[Jabato]

Basicamente y viendo el problema desde un punto de vista general tendríamos tres posibilidades para resolverlo:

a) Componiendo los desplazamientos relativos en cada movimiento, es el método que usó Quimey aunque en forma no explícita.

b) Componiendo las velocidades relativas para obtener la velocidad absoluta e integrando ó resolviendo la ecuación diferencial para obtener la trayectoria.

c) Componiendo las aceleraciones relativas para obtener la aceleración absoluta, (Teorema de Roverbal) e integrando dos veces para obtener la trayectoria.

De los tres métodos existen dos variantes, usando expresiones en función de la posición ó en función del tiempo, y en los tres debería considerarse una posición de partida arbitraria para resolver el caso más general. Desde luego creo que merece la pena intentarlo de todas las formas posibles y comparar los resultados a ver que obtenemos. Interesantillo el problemita, ¿verdad?

Saludos, Jabato.

[escarabajo]

mmm, pero, si siguieramos el método c, ¿es necesario plantear aceleraciones? , creo que seria más sencillo plantear velocidades y luego integrar para la posición.

Aunque, después podriamos hallar la aceleración como un "bonus" al problema.

Yo me armé el siguiente dibujito:



(deja que desear, pero...visualiza un poco las cosas).

Tenémos la base fija marcada en azul, y la base móvil ortonormal \( \{e_r,e_{\phi},e_k\} \) en rojo, y la idea es que esta se mueva con la barra.

\( e_r \) en la dirección de la recta.
\( e_{\phi} \) en la dirección de la velocidad angular de la barra.
y \( e_k=e_r\wedge e_{\phi} \).

Por lo que tengo entendido, el teorema de Roverbal indica que la velocidad absoluta la hallámos así:

\( V_{abs}=v'+v_{o'}+w\wedge r' \)

\( v' \) es la velocidad de la particula respecto al referencial móvil.
\( v_{o'} \) es la velocidad de transporte del referencial móvil
\( w \) es la velocidad angular de la base móvil respecto a la fija, y \( r' \) el vector posición en el sistema móvil.

Entonces,

\( r'=re_r \)
\( w=\dot{\phi}e_{\phi} \) (esto lo saco a "ojo", espero que bien, jeje, la cosa sería plantear los versores móviles en la base fija y derivar).
\( v'=\dot{r}e_r \).
\( v_{o'}=r \dot{\phi} e_{\phi} \)

Bueno, no sé si voy bien o no, a mi lo que más me cuesta es el tema de la velocidad angular de la base móvil.

Saludos.

[Jabato]

Hola Quimey, está bastante bien logrado tu dibujo. Por otra parte no sé si conoces la teoría del movimiento del solido rígido, en este caso la referencia móvil no es más que un solido rígido que se mueve por lo tanto como tal, y que describe un movimiento que puede descomponerse en una rotación y una traslación, en este caso la traslación es nula y la rotación viene dada por w, que es un vector de modulo constante y dirigido segun el eje Z, y que sería lo que tú denominas la velocidad angular de la base movil. La velocidad de transporte (ó de traslación) de la base móvil en este caso es nula (suponiendo que la recta no desliza sobre si misma que según el enunciado no lo hace).

Personalmente creo que la forma más sencilla de resolver este problema es plantear la ecuación diferencial que comenté en mensajes anteriores, de manera que podemos escribir:

r' = dr/dt = v1 + v2 = k · r + w x r

que se decompondría en cartesianas en el siguiente sistema de ecuaciones diferencialers lineales:

x' = kx - wy
y' = ky + wx
z' = kz

al que solo hay que aplicarle las condiciones de contorno dadas por:

x(0) = x0     y(0) = y0    z(0) = z0

lo que dejaría zanjada la cuestión en mi opinión ya que la solución del sistema nos aporta directamente las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de P.

El caso b) es algo más complejo ya que aunque la velocidad de P sobre la recta tiene módulo constante sus componentes varían con la rotación, es un vector de módulo constante pero dirigido según el radio vector, lo que complica nuestro sistema de ecuaciones diferenciales que ya no es lineal:

r' = dr/dt = v1 + v2 =  v · ur + w x r = v · r/r + w x r

siendo v el módulo de la velocidad de P sobre la recta, que sabemos que es constante por el enunciado.

Entonces en este caso creo que es más adecuado resolver componiendo las velocidades expresadas en función del tiempo que es el siguiente método en sencillez según indiqué. Trataré de exponerlo en otro mensaje y en otro momento, ahora debo dejar este asunto.

Saludos, Jabato.

