[manooooh]

Hola!

En \( \Bbb{Z}^2 \) se define \( R \) como

\( (a,b)R(c,d)\iff a+d=b+c. \)

Hallar las clases de equivalencia y el conjunto cociente.


Ya he probado que es una relación de equivalencia, pero no he podido hallar las clases, no siquiera una en particular, por ejemplo:

\( \operatorname{cl}(1,2)=\{(x,y)\in\Bbb{Z}^2\mid x+2=y+1\}=\text{????} \)

No sé cómo despejar \( x \) e \( y \) pues me parece que sólo hay una ecuación con esas \( 2 \) incógnitas.

Y menos quién es el conjunto cociente y qué representa. ¿Alguien sabe cómo?

Gracias!!
Saludos

[geómetracat]

La clase de \( (1,2) \) es:
\( cl(1,2)=\{ (x,y) \in \Bbb Z^2 \mid x-y=-1\} \).

En general, tienes que:
\( cl(a,b) = \{ (x,y) \in \Bbb Z^2 \mid x-y = a-b\} \).

Cada clase tiene un representante (y solo uno) de la forma \( (a,0) \) (en efecto, \( (x,y) \) está relacionado con \( (x-y,0) \) y si \( (x,y)R(a,0) \) necesariamente \( a=x-y \)). Entonces puedes identificar el conjunto cociente con \( \Bbb Z \). La idea es que al pasar al cociente identificas cada tupla \( (x,y) \) con el entero \( x-y \).

Como relación en \( \Bbb Z^2 \) no tiene demasiada importancia, pero si tomas esa misma relación de equivalencia en \( \Bbb N^2 \) (enteros no negativos) tienes la construcción habitual de \( \Bbb Z \) a partir de \( \Bbb N \). La idea es que ahora las tuplas son de números naturales e identificas la clase de \( (a,0) \) con el número entero \( a \) y la clase de \( (0,a) \) con el número entero \( -a \).

[manooooh]

Hola geómetracat, es un gusto poder volver a dialogar con vos

Muchas gracias.

No entiendo cómo has armado las clases de equivalencia particular ni general. ¿Por qué es la resta? ¿Y si era la suma? No entiendo bien cómo se puede afirmar eso si tenemos una sola ecuación.

Saludos

[geómetracat]

Hola geómetracat, es un gusto poder volver a dialogar con vos

Lo mismo digo, un placer. 

No entiendo cómo has armado las clases de equivalencia particular ni general. ¿Por qué es la resta? ¿Y si era la suma? No entiendo bien cómo se puede afirmar eso si tenemos una sola ecuación.

He reordenado los términos de la definición. Tienes \( (a,b) R (c,d)  \) si y solo si \( a+d = b+c \), que es lo mismo que \( a-c =b-d  \). La ventaja de escribirlo así es que el lado izquierdo depende únicamente de la primera tupla y el derecho únicamente de la segunda tupla. Entonces esto te dice que dos tuplas están relacionadas si y solo si la resta de la primera componente menos la segunda es la misma en ambas tuplas. Por tanto, la clase de \( (a,b) \) consiste en todas las tuplas \( (x,y) \) con \( x-y = a-b \) y puedes identificar el conjunto cociente con \( \Bbb Z \) asignando a cada clase \( [(a,b)] \) el entero \( a-b \), que por lo anterior está bien definido (no depende del representante escogido).

[manooooh]

Hola

Te preguntaba lo del signo porque tenía temor de que \( x-y \) represente el par \( (x,-y) \) que no era el que originalmente usamos.

Esto lo pensé pues por ejemplo en una incógnita solíamos decir cosas como \( x=a\lor x=a+2 \) entonces las clases eran \( \{a,a+2\} \). Observemos que dice \( x \), no dice \( -x=a+2 \), en cuyo caso simplemente basta multiplicar por \( -1 \).

¿Entonces en una incógnita se debe despejar la variable y en una tupla pueden aparecer las componentes combinadas con sumas y/o restas sin importar?
¿Y si aparecían multiplicadas o por ejemplo llegábamos a \( x^{1/y}=2a-b \), un representante es \( (2a, 0) \)?

Saludos

[geómetracat]

Te preguntaba lo del signo porque tenía temor de que \( x-y \) represente el par \( (x,-y) \) que no era el que originalmente usamos.

No, no. Es la resta de las dos componentes, que es un entero (no una tupla).

Esto lo pensé pues por ejemplo en una incógnita solíamos decir cosas como \( x=a\lor x=a+2 \) entonces las clases eran \( \{a,a+2\} \). Observemos que dice \( x \), no dice \( -x=a+2 \), en cuyo caso simplemente basta multiplicar por \( -1 \).

¿Entonces en una incógnita se debe despejar la variable y en una tupla pueden aparecer las componentes combinadas con sumas y/o restas sin importar?

No hay una receta universal para "calcular" las clases de equivalencia. Si contienen un número finito de elementos, como en el caso que expones, las puedes dar explícitamente, pero si no es así tienes que intentar dar una descripción lo más sencilla posible. Pero no hay un procedimiento ni una respuesta única, en general.

En este caso la idea de que la clase de \( (x,y) \) son todas las tuplas \( (a,b) \) tales que \( x-y=a-b \) probablemente sea la caracterización más sencilla, y te permite identificar el cociente con \( \Bbb Z \).

¿Y si aparecían multiplicadas o por ejemplo llegábamos a \( x^{1/y}=2a-b \), un representante es \( (2a, 0) \)?

No entiendo muy bien qué quieres decir. Pero en cualquier caso hay que estudiar caso por caso, las descripciones que sirven para la relación de equivalencia por la que preguntabas no tienen por qué servir para otras distintas.

[manooooh]

Hola

Yo también pienso que la caracterización que diste es la más sencilla. ¿Podrías dar otra caracterización algo más difícil para ver si logro entenderlo mejor?

Muchísimas gracias.

Saludos

[geómetracat]

Bueno, una caracterización más difícil es la propia definición:
\( cl(a,b) = \{ (x,y) \in \Bbb Z^2 \mid a+y = b+x \} \).
Esto es perfectamente correcto, pero aporta menos que pensarlo como las restas. También lo puedes complicar artificialmente tanto como quieras (por ejemplo diciendo \( e^{a+y}=e^{b+x} \), sigue siendo cierto pero es ridículo escribirlo así).

Pero como es algo un tanto subjetivo tampoco es que haya una respuesta correcta y todas las demás están mal.

[manooooh]

Hola

No me ha quedado claro cómo se obtiene el representante. ¿Cómo se obtiene esta igualdad?:

\( cl(a,b) = \{ (x,y) \in \Bbb Z^2 \mid x-y = a-b\}=\{(a,0)\mid a\in\Bbb{Z}\}. \)

Gracias.

Saludos

[geómetracat]

Es que la segunda igualdad que pones es falsa.

Lo que digo es que hay una biyección \( f: \Bbb Z^2/R \to \Bbb Z \) dada por \( f(cl(a,b))=a-b \) y con inversa \( f^{-1}(a)=cl(a,0) \).
Lo que siempre tienes es que \( (a,b) R (a-b,0) \), luego \( cl(a,b)=cl(a-b,0) \).