Hola
Podríamos identificar a las clases por la propia definición:
\( cl(a,b) = \{ (x,y) \in \Bbb Z^2 \mid a+y = b+x \} \).
pero aquí no sé cómo hallar el conjunto cociente que no sea pasar la \( y \) del otro lado y la \( b \) del otro lado, pero ahí es lo mismo que escribimos antes. ¿Cómo sería?
Sería como escribisteis antes, efectivamente. ¿Cuál es el problema?
Creo que no acabas de pillar la filosofía de "hallar el conjunto cociente". En realidad una respuesta a esa cuestión siempre sería escribir sin más la definición de conjunto cociente como conjunto de clases.
Entonces lo que se trata es de dar una versión los más amable, sencilla y clarificadora posible de ese conjunto cociente (con todo lo que tienen de subjetivos los adjetivos que he utilizado). Normalmente eso se hace dando para cada clase un representante especialmente simple, singular.
En este caso lo fundamental es que toda clase tiene un representante de la forma \( (x,0) \), en particular \( Cl(a,b)=Cl(a-b,0) \).
Otra opción sería decir que toda clase tiene un representante de la forma \( (0,x) \), en concreto, \( Cl(a,b)=Cl(0,b-a) \).
Pero quizá es más sencilla la primera de estas dos elecciones de representante.
Y con respecto a esta otra caracterización:
\( cl(a,b) = \{ (x,y) \in \Bbb Z^2 \mid e^{a+y} =e^{b+x} \} \)
podría decir que:
\( cl(a,b) = \{ (x,y) \in \Bbb Z^2 \mid e^{a+y} =e^{b+x} \}=\{ (x,y) \in \Bbb Z^2 \mid e^{y}/e^x =e^{b-a} \} \)
por ende:
\( \Bbb{Z}^2/R=\{\operatorname{cl}(e^{b-a},e^{b-a})\mid a,b\in\Bbb{Z}\}. \)
Comprobación
\( (x,y)R(e^{y-x},e^{y-x})\implies x+e^{y-x}=y+e^{y-x}\implies cl(x,y)=cl(e^{y-x},e^{y-x}). \)
¿Es correcto?
No está bien. Los elementos de la forma \( (e^{b-a},e^{b-a}) \) están todos en la misma clase, en la del \( (0,0) \).
En tu comprobación lo único que pruebas es que:
si \( (x,y)R(e^{y-x},e^{y-x}) \) entonces \( cl(x,y)=cl(e^{y-x},e^{y-x}) \)
Pero eso es una trivialidad... ¡si dos elementos están relacionados, por definición tienen en la misma clase!.
Eso NO demuestra que todo elemento \( (x,y) \) esté en la clase de \( (e^{y-x},e^{y-x}) \) (porque de hecho es falso).
En realidad el escribir la relación como:
\( (a,b)R(x,y)\quad \Leftrightarrow{}\quad e^{a+y} =e^{b+x} \)
es sólo rizar un poco el rizo inicialmente; en cuanto uno nota que:
\( e^{a+y} =e^{b+x}\quad \Leftrightarrow{}\quad a+y=b+x \)
estamos en el mismo problema que antes y se resuelve exactamente igual.
Saludos.
