[dakgabry]

Hola me dirijo a ustedes porque tengo un problema sobre cinemática y la verdad estoy ya desesperado de intentar hacerlo y no me sale , y es que no se como hacerlo ... una vez que enuncie el problema ya cuento lo que creo que hay que hacer pero no se como aplicarlo... , el problema es el siguiente :

Una recta \( OL \) , que pasa por el origen y que forma un ángulo constante \( \epsilon \) con el eje Z , gira alrededor de este eje con una velocidad angular constante \( w \) . Un punto \( P \) se mueve por dicha recta de forma que el módulo de su velocidad es proporcional a la distancia \( OP \) :

1) Calcular las ecuaciones paramétricas de la curva que describe (espiral cónica)
2) Calcular las ecuaciones paramétricas de la curva que describe si el módulo de la velocidad es constante  ( hélice cónica ).

Claro yo lo que habia pensado es aplicar las coordenadas esféricas para calcular las ecuaciones paramétricas pero no sé como aplicar esto último para hacerlo ... Muchas gracias y un saludo .

[escarabajo]

Hola!

Sí, la idea de plantear coordenadas esféricas es buena.

Lo primero que hay que hacer es armarse un dibujo, y plantear una posición genérica de la partícula:

\( P=(x,y,z) \)

Lo que vamos a buscar es una parametrización con parámetro t(tiempo), pero antes de meterse con esto empezámos a ver qué podemos ir sacando de la posición.

Sabemos que la particula está siempre sobre una recta que forma un ángulo constante \( \epsilon \), así que la coordenada z será \( r\cos \epsilon \). Siendo \( r \) la distancia del origen a la posición de la partícula sobre la recta.

Llamémos \( \phi \) al ángulo que forma la proyección del vector director de la recta sobre la que se mueve la partícula sobre el plano xy, entonces sacámos las 2 coordenadas restantes:

\( x=r\sen \epsilon cos\ \phi \) y \( y=r\sen \epsilon \sen \phi \)

La posición es entonces, \( (r\sen \epsilon cos\ \phi, r\sen \epsilon \sen \phi,r\cos \epsilon) \).

Lo que te falta ahora es relacionar \( r,\phi \) y \( \epsilon \) con la variable \( t \) de modo de dejar todo en función de un único parámetro.

Spoiler

Podes ver en primer lugar que en particular \( \epsilon \) no depende del tiempo, así que no hace falta tocarlo.

\( \phi =wt \) (el cambio del ángulo con el tiempo es w y es constante).

Con respecto a r, para el primer caso:

\( \displaystyle\frac{dr}{dt}=v=\alpha r \)

(\( \alpha \) es una constante)

\( \displaystyle\frac{dr}{r}=dt\alpha \Rightarrow e^{\alpha t}=r \)

En el segundo caso,simplemente

\( r=vt \) , v es constante, así que queda sin tocar.

[cerrar]

Saludos.

[dakgabry]

Vale , muchas gracias por todo Quimey ahora si he entendido como puedo aplicar las coordenadas esféricas  , de verdad te estoy muy agradecido , Un saludo

[Jabato]

Bueno, desde un punto de vista matemático la solución que nos aportó Quimey es correcta en parte, nada que objetar salvo que presupone que el movimiento se inicia en el origen de coordenadas, es decir que cuando t = 0 el movil se encuentra en el origen, y eso el enunciado no lo dice.

Pero además no debemos perder de vista que es un problema de cinemática, concretamente un problema de movimiento relativo, el punto \( \mathbf P \) se mueve respecto a la recta mientras la recta se mueve respecto al sistema XYZ que consideramos fijo.

La velocidad de \( \mathbf P \) se obtendrá componiendo (sumando) ambas velocidades, y una vez obtenida la velocidad resultante en función del tiempo t, el vector de posición de \( \mathbf P \) se obtiene simplemente realizando una sencilla integración, conociendo claro está la posición inicial, \( \mathbf {P_0} \), que el enunciado no dá y que supondremos en este caso conocida:

\( \mathbf P = \mathbf {P_0} + \displaystyle\int_{0}^{t} \mathbf {(v_1+v_2)}\ dt \)

El problema se reduce entonces a realizar la composición de dos movimientos, uno de rotación alrededor del eje Z y otro de traslación según la dirección del radio vector, para a continuación realizar una integración muy sencilla. Dejo el asunto sin terminar para que intentes hacerlo tú, no es difícil si tienes unos mínimos conocimientos de cinemática, si necesitas ayuda pues pídela.

Ese sería el enfoque cinemático del asunto, más adecuado en mi opinión al problema que se plantea.

(*) Quizás sean más adecuadas en este caso las coordenadas cilíndricas, ya que:

\( \mathbf r = \rho \mathbf {u_\rho} + z \mathbf{u_z} \)

Saludos, Jabato.

[escarabajo]

Cierto Jabato, tenés razón, se me pasó la condición inicial, no podia ser más
oportuno el comentario.Igual supongo que si a uno no le dan condiciones iniciales, uno podría simplemente ubicar el sistema de referencia desde donde sale, ¿no?...de modo que sea en el origen, es una buena forma de excusarme esta, jeje.

Igual, siempre me olvido de las constantes, y hay que tenerlas siempre en cuenta.

Saludos.

[escarabajo]

Jabato, ¿conocés la expresión de Roverbal para la velocidad absoluta?.

Estaba intentándo utilizarla para este ejercicio en particular, pero tengo algunos lios,en especial en cómo determinar la velocidad angular del referencial en movimiento respecto al fijo,  ¿me podrás dar alguna indicación/sugerencia?

Te agradecería.

Saludos.

[Jabato]

Ahora me esperan para cenar, luego si tengo un rato intento echarte una mano, no es fácil el ejercico, exige resolver incluso alguna ecuación diferencial, sencilla pero ... ecuación diferencial al fin y al cabo.

Saludos, Jabato.

[escarabajo]

De acuerdo, ningún problema,buen provecho.

A no ser que te complique demasiado a ti, no te preocupes por las ecuaciones, ya me han puesto problemas con ecuaciones diferenciales, supongo que no tendré dramas con eso. No debiera al menos, ya he aprobado esa materia 

Necesito una guía, para ver por dónde ir, no es necesario un desarrollo completo.

Saludos.

[Jabato]

Bueno, ya estoy aquí otra vez, intentaré ahora explicar lo mejor que sepa el problema, si es que soy capaz, vamos allá. Resulta que por el enunciado del problema (en el caso a) sabemos que la velocidad del punto \( \mathbf P \) en la recta es proporcional a su distancia al origen, y está dirigida según su radio vector puesto que la recta pasa siempre por el origen con lo que podemos escribir:

\( \mathbf v_1=k \cdot \mathbf r \)

y en el movimiento de rotación alrededor del eje Z la velocidad de \( \mathbf P \) nos viene dada por la expresión:

\( \mathbf v_2=\mathbf \omega \times \mathbf r \)

de manera que ambas dependen de la posición y no disponemos en principio de su expresión en función del tiempo, lo que impide de momento que podamos plantear la integral que nos conduciría a la expresión de la trayectoria. Debería pues corregirse esta situación ó bien llegados a este punto podemos plantear que la velocidad total es la suma de ambas velocidades y que a su vez dicha velocidad es la derivada del vector de posición respecto del tiempo lo que nos conducirá a una ecuación diferencial vectorial que se descompone en un sistema de 3 ecuaciones diferenciales lineales relativamente fácil de resolver:

r' = dr/dt = v1 + v2 = k · r + w x r

(*) Disculpar si he cambiado la nomenclatura pero es que no soy capaz de escribir esta ecuación en Latex y no se porqué, siempre me da un error.

Otra opción es como ya he dicho determinar las expresiones de ambas velocidades en función del tiempo, también se puede hacer aunque hay que utilizar un cierto recurso de caracter especial para poder hacerlo y a continiación realizar la integración y por último usando el teorema de Roverbal que nos permite componer aceleraciones en lugar de velocidades, aunque esta última forma nos obliga a realizar una doble integración, parece más compleja y no estoy seguro que conduzca a la solución sin calcular las expresiones de las velocidades en función del tiempo. Las tres formas deben conducir a la misma solución, por supuesto.

Continuará, Jabato.

[Jabato]

Como veis el ejercicio es casi un tratado de cinemática en el que pueden aplicarse conceptos bastante sofisticados, tales como la aceleración de Coriolis ó el teorema de Roverbal, conceptos bastante avanzados en Cinemática y que no están al alcance de cualquiera.

Saludos, Jabato.