[Luis Fuentes]

Hola

Ahora viene mi duda, que es a raíz de la presentacion del tema q sw hace en el libro de Birkhoff (en el que se dice que la "matriz de cambio de base" y la "matriz de cambio de coordenadas", que es la inversa de la primera, son contradiente: o en realidad, mas precisamente que el.cambio de base es contragradiente del.cambio de coordenadas...); si en 4) se toma la.matriz que ahí aparece como.matriz de cambio de base (como explicó Feriva mas arriba), entonces la matriz de cambio de coordenadas, sería la inversa de la anterior?

Sería bueno que escaneases o fotografiases la o las páginas del libro donde viene eso. No lo tengo y tengo que responderte medio a ciegas.

En primer lugar lo de "contragradiente" me suena raro; se suele decir covariante o contravariante. Son conceptos que se refieren a si en ciertas matrices de coordenadas asociados a conceptos en espacios vectoriales (vectores, aplicaciones lineales, aplicaciones multilinelaes) cambian de base usando una cierta matriz de cambio o su inversa traspuesta; o equivalentemente si cambian de base como vectores del espacio vectorial o de su dual. Esto es algo que habría que explicar con calma y sabiendo bien el bagaje previo de quien quiere entenderlo.

No obstante uno puede estudiar mucha álgebra lineal, sin necesidad de entrar a distinguir entre esos dos tipos de cambio de variable, que probablemente tienen su máximo sentido cuando uno trabaja con el concepto más general de tensores.

En cuanto a distinguir entre "matriz de cambio de base" y "matriz da cambio de coordenadas"; francamente yo no distingo, así que sin verlo no estoy seguro de a que se refiere el libro.

En principio me parece más importante que entiendas (por este orden):

1) Que es una base de un espacio vectorial.
2) Que son las coordenadas de un vector respecto a una base.
3) Que un mismo vector puede expresarse en diferentes bases y, aun siendo el mismo vector, cambian sus coordenadas al cambiar la base.

(y en esos dos puntos no intervienen para nada matrices)

3) Como expresar matricialmente la relación entre las bases y coordenadas.

Saludos.

[feriva]

Gracias por la respuesta y la explicación!

De nada, por la parte que me pueda tocar.

Una cuestión operativa sin importancia.

El último vector, (19,8) es el producto del vector con coordenadas (2,3) por su base; y al hacer la operación queda “sin base” (o sea, queda con las coordenadas respecto de la canónica) pero sigue siendo lo mismo.

Entonces, de aquí

\( \begin{pmatrix}{2} & {5}\\
{1} & {2}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{2}\\
{3}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1} & {0}\\
{3} & {2}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\
{y}
\end{pmatrix}
  \)

pasa aquí

\( \begin{pmatrix}19\\
8
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1} & {0}\\
{3} & {2}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{x}\\
{y}
\end{pmatrix}
  \)

y multiplicas ya por la inversa a ambos lados; y así operas menos.

Otra forma de resolverlo es multiplicar el segundo miembro e igualar por coordenadas; así te queda un sistema escribiéndolo la igualdad en horizontal:

\( (19,8)=(x,\,3x+2y)
  \)

es decir

\( \begin{array}{c}
19=x\\
8=3x+3y
\end{array}
  \)

\( y=-\dfrac{49}{3}
  \)

o sea \( (x,y)=(19,-\dfrac{49}{3})
  \).

Es -49, no -43 (si no me he equivocado yo).

Saludos.