mapee al punto \( 4 \) y el punto \( 2i \) se mapee al origen.

He intentado lo siguiente para buscar el mapeo, pero hay una parte en la que tengo duda:
Con \( w_1=z-4i \) llevamos el disco al origen, con \( w_2=\dfrac{w_1}{2} \) lo convertimos al disco unitario, lo llevamos al semiplano superior con \( w_3=-i\dfrac{w_2+1}{w_2+i} \) y con \( w_4=i\dfrac{\log(w_3)}{\alpha} \) con \( \alpha=\dfrac{5\pi}{4} \) llevamos al semiplano superior al semiplano que buscamos.
Por tanto la transformación que hace lo que buscamos es \( w(z)=w_4(w_3(w_2(w_1(z)))) \)

Aun me falta ver que cumpla con las condiciones requeridas, pero mi duda principalmente es lo que he señalado con rojo, intuyo que cumple con lo que busco, pero no sé si estoy en lo correcto.
Agradecería si me dijeran que tengo mal o si ustedes tienen alguna otra forma de resolverlo.

Gracias.

29 Junio, 2020, 11:30 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Encuentre el mapeo conforme del disco \( |z − 4i| < 2 \) al semiplano \( v < u \), \( (w = u + iv) \) tal que el centro del disco se mapee al punto \( 4 \) y el punto \( 2i \) se mapee al origen.

He intentado lo siguiente para buscar el mapeo, pero hay una parte en la que tengo duda:
Con \( w_1=z-4i \) llevamos el disco al origen, con \( w_2=\dfrac{w_1}{2} \) lo convertimos al disco unitario, lo llevamos al semiplano superior con \( w_3=-i\dfrac{w_2+1}{w_2+i} \) y con \( w_4=i\dfrac{\log(w_3)}{\alpha} \) con \( \alpha=\dfrac{5\pi}{4} \) llevamos al semiplano superior al semiplano que buscamos.

Pero si no me equivoco la transformación que lo lleva en el plano superior está mal. Debería de ser:

\( w_3=-i\dfrac{w_2+1}{w_2-1} \)

La siguiente pretende ser un giro de ángulo \( \alpha=\dfrac{5\pi}{4} \). Debería de ser:

\( w_4=e^{i\alpha}w_3 \).

Además tienes que ajustar los puntos.

- El centro del disco original va al centro del disco unitario. Su imagen en el semiplano superior es: \( \color{red}i\color{black} \).
- El punto \( 2i \) del disco original va al punto \( -i \) del disco unitario. Su imagen en el semiplano superior es: \( \color{red}1\color{black} \).

A ti te interesaría que esas imágenes fueran respectivamente \( P=4e^{-\alpha i} \) y \( Q=0 \).

Entonces antes de aplicar el giro intercala una transformación dentro del semiplano superior que lleve \( -i \) en \( \color{red}P\color{black} \) y \( -1 \) en \( 0 \). Toda transformación del semiplano superior es de la forma:

\( \dfrac{az+bç}{cz+d} \) con \( a,b,c,d\in \Bbb R \) y \( ad-bc>0 \).

Saludos.

CORREGIDO.

29 Junio, 2020, 05:12 pm
Respuesta #2

ASamuel

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Hola, al principio he tratado de proceder de manera analoga a como mencionas, pero tuve unos problemas, creo que porque soy nuevo en esto.
Aqui mencionas:
Citar
A ti te interesaría que esas imágenes fueran respectivamente \( P=4e^{-\alpha i} \) y \( Q=0 \).

¿A que se debe el signo negativo de \( P=4e^{-\alpha i} \)?

Citar
Entonces antes de aplicar el giro intercala una transformación dentro del semiplano superior que lleve \( -i \) en y \( -1 \) en \( 0 \). Toda transformación del semiplano superior es de la forma:

\( \dfrac{az+b}{cz+d} \) con \( a,b,c,d\in \Bbb R \) y \( ad-bc>0 \).
En esta parte tengo dos dudas, la primera, mencionas que buscamos una transformación dentro del plano nos lleve \( -i \) en creo que falto una parte y no sé a donde te refieras a llevarlo, y la segunda, como mencione, al principio trate de hacerlo con ese tipo de transformaciones del semiplano, pero he visto ejemplos y necesitaria más puntos para que pueda aplicarlo, ¿no?, o ¿tengo que tomarlos de una manera especifica para poder aplicar estas transformaciones?.

Muchas gracias por tus respuestas siempre son de mucha ayuda  :aplauso:

30 Junio, 2020, 08:32 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Vaya por delante que tenía varias erratas.

¿A que se debe el signo negativo de \( P=4e^{-\alpha i} \)?

Recapitulemos. El enunciado pide llevar el centro del disco en el \( 4 \).

- La dos primeras transformaciones llevan el centro del disco dado en el centro del disco unidad.
- La siguiente (que transforma el disco unidad en el semiplano superior) lleva el centro en el punto \( i \).

- Sabemos que terminaremos con una último giro de \( \alpha \) grados. Entonces antes de hacerlo quiero modificar ese punto \( i \) para que al ser girado \( \alpha \) grados nos de \( 4 \). Por tanto quiero que, antes del giro, el punto \( i \) se transforme en el punto \( 4 \) girado \( -\alpha \) grados, es decir, en \( P=4e^{-\alpha} \).

Citar
En esta parte tengo dos dudas, la primera, mencionas que buscamos una transformación dentro del plano nos lleve \( -i \) en creo que falto una parte y no sé a donde te refieras a llevarlo,

Eso ya lo arregle: en \( P. \) Además recuerda que tenía otra errata. Es el punto \( i \), no el \( -i. \)

Citar
y la segunda, como mencione, al principio trate de hacerlo con ese tipo de transformaciones del semiplano, pero he visto ejemplos y necesitaria más puntos para que pueda aplicarlo, ¿no?, o ¿tengo que tomarlos de una manera especifica para poder aplicar estas transformaciones?.

Tienes que buscar \( a,b,c,d \) tal que:

\( \dfrac{ai+b}{ci+d}=4e^{-\alpha i} \)

\( \dfrac{a+b}{c+d}=0 \)

De la segunda condición, \( a=-b \). Y sin pérdida de generalidad puedes suponer \( a=-b=1 \). Entonces te queda:

\( d+ci=\dfrac{1}{4}e^{\alpha i}(i-1)=\dfrac{1}{4\sqrt{2}}(-1-i)(i-1)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \)

de donde \( d=\dfrac{1}{2\sqrt{2}} \) y \( c=0 \).

Saludos.

P.D. Revisa las cuentas.