[Luis Fuentes]

Hola

 A mi el método más sencillo y (más "matemático") me resulta el que nombró Jabato como método (a) y que uso Quimey al principio. Sale todo muy rápido.

 Supongamos que en el instante \( t \) la distancia al origen recorrida sobre la recta que gira es \( r(t) \).

 Entonces la coordenada \( z \) del punto es la proyección de esa distancia sobre el eje \( Z \), es decir:

\(  z(t)=r(t)\,Cos(\epsilon) \)

 Las coordenadas \( x \) e \( y \) se obtienen girando con velocidad angular constante, la proyección de la distancia sobre el plano \( XY \):

\(  x(t)=r(t)\,Sin(\epsilon)\,Cos(\omega (t-t_0)) \)
\(  y(t)=r(t)\,Sin(\epsilon)\,Sin(\omega (t-t_0)) \)

 Donde el \( t_0 \) depende de la posición inicial.

 Nos falta hallar \( r(t) \):

 Caso 1: Hay que resolver la ecuación diferencial:

\(  r'(t)=kr(t) \)

 Resulta:

\(  r(t)=e^{k(t-t_1)} \)

 Caso 2: Directamente:

\(  r(t)=k(t-t_1) \)

 Donde \( t_1  \) depende de las condiciones iniciales.

 Así nos queda:

 Espiral cónica:



\(  x(t)=e^{k(t-t_1)}\,Sin(\epsilon)\,Cos(\omega (t-t_0)) \)
\(  y(t)=e^{k(t-t_1)}\,Sin(\epsilon)\,Sin(\omega (t-t_0)) \)
\(  z(t)=e^{k(t-t_1)}\,Cos(\epsilon) \)

 (Por cierto es muy fácil comprobar que estas ecuaciones cumplen la ecuación diferencial planteada por Jabato en su último mensaje:

x' = kx - wy
y' = ky + wx
z' = kz

 Los valores de \( t_0,t_1 \) y \( \epsilon \) dependen de las condiciones inciales \( (x_0,y_0,z_0) \) que se impongan. Así que, como debe de ser, los dos métodos "convergen" a la misma solución.)

Hélice cónica:



\(  x(t)=k(t-t_1)\,Sin(\epsilon)\,Cos(\omega (t-t_0)) \)
\(  y(t)=k(t-t_1)\,Sin(\epsilon)\,Sin(\omega (t-t_0)) \)
\(  z(t)=k(t-t_1)\,Cos(\epsilon) \)

Saludos.

P.D. Releyendo todo con más calma, veo que esto practicamente ya lo había hecho Quimey en su Spoiler. Me despistaron los intentos de usar otros métodos de la cinemática. De todas formas ahí quedan los dibujitos y la expresión final.

[Jabato]

Recuerda manco que yo abogué por un método más cinemático, no más matemático, es decir, obtener una solución utilizando conceptos cinemáticos, no matemáticos. La solución que aportas es matemática y correcta, nadie lo duda, pero tiene poco de cinemática (por no decir nada), el hecho de que salga muy fácil no es relevante si conceptualmente deja bastante que desear. Tienes razón en que, salvo las condiciones iniciales, lo que has repetido aquí ya lo hizo Quimey más ó menos en uno de los primeros mensajes. Por cierto, usando coordenadas cilíndricas, como ya apunté en un mensaje anterior, y reproduciendo tu cálculo para este tipo de coordenadas (he cambiado la denominación de las constantes de integración para darles un mayor sentido físico) la solución es aún más sencilla si cabe puesto que:

\( \rho (t) = r(t)Sen(\epsilon) \)
\(  \theta (t)=\theta_0+\omega t \)
\(  z(t)=r(t)\,Cos(\epsilon) \)

obteniéndose los valores de r(t) para cada caso:

Caso a)    \( r(t) = r_0e^{kt} \)
Caso b)    \( r(t) = r_0 + kt \)

quedando los valores de \( r_0 \) y \( \theta_0 \) definidos por la posición inicial de P, lo que nos conduce a las paramétricas de cada curva:

Espiral cónica (caso a):

\( \rho (t) = \rho_0\ e^{kt} \)
\(  \theta (t)=\theta_0+\omega t \)
\(  z(t)=z_0\ e^{kt} \)

siendo          \( \rho_0=r_0Sen(\epsilon) \)      \( z_0=r_0Cos(\epsilon) \)

Hélice cónica (caso b):

\( \rho (t) = \rho_0 + pt \)
\(  \theta (t)=\theta_0+\omega t \)
\(  z(t)=z_0 + qt \)

siendo           \( p=kSen(\epsilon) \)        \( q=kCos(\epsilon) \)     

¡más sencillas imposible!

