Autor Tema: ¿Qué son y cuáles son algunos ejemplos de estructuras abstractas?

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27 Mayo, 2020, 02:16 am
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allex_luthor

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Hola, soy nuevo no solo en el foro sino también en el mundo de las matemáticas y la ciencia en general. Soy un completo novato, así que espero que me tengan mucha paciencia  :)
Por distintas razones me encuentro muy intrigado con las matemáticas, y leyendo un libro me surgieron unas dudas:
En matemáticas, ¿qué son las estructuras abstractas? Todo, ¿no? Las matemáticas son la ciencia de las estructuras.
Muy bien sí, pero el autor del libro hace mención en que las estructuras abstractas son la escencia del pensamiento, la comunicación y de la vida en general... Eso me hizo pensar en si el lenguaje que usamos es una estructura abstracta, pero según wikipedia no lo es, aunque no estoy seguro de entender ya que la traducción de esa página de wikipedia no me pareció buena.
Esta es la página:
https://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_structure

Entonces, en esa página utilizan un termino con el que no estoy realmente familiarizado, es el de "objeto formal", pero al buscar en wikipedia solo me confundí más. Y buscando más, me encontré con que es la forma en que se estudia alguna materia de una ciencia...
Me gustaría que me ayudaran a esclarecer este pequeño tema.
Ojalá me puedan ayudar, desde ya muchas gracias. :)



27 Mayo, 2020, 03:13 am
Respuesta #1

alexpglez

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Hola!
Bienvenido al mundo de las matemáticas  :). Son complejas, a la vez que muy simples y bellas.

¿Estás leyendo un libro de divulgación científica? El concepto de estructura abstracta, tal y como viene en la wikipedia, parece un concepto puramente divulgativo. No algo concreto o técnico.

Quizá lo más parecido sea el concepto de estructura o modelo:
https://en.wikipedia.org/wiki/Structure_(mathematical_logic)

Una estructura es un conjunto \( A \), y una serie funciones u operaciones \( f \) y relaciones \( R \) en el conjunto. Por ejemplo:
- La estructura natural: el conjunto de los números naturales \( \mathbb N \) con la suma y la multiplicación \( + \), \( \cdot \) y la relaciones de igualdad \( = \) y menor o igual \( \leq  \).
- La estructura real: los números reales \( \mathbb R \) con sus operaciones y relaciones

Pero también hay otros no numéricos:
- \( A \) el conjunto de personas del mundo y la relación de vivir en la misma ciudad: dos personas \( x \) e \( y \) se relacionan si viven en la misma ciudad.
- El conjunto de simetrías de un polígono regular (rotaciones y simetrías respecto a ejes), con la operación de composición de simetrías.

Aún así se estudian muchos objetos que no son estructuras como tales (aunque se parecen), por ejemplo:
- En topología y geometría, se estudian conjuntos de puntos, en el que podemos decir que dos puntos "están más o menos estar cerca" y definir el concepto de continuidad de funciones.
- En estadística y probabilidad; conjuntos de sucesos y subconjuntos medibles, medidas de probabilidad, etc.
- En análisis; espacios de funciones.

Las matemáticas son muy amplias. Desde finales del siglo XIX, muchos matemáticos han contribuido a axiomatizar y sintetizar la matemática, culminando en la lógica matemática y la teoría de categorías.

28 Mayo, 2020, 02:29 am
Respuesta #2

allex_luthor

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Hola. Gracias por la bienvenida.
Sí, de hecho he comenzado a leer "El lenguaje de las matemáticas" de Keith Devlin.
Citaré esa parte específica del libro para ser más claro sobre mis dudas:

"En la época actual, dominada por la información, la comunicación y el cómputo, las matemáticas tratan de hallar nuevas cerraduras qué abrir.
Hay escasamente pocos aspectos de nuestras vidas que no estén afectados en mayor o menor medida por las matemáticas, puesto que las estructuras abstractas son la esencia primaria del pensamiento, de la comunicación, del cálculo, de la sociedad y de la propia vida."

Entonces el que el autor utilice "estructuras abstractas" ¿no se refiere a nada técnico?
Porque entonces ¿cómo podrían ser esas estructuras la esencia del pensamiento?

30 Mayo, 2020, 05:41 pm
Respuesta #3

alexpglez

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Hola. Gracias por la bienvenida.
Sí, de hecho he comenzado a leer "El lenguaje de las matemáticas" de Keith Devlin.
Citaré esa parte específica del libro para ser más claro sobre mis dudas:

"En la época actual, dominada por la información, la comunicación y el cómputo, las matemáticas tratan de hallar nuevas cerraduras qué abrir.
Hay escasamente pocos aspectos de nuestras vidas que no estén afectados en mayor o menor medida por las matemáticas, puesto que las estructuras abstractas son la esencia primaria del pensamiento, de la comunicación, del cálculo, de la sociedad y de la propia vida."

Entonces el que el autor utilice "estructuras abstractas" ¿no se refiere a nada técnico?
Porque entonces ¿cómo podrían ser esas estructuras la esencia del pensamiento?
No conozco el libro, pero el contexto es divulgativo. "Estructuras abstractas" no se refiere a algo en concreto.
Las matemáticas juegan con conceptos como los explicados. Estructuras formales, basadas en la lógica formal, que pueden reflejar o no operaciones aplicadas a la realidad (de ahí lo de "abstracto").
La lógica formal son básicamente unas reglas, que dicen como puedes demostrar enunciados complejos a partir de otros más simples. Es algo universal, en el sentido de que si alguien duda de una demostración es porque:
- Pueda haber algún fallo o algún paso que no esté claro
- Dude de la propia lógica
Las matemáticas se basan en crear estructuras, entes abstractos que cumplen unos axiomas concretos, para deducir propiedades interesantes y potentes sobre ellas por medio de la lógica formal. Potentes en el sentido de que se puedan aplicar, a la ingeniería, a la estadística, pero casi siempre a la propia matemática.

11 Junio, 2020, 04:51 am
Respuesta #4

allex_luthor

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Hola. Gracias por la bienvenida.
Sí, de hecho he comenzado a leer "El lenguaje de las matemáticas" de Keith Devlin.
Citaré esa parte específica del libro para ser más claro sobre mis dudas:

"En la época actual, dominada por la información, la comunicación y el cómputo, las matemáticas tratan de hallar nuevas cerraduras qué abrir.
Hay escasamente pocos aspectos de nuestras vidas que no estén afectados en mayor o menor medida por las matemáticas, puesto que las estructuras abstractas son la esencia primaria del pensamiento, de la comunicación, del cálculo, de la sociedad y de la propia vida."

Entonces el que el autor utilice "estructuras abstractas" ¿no se refiere a nada técnico?
Porque entonces ¿cómo podrían ser esas estructuras la esencia del pensamiento?
No conozco el libro, pero el contexto es divulgativo. "Estructuras abstractas" no se refiere a algo en concreto.
Las matemáticas juegan con conceptos como los explicados. Estructuras formales, basadas en la lógica formal, que pueden reflejar o no operaciones aplicadas a la realidad (de ahí lo de "abstracto").
La lógica formal son básicamente unas reglas, que dicen como puedes demostrar enunciados complejos a partir de otros más simples. Es algo universal, en el sentido de que si alguien duda de una demostración es porque:
- Pueda haber algún fallo o algún paso que no esté claro
- Dude de la propia lógica
Las matemáticas se basan en crear estructuras, entes abstractos que cumplen unos axiomas concretos, para deducir propiedades interesantes y potentes sobre ellas por medio de la lógica formal. Potentes en el sentido de que se puedan aplicar, a la ingeniería, a la estadística, pero casi siempre a la propia matemática.

Hola. Gracias por responder y una gran disculpa por tardarme tanto en responder. Pero te lo agradezco mucho, ya entendí.
Ojalá fueras mi profesor particuar jaja. :'3
Lo agradezco muchísimo.
Seguiré teniendo dudas :)
Saludos :D