Autor Tema: UTF N=3; esbozo de ataque.

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10 Diciembre, 2019, 12:55 pm
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feriva

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Introducción

Aquí va descrito el esbozo de lo que van a ser los elementos del intento (que aún no sé en qué acabará). En otras respuestas iré desarrollando (si algún fermatero quiere usarlo y lo demuestra antes de que yo acabe, estupendo también; es más, me gustaría, porque yo no sé si voy a tener cabeza para no perderme con algo tan denso).

Como en algunas novelas policíacas, empiezo haciendo una lista de los personajes que van a intervenir; los nombres se usarán a lo largo del intento, así que es importante para quien quiera seguir o utilizar esto (en todo caso las letras son enteros).

Elementos a utilizar

Igualdad 1º \( x^{3}+y^{3}=z^{3}
  \) (coprimos)

Igualdad 2º \( x^{3}+y^{3}=(a+b)^{3}+(a-b)^{3}=(a+c)^{3}
  \).

Consideraciones sobre los elementos:

\( x=\overset{\bullet}{3}
  \) (x, en hipótesis, será múltiplo de 3).

\( x=(a+b):x\: impar\,\Rightarrow
  \) Hagamos “a” par y “b” impar.

Estas condiciones implican:

\( a=3k_{1}+1;\quad b=3k_{2}+2
  \).

Spoiler

(o bien con los restos al contrario, pero lo elijo así como primera condición a analizar)

[cerrar]

Entonces

\( k_{1}=2t_{1}+1
  \).

Spoiler

(pues \( k_{1}
  \) ha de ser necesariamente impar para que “a” sea par).

[cerrar]

Análogamente, por similar razón, al ser “b” impar tendremos:

\( k_{2}=2t_{2}+1
  \).

Por otra parte

\( z=a+c
  \) par; Implica “c” par:

\( c=2t_{3}
  \)

\( z=a+c\Rightarrow
  \)

\( z=3k_{1}+1+2t_{3}=
  \)

\( z=3(2t_{1}+1)+1+2t_{3}=
  \)

\( z=6t_{1}+4+2t_{3}
  \)

\( z=2(3t_{1}+2+t_{3})
  \)

Además, como “z” ha de ser coprimo con 3 para que la igualdad 1º conlleve una terna primitiva, tendremos:

\( 2+t_{3}=3m+r_{1};\quad r_{1}=1\vee2
  \).

Por tanto, será bueno usar esta expresión que sigue para analizar los casos posibles:

\( z=2(3t_{1}+3m+r_{1})
  \).

Y como despejando \( 2+t_{3}=3m+r_{1}
  \), tenemos \( 2=3m+r_{1}-t_{3}
  \), quizá podrá ser útil también sustituir y analizar la expresión

\( z=(3m+r_{1}-t_{3})(3t_{1}+3m+r_{1})=
  \)

Desarrollando con Wolfram

\( z=9m^{2}+6mr_{1}+9mt_{1}-3mt_{3}+3r_{1}t_{1}-r_{1}t_{3}+r_{1}^{2}-3t_{1}t_{3}
  \)

Donde \( -r_{1}t_{3}+r_{1}^{2}
  \) no puede ser múltiplo de 3.

Si Ahora, agrupamos todos los \( \overset{\bullet}{3}
  \) de ese polinomio “z” y elevamos al cubo, el resto de \( z^{3}
  \) es

\( (-r_{1}t_{3}+r_{1}^{2})^{3}=-r_{1}^{3}t_{3}^{3}+r_{1}^{6}
  \).

Que tampoco puede ser múltiplo de 3, por la misma razón.

...

Consideremos \( r_{1}=1
  \), entonces \( -t_{3}+1\equiv2\,(mod\,3)
  \) y \( t_{3}\equiv2\,(mod\,3)
  \).

Spoiler

Veamos, Tenemos \( r_{1}=1
  \)

Con \( -t_{3}+1
  \) ocurre:

Más arriba teníamos \( 2+t_{3}=3m+r_{1};\quad r_{1}=1\vee2
  \); y aquí probamos con 1. Entonces

\( t_{3}=3m+r_{1}-2
  \)

\( t_{3}=3m+1-2
  \)

\( t_{3}=3m-1
  \)

Lo que implica

\( t_{3}\equiv2\,(mod\,3)
  \)

En negativo sera de la forma \( -t_{3}=-3n-2
  \), con lo que

\( -t_{3}+1=-3n-1
  \) implica igualmente

\( -t_{3}+1\equiv2\,(mod\,3)
  \)

[cerrar]

Probando la expresión elevada al cubo, como era esperable, no hay ninguna contradicción en el resto de “z”; puede ser \( r_1=1 \). Del mismo modo, uno sospecha que tampoco nada se opondrá a que puede ser igual 2 (lo dejo sin probar por ahora).

Se analiza todo un poco, se ve claramente que necesitamos obtener o valorar la paridad de \( t_{3}
  \) para intentar encontrar una posible contradicción (lo dejo de momento, porque me da la impresión de que puede ser un poco pesado; quien quiera, ahí lo tiene).

...

Añadamos seguidamente una tercera igualdad a tener en cuenta, la que usa empieza usando Euler para demostrar este caso n=3:

Igualdad 3º

\( x^{3}+y^{3}=(a+b)^{3}+(a-b)^{3}=
  \)

\( a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=
  \)

\( 2a(a^{2}+3b^{2})=z^{3}
  \).

Haciendo distintos cambios de variable con los elementos descritos, quizá se pueda ver esa paridad y alguna más; y, con suerte, quizá se pueda demostrar que si x es múltiplo de 3, entonces pasa algo contradictorio.

No olvidemos, por otra parte, que podemos contar con el pequeño teorema de Fermat e incluso podría ser útil más en general la función phi de Euler, pese a que en principio sólo consideremos potencias de 3.

...

Conclusión sobre este esbozo para atacar el problema

Da la impresión de que hay suficientes elementos como para que se delate el absurdo. A fin de cuentas, se están expresando los números como sumas o restas de otros, considerando restos, relaciones... Uno piensa que, si con los complejos (que son igualmente números expresados por sumas) se puede llegar a un contradicción, tendría que poderse llegar también con un artificio más o menos paralelo usando reales.

Si uno eleva al cubo el polinomio \( z=9m^{2}+6mr_{1}+9mt_{1}-3mt_{3}+3r_{1}t_{1}-r_{1}t_{3}+r_{1}^{2}-3t_{1}t_{3}
  \) con todos sus términos (y no sólo con el resto como he hecho) aparecen coeficientes muy grandes que, además de ser múltiplos de 3, lo son de otros números; con lo que quizá se puede investigar parcialmente la factorización de “z” y considerar la divisibilidad según otros módulos.

Claro que profundizar en todo eso va a ser un trabajo de chinos; para los pacientes y a la vez menos despistados. La demostración en reales podría ser muchísimo más larga que las demostraciones tradicionales usando enteros gaussianos; pero sí que da la impresión de que puede existir.

A fin de cuentas, no se trata de encontrar una demostración más corta o sencilla, sino una demostración mediante métodos elementales de teoría de números (aritmética modular y divisibilidad en general... todo menos teoría analítica y usar el grupo Zi); lo cual no implica que tenga que ser más fácil ni más corta. Quede claro, entonces, que el reto que se propone no pretende encontrar una demostración más simple ni tampoco necesariamente más fácil de comprender. Yo lo he intentado alguna vez y no lo he conseguido; pero porque me despisto y no tengo cabeza de "ajedrecista", quizá alguien sí pueda.

(espero no haberme equivocado en lo que he analizado)


10 Diciembre, 2019, 03:07 pm
Respuesta #1

Fernando Moreno

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Hola feriva. Te acabo de leer y sí, estoy trabajando en algo parecido a lo que planteas. Tengo algo hecho pero hasta dentro de una semana o así no voy a poder publicar, en estas fechas tengo poco tiempo. De todas maneras tampoco me hago muchas ilusiones, ni tampoco debes hacértelas tú, porque lo más seguro es que está mal y tenga un error troncal. Pero por lo menos te va a gustar porque -creo- va en esta línea que dices y te puede dar ideas. Un saludo,  -claro, añado, si no descubro yo en fallo antes y entonces no publico nada..  pero en este caso, aunque haya error lo expondré por si te es de utilidad o a alguien..
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10 Diciembre, 2019, 05:13 pm
Respuesta #2

feriva

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Hola feriva. Te acabo de leer y sí, estoy trabajando en algo parecido a lo que planteas. Tengo algo hecho pero hasta dentro de una semana o así no voy a poder publicar, en estas fechas tengo poco tiempo. De todas maneras tampoco me hago muchas ilusiones, ni tampoco debes hacértelas tú, porque lo más seguro es que está mal y tenga un error troncal. Pero por lo menos te va a gustar porque -creo- va en esta línea que dices y te puede dar ideas. Un saludo,  -claro, añado, si no descubro yo en fallo antes y entonces no publico nada..  pero en este caso, aunque haya error lo expondré por si te es de utilidad o a alguien..

Muchas gracias por la visita, Fernando; ya sabía yo que, de interesar esto a alguien, iba a ser a ti.

Mira a ver esto y, si está bien, úsalo como si fuera tuyo, sin reparos (si no te apetece mirarlo, espera a que venga Luis, que le verá los fallos que pueda tener; a ver si hubiera suerte y no estuviera mal nada)

...
...


Tenía que

\( z=a+c
  \)

\( z=3k_{1}+1+c
  \)

Como z no es múltiplo de 3, entonces el resto de “c” módulo 3 ha de ser cero 0 ó 1.

\( c\equiv0(mod\,3)\vee c\equiv1(mod\,3
 ) \)

Si es cero, entonces

\( z\equiv1(mod\,3)
  \)

Si el resto es 1, entonces

\( z\equiv2(mod\,3)
  \)

...

Por otra parte tenía

\( z=2(3t_{1}+2+t_{3})
  \)

Si divido entre 2, el resto de z/2 (que sigue sin ser múltiplo de 3) es, partiendo de aquí

\( \dfrac{z}{2}=3t_{1}+2+t_{3}
  \)

\( t_{3}=3n\vee t_{3}=3n+2
  \)

En el primer caso, \( z\equiv2(mod\,3)
  \), en el segundo caso \( z\equiv1(mod\,3)
  \)

Así que los restos módulo 3 de \( c \) y \( t_3 \), están condicionados.

Ahora, entrando en la igualdad de Euler

\( 2a(a^{2}+3b^{2})=z^{3}
  \)

y sutituyendo a y b en función de sus restos, \( a=3k_{1}+1;\quad b=3k_{2}+2
  \)

\( 2(3k_{1}+1)[(3k_{1}+1)^{2}+3(3k_{2}+2)^{2}]=z^{3}
  \)

Ee resto que deja lo que hay entre corchete es 1, el cual multiplica a “2a”; por tanto el resto de “z cubo” módulo 3 es 2.

Entonces el resto de “z” no puede ser 1, es 2 también.

De aquí deducimos que la forma de “c” es

\( c=3n+1
  \)

y la forma de t3 es

\( t_{3}=3n
  \)...

pero teníamos que \( c=2t_{3}
  \) y sería múltiplo 3, lo que es contradictorio con \( c=3n+1
  \).

Si esto estuviera bien, análogamente se demostraría lo mismo para “y”; y al no poder ser “x” e “y” múltiplos de 3 no lo podría ser z.

Una vez corregido esto (si estuviera bien) volveríamos a la igualdad que usa Euler

\( 2a(a^{2}+3b^{2})=z^{3}
  \)

donde (a condición de que eso no esté mal, digo) tendríamos que los factores \( 2a
  \) y \( (a^{2}+3b^{2})
  \) serían primos entre sí y serían dos cubos.

Y con eso ya se tendría bastante ganado, faltaría entrarle para ver por dónde se puede descender al infinito.

Y aunque esté mal, pues digo lo mismo que tú, puede dar ideas.

Saludos.

10 Diciembre, 2019, 06:09 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Si divido entre 2, el resto de z/2 (que sigue sin ser múltiplo de 3) es, partiendo de aquí

\( \dfrac{z}{2}=3t_{1}+2+t_{3}
  \)

\( t_{3}=3n\vee t_{3}=3n+2
  \)

En el primer caso, \( z\equiv2(mod\,3)
  \), en el segundo caso \( z\equiv1(mod\,3)
  \)

Eso está de al revés. Si \( z\equiv2(mod\,3) \) entonces:

\( 2(3t_{1}+2+t_{3})=2 \) mod \( 3 \)

y de ahí \( t_3=2 \) mod \( 3. \) 

Y análogamente si  \( z\equiv1(mod\,3) \) entonces \( t_3=0 \) mod \( 3 \).

Por tanto aquí:

Citar
Entonces el resto de “z” no puede ser 1, es 2 también.

De aquí deducimos que la forma de “c” es

\( c=3n+1
  \)

y la forma de t3 es

\( t_{3}=3n
  \)...


pero teníamos que \( c=2t_{3}
  \) y sería múltiplo 3, lo que es contradictorio con \( c=3n+1
  \).

La forma de \( t_3 \) es en realidad \( t_3=3n+2 \) y no contradice que \( c=2t_3=3(2n+1)+1 \).

Por lo demás no veo nada útil en todo lo que has expuesto; la igualdad que usa Euler ya es terreno conocido, pero para proseguir a partir de ella usualmente se usa de manera decisiva un lema que bebe de los cuerpos ciclotómicos.

Saludos.

10 Diciembre, 2019, 06:35 pm
Respuesta #4

Fernando Moreno

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Hola. Gracias feriva, tú tan generoso como siempre. Bueno como la cosa ya a venido así pues publico lo que tenga este fin de semana y ya está. Seguro que está mal. Yo no utilizo la igualdad de Euler, sino la idea que subyace. Por lo menos sé que a ti te va a resultar curioso y es un aliciente, me lo voy a tomar así. Gracias Luis


- Por cierto no sé si empezar la demostración diciendo: Ave, Caesar, morituri te salutant.. jaja. Mejor no, es muy melodramático para vestir una simple asociación de ideas. Sdos,
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10 Diciembre, 2019, 07:10 pm
Respuesta #5

feriva

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Eso está de al revés.

Muchas gracias, Luis.

Sí, qué raro que me haya equivocado, no es normal en mí (ironía ON :) ).

Citar
Por lo demás no veo nada útil en todo lo que has expuesto; la igualdad que usa Euler ya es terreno conocido, pero para proseguir a partir de ella usualmente se usa de manera decisiva un lema que bebe de los cuerpos ciclotómicos.

Algo tengo oído, se aprovecha la descomposición única; pero yo sigo intuyendo que tiene que ser posible sin números complejos, haciendo algo con reales, tiene que salir de alguna manera una contradicción o algo  (no seré yo quien lo demuestre si llega a ser así, eso también lo intuyo).

Hola. Gracias feriva, tú tan generoso como siempre.

De nada, Fernando, me hace ilusión que lo demuestres, te lo mereces porque llevas mucho tiempo con ello.
Y yo... ya se sabe, el día que vea a la primera algo del derecho en vez de verlo al revés, van a sonar las campanas; ya tengo la foto preparada:

Spoiler

[cerrar]

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- Por cierto no sé si empezar la demostración diciendo: Ave, Caesar, morituri te salutant.. jaja. Mejor no, es muy melodramático para vestir una simple asociación de ideas. Sdos,

No es para tanto, no; mira con qué estoicismo lo llevo yo :D

Saludos.

10 Diciembre, 2019, 08:04 pm
Respuesta #6

geómetracat

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Lo cierto es que a mí esto de las demostraciones del teorema de Fermat me da un poco igual, pero me ha llamado la atención este comentario:

Algo tengo oído, se aprovecha la descomposición única; pero yo sigo intuyendo que tiene que ser posible sin números complejos, haciendo algo con reales, tiene que salir de alguna manera una contradicción o algo  (no seré yo quien lo demuestre si llega a ser así, eso también lo intuyo).

Hasta donde yo sé, hay demostraciones completamente elementales del famoso lema de Euler, que no usan ni complejos ni cuerpos ciclotómicis ni nada por el estilo.

Por otro lado, tengo que confesar que no entiendo la obsesión por encontrar demostraciones elementales a estos resultados. Supongo que depende de la persona, pero a mí siempre me han parecido mucho más iluminadoras las demostraciones que usan conceptos o construcciones más avanzados pero se pueden describir de manera sucinta, que las que se basan en hacer sustituciones y usar argumentos de divisibilidad sin parar hasta llegar a alguna contradicción. Con estas últimas no tengo la sensación de comprender realmente qué es lo que está pasando, cosa que sí me pasa con las primeras. Por ejemplo, me parece mucho más iluminadora la prueba de Kummer para primos regulares (que además sirve para infinitos exponentes) que la de Euler para \( n=3 \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

10 Diciembre, 2019, 08:17 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Hasta donde yo sé, hay demostraciones completamente elementales del famoso lema de Euler, que no usan ni complejos ni cuerpos ciclotómicis ni nada por el estilo.

¿Quieres decir que hay pruebas completamente elementales del Teorema de Fermat para \( n=3 \)? Yo nunca he visto una; es cierto que en teoría uno podría al menos trampear algún razonamiento que use enteros de Gauss o cuerpos ciclotómicos de forma oculta; pero nunca lo he visto escrito. ¿Tu si? ¿Sabes alguna referencia?.

Citar
Por otro lado, tengo que confesar que no entiendo la obsesión por encontrar demostraciones elementales a estos resultados

Yo creo que hay varios motivos:

- Las matemáticas necesarias para entender el enunciado del Teorema de Fermat son muy básicas; y eso invita a caer en la tentación de que también deberían de ser suficientes para demostrarlo (invita al aficionado).
- Relacionado con lo anterior mucha gente que se aproxima al Teorema no sabe más que esas matemáticas básicas; de ahí que renuncie desde el principio a pruebas que usen cosas más avanzadas.
- La mitología sobre la anotación que dejo Fermat: "He encontrado una demostración verdaderamente maravillosa, pero este margen es demasiado estrecho para contenerla”, alimenta la idea de que debería de existir una demostración razonablemente sencilla.

Saludos.

10 Diciembre, 2019, 08:35 pm
Respuesta #8

feriva

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Hola, geómetracat.


Hasta donde yo sé, hay demostraciones completamente elementales del famoso lema de Euler, que no usan ni complejos ni cuerpos ciclotómicis ni nada por el estilo.

Digo lo que Luis.

La única que conozco yo de Euler es la que explica Argentinator aquí

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=18414.msg76112#msg76112

Se que hay otra de Gauss, que también utiliza factorización de enteros gaussianos; sin números complejos, si hay alguna, no la conozco (no digo que no la haya). La de n=4 sí, ésa es muy corta y sencilla, sólo con divisibilidad.


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Por otro lado, tengo que confesar que no entiendo la obsesión por encontrar demostraciones elementales a estos resultados. Supongo que depende de la persona, pero a mí siempre me han parecido mucho más iluminadoras las demostraciones que usan conceptos o construcciones más avanzados pero se pueden describir de manera sucinta, que las que se basan en hacer sustituciones y usar argumentos de divisibilidad sin parar hasta llegar a alguna contradicción. Con estas últimas no tengo la sensación de comprender realmente qué es lo que está pasando, cosa que sí me pasa con las primeras. Por ejemplo, me parece mucho más iluminadora la prueba de Kummer para primos regulares (que además sirve para infinitos exponentes) que la de Euler para \( n=3 \).

También digo lo que Luis, pero en este caso en primera persona, porque yo soy un aficionado :)

Aunque estudié los complejos en el colegio y los usé algo lo poco estuve en la facultad de físicas, la verdad es que para manejar los ciclotómicos hay que practica con ellos. El día que Carlos Ivorra los explicó (junto con la demostración n=3 de Gauss) me prometí ponerme con ellos... pero lo fui dejando. En cambio, otros sí los estudiaron, como Fernando Moreno, precisamente, que intenta demostraciones donde los utiliza.

No aspiro en sí a demostrarlo yo (como sí es el caso y de otros aficionados) soy consciente de la dificultad y de que alguien tan despistado como yo lo tiene especialmente difícil, pero me parece atractiva la idea que alguien lo logre utilizando sólo números reales y teoría de números corriente, no analítica.

Saludos; y muchas gracias por leerme.

10 Diciembre, 2019, 08:57 pm
Respuesta #9

geómetracat

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¿Quieres decir que hay pruebas completamente elementales del Teorema de Fermat para \( n=3 \)? Yo nunca he visto una; es cierto que en teoría uno podría al menos trampear algún razonamiento que use enteros de Gauss o cuerpos ciclotómicos de forma oculta; pero nunca lo he visto escrito. ¿Tu si? ¿Sabes alguna referencia?.

Pues igual me equivoco, pero juraría haber leído alguna vez una prueba elemental de Fermat para \( n=3 \). Ahora mismo no sé referencia, pero lo buscaré y pondré por aquí si lo encuentro (pero mira más abajo la respuesta a feriva).

Citar
Yo creo que hay varios motivos:

- Las matemáticas necesarias para entender el enunciado del Teorema de Fermat son muy básicas; y eso invita a caer en la tentación de que también deberían de ser suficientes para demostrarlo (invita al aficionado).
- Relacionado con lo anterior mucha gente que se aproxima al Teorema no sabe más que esas matemáticas básicas; de ahí que renuncie desde el principio a pruebas que usen cosas más avanzadas.
- La mitología sobre la anotación que dejo Fermat: "He encontrado una demostración verdaderamente maravillosa, pero este margen es demasiado estrecho para contenerla”, alimenta la idea de que debería de existir una demostración razonablemente sencilla.

Sí, puedo entender esos motivos. Solamente era una reflexión general, a mí las demostraciones elementales suelen aportarme menos. También es verdad que depende de la persona, a mí estas cosas se me dan bastante mal pero hay gente que es un hacha dando argumentos difíciles pero elementales.
Sobre el último punto, entiendo el romanticismo, pero con lo famoso que es el problema y la historia que tiene detrás, yo pondría la