Saludos, Jabato.

[Luis Fuentes]

Hola

 De acuerdo en todo. Pero una puntualización:

el hecho de que salga muy fácil no es relevante si conceptualmente deja bastante que desear

 No es el caso. El método que tu mismo nombraste comó método (a) no deja bastante que desear conceptualmente: es completamente correcto conceptualmente. Y que salga fácil, no sé si relevante, pero si es bueno, deseable y útil. En ese sentido las soluciones que has escrito en cilíndricas: mejor que mejor.

 Sin duda es enriquecedor y se aprende mucho más con la resolución también por otros métodos.

Saludos.

[escarabajo]

Bueno, cuando resolví el problema en primer instancia no pensé en otra cosa que en la matemática, aunque si me dí cuenta que podía encaminarlo por esos otros métodos que expuso Jabato. Pero preferí no complicar a dakgabry, que vaya a saber uno si conoce o no el Teorema de Roverbal o el de Coriolis, yo los acabo de conocer hace un par de semanas y digamos que me traen a los golpes.

Pero el método, por más matemático que sea, es un método al fin, y ojalá se me presente un problema así en los parciales(dudo que pase).

Por otra parte no sé si conoces la teoría del movimiento del solido rígido, en este caso la referencia móvil no es más que un solido rígido que se mueve por lo tanto como tal, y que describe un movimiento que puede descomponerse en una rotación y una traslación, en este caso la traslación es nula

Sí, la conozco. En este caso yo pensaba que la velocidad de transporte era \( \dot{\phi}r(t)e_{\phi}\sen \epsilon \), es decir, en un instante de tiempo t la particula se encuentra a una distancia r del eje de giro, por lo que tiene esa velocidad lineal a causa del movimiento rotatorio.

Creo que es una cuestión de concepto entonces, tu decis que la velocidad es nula porque la barra NO se traslada, y yo estaba considerando la velocidad de transporte de la fórmula como "la velocidad de la particula que le imprime el sistema en el que se mueve", ¿me explico?

y la rotación viene dada por w, que es un vector de modulo constante y dirigido segun el eje Z, y que sería lo que tú denominas la velocidad angular de la base movil.

Uy,¡no puedo creer que a esta altura del partido haya cometido semejante disparate de error!

¡Claro que la velocidad angular es constante y en el eje Z! Me confundí con la velocidad LINEAL.

Así que la velociad absoluta nos quedaria

\( v_{abs}=\dot{r}e_r+wr(\hat{k}\wedge e_r) \)

Acá se complica el asunto, habría que hallar los versores
y expresarlos en la base fija(eso no es lo complicado), pero después
para integrar respecto al tiempo van a quedar cosenos y senos, parece complicado. Más tarde le voy a dedicar un rato al asunto, ahora tengo una especie de "ultimatum" para ponerme al día con unas cuantas cosas de la facultad.

Saludos.

[Richard R Richard]

Al ver semejante joyita de problema no pude evitar la tentación de resolverlo por las mias.

voy por el primer caso  si \( \vec X(t) \) es la posición en el tiempo la condición que pide el problema es que el módulo de la velocidad sea proporcional a la distancia al origen \( r_{(t)} \)

Usando la misma notación de variables

\( \displaystyle \left|\dfrac{\partial \vec X(t)}{\partial t}\right|=\alpha r_{(t)} \)

\( \vec X(t)=\begin{cases}x_{t}&= r_{(t)}\sin \epsilon\cos \omega t\\y_{t}&= r_{(t)}\sin \epsilon\sin \omega t\\z_{t}&= r_{(t)}\cos \epsilon\end{cases} \)

calculando la derivada temporal de \( \vec X(t) \)

\( \dot {\vec X(t)}=\begin{cases}  \dot {x_{t}}&= \dot {r_{(t)}}\sin \epsilon\cos \omega t-\omega r_{(t)}\sin \epsilon\sin \omega t\\\dot {y_{t}}&= \dot {r_{(t)}}\sin \epsilon\sin \omega t+\omega r_{(t)}\sin \epsilon\cos\omega t\\\dot {z_{t}}&= \dot {r_{(t)}}\cos \epsilon\end{cases} \)

cuyo módulo al cuadrado es 

\( \displaystyle \left|\dfrac{\partial \vec X(t)}{\partial t}\right|^2=\alpha^2 r_{(t)}^2=\dot {r_{(t)}}^2+\omega^2 {r_{(t)}}^2 \)

y sale la ED buscada como

\( \alpha^2 r_{(t)}^2-\omega^2 {r_{(t)}}^2=\dot {r_{(t)}}^2 \)

Como hay solución negativa de una distancia elijamos la positiva en este caso

\( r_{(t)}\sqrt{\alpha^2-\omega^2}=\dfrac{d r_{(t)}}{d t}=\dot r_{(t)} \)

Como es lógíco en un sistema que parte del origen y la velocidad proporocional a su distancia , nunca se movería pues la velocidad inicial es nula, las condiciones de contorno entonces tienen que indicar que se debe partir de un radio \( r_0>0 \) a tiempo \( t_0 \).

Desarrollando e integrando

\( \displaystyle\int\limits_{t_0}^t \sqrt{\alpha^2-\omega^2}dt=\int\limits_{r_0}^{R_{(t)}}\dfrac{d r_{(t)}}{r_{(t)} } \)

Cambiando nuevamente el nombre de R a r para evitar confusiones

\( \sqrt{\alpha^2-\omega^2}(t-t_0)=ln\left(\dfrac{r_{(t)}}{r_0}\right) \)

De donde

\( r_{(t)}=r_0e^{\sqrt{\alpha^2-\omega^2}(t-t_0)} \)

Reemplazando en la definición del vector posición

\( \vec X(t)=\begin{cases}x_{t}&= r_0e^{\sqrt{\alpha^2-\omega^2}(t-t_0)}\sin \epsilon\cos \omega (t-t_0)\\y_{t}&= r_0e^{\sqrt{\alpha^2-\omega^2}(t-t_0)}\sin \epsilon\sin \omega (t-t_0)\\z_{t}&= r_0e^{\sqrt{\alpha^2-\omega^2}(t-t_0)}\cos \epsilon\end{cases} \)


que sería la ecuación paramétrica en función del tiempo ,para cualquier valor de proporcionalidad \( \alpha \) positivo, cualquier velocidad angular \( \omega \) y cualquier desface inicial dado por \( \phi_o=\omega t_0 \)

Es de hacer notar que dependiendo de los valores de \( \alpha \) y \( \omega \) hay soluciones de espirales hacia el interior y hacia el exterior.

creo que es mejor dejar las ecuaciones expresadas en función de todos los parametros que la definen.


el segundo caso  lo veo distinto

\( v^2=cte=\dot {r_{(t)}}^2+\omega^2 {r_{(t)}}^2 \)

planteando la ED

\( v^2-\omega^2r^2=\dfrac{dr}{dt} \)

\( \displaystyle\int\limits_{t_0}^t dt=\displaystyle\int\limits_{r_0}^{r(t)} \dfrac{dr}{v^2-\omega^2r^2} \)

si no falle en la resolusión esta relcionada con la arcotangente hiperbolica de las variables segun Wolfram alpha ... reemplazando por la efinicion de esa función quedaria


\( 2\omega v (t-t_0)=ln\left(\dfrac{1+\dfrac{\omega r}{v}}{1-\dfrac{\omega r}{v}}\right)-ln\left(\dfrac{1+\dfrac{\omega r_0}{v}}{1-\dfrac{\omega r_0}{v}}\right) \)

ahora queda despejar r


\( r_{(t)}=\dfrac v{\omega}\dfrac{(v-\omega r_0) e^{2v\omega(t-t_0)}-(v+\omega r_0)}{(v-\omega r_0) e^{2v\omega(t-t_0)}+(v+\omega r_0)} \)

entonces


\( \vec X(t)=\begin{cases}x_{t}&= \dfrac v{\omega}\dfrac{(v-\omega r_0) e^{2v\omega(t-t_0)}-(v+\omega r_0)}{(v-\omega r_0) e^{2v\omega(t-t_0)}+(v+\omega r_0)}\sin \epsilon\cos \omega (t-t_0)\\y_{t}&= \dfrac v{\omega}\dfrac{(v-\omega r_0) e^{2v\omega(t-t_0)}-(v+\omega r_0)}{(v-\omega r_0) e^{2v\omega(t-t_0)}+(v+\omega r_0)}\sin \epsilon\sin \omega (t-t_0)\\z_{t}&= \dfrac v{\omega}\dfrac{(v-\omega r_0) e^{2v\omega(t-t_0)}-(v+\omega r_0)}{(v-\omega r_0) e^{2v\omega(t-t_0)}+(v+\omega r_0)}\cos \epsilon\end{cases} \)


Que aparentemente tiene cierta lógica que tienda ha cierto radio limite, puesto que si la velocidad angular es constante y el modulo de la velocidad esta definido constante como \( v \), el radio limite es propororcional a  \( r_{max}=\dfrac{v}{\omega} \) cuando el tiempo tiende a infinito.