Gracias por la respuesta! A raíz de la misma me queda la duda de si es correcto proceder como explico a continuación:
Dada una base arbitraria, se llega a una segunda base usando una matriz \( \mathbb{A} \) de cambio de base, que aplicada a los vectores de la base inicial, genera los vectores de la nueva base.
Luego, se toma o elige un vector también en forma arbitraria, tomando n-coordenadas de forma de forma arbitraria en la base inicial.
Para conocer las coordenadas del vector arbitrario (por elección arbitraria de coordenadas en la base inicial) en la nueva base, se multiolica el vector de coordenadas en cuestión por la inversa \( \mathbb A^{-1} \) de la matriz inicial de cambio de base (esta inversa sería una matriz de cambio de coordenadas).
En todo caso, aún queda un aspecto en cuestión que parece bastante importante; en el ejemplo anterior, que he construido yo mismo, digamos, el cambio de base afecta a sólo uno de los vectores de la base inicial (sería tal vez un cambio de subbase, antes que uno de base): de este modo, la ecuación del hiperplano se puede expresar al final con un número menor de variables.
A simple vista, la cuestión se trasladaría al tipo de matrices (de cambio de base) que dejan invariante una subbase, parecería (y tal vez al rango de las mismas, a su pertenencia a un subgrupo, etc.).
Bueno, gracias de nuevo por la paciencia y cualquier observación es bienvenida. Saludos
No sé si te entiendo (pero es que yo tampoco sé mucho, no creas).
Todo vector está asociado a alguna base; es decir, si yo tomo el vector, por ejemplo, \( (1,1,2)
\) y no lo considero en ninguna base, entonces no es un vector ni es nada.
Está asociado a alguna base B; tal que a la matriz de la base se le suele llamar \( M_{B}
\) (o si quieres con la letra A, eso da igual) y se cumple
\( M_{B}v_{B}=(1,1,2)
\)
Si ahora quiero expresar ese vector en otra base dada, sea \( D
\), lo que tengo de partida es esta igualdad \( M_{B}v_{B}=M_{D}v_{D}
\)
Quiero hallar el vector \( v_{D}
\), es decir, las coordenadas del vector respecto de la base D.
Para ello, despejo multiplicando por la matriz inversa de \( M_{D}
\) a ambos lados de la igualdad y por el mismo lado (porque la conmutativa no se cumple en general):
\( M_{D}^{-1}M_{B}v_{B}=M_{D}^{-1}M_{D}v_{D}
\)
Donde \( M_{D}^{-1}M_{D}=I
\) es la matriz identidad, que es como el 1 y deja invariante lo que toca; entonces te queda
\( M_{D}^{-1}M_{B}v_{B}=Iv_{D}
\)
\( {\color{blue}M_{D}^{-1}M_{B}}v_{B}=v_{D}
\)
Ese producto de matrices de la izquierda \( {\color{blue}M_{D}^{-1}M_{B}}
\) da otra matriz, al multiplicar ambas, y esa matriz resultante es la que se llama matriz de cambio de base; la que transforma el vector \( v_{B}
\) en \( v_{D}
\); en definitiva, el vector con coordenadas respecto de B acaba, al otro lado de la igualdad, expresado en las coordenadas respecto de la base D.
Y, una vez que tienes la matriz de cambio, \( {\color{blue}M_{D}^{-1}M_{B}}
\), puedes multiplicar por ella sólo un vector de los que están en B; o sólo dos... o varios más o todos. Y según eso tendrás los vectores del subespacio que tú quieras tener (un hiperplano o lo que sea) expresados en la otra base. Pero el cambio de base se hace entero, con toda la base, no se hace a medias, que yo sepa. No te digo que no exista, pero yo ahora mismo no recuerdo lo que es un cambio de subbase; si se puede hacer, no lo sé, no sé cómo se hace, no te puedo decir.
Spoiler
*(¿Ves bien los subíndices y todas las fórmulas? Te lo pregunto porque yo tengo un navegador antiguo y uso una resolución algo grande, con lo que no sé si lo ves todo muy junto como me pasa a mí al pegar las fórmulas aquí)
Saludos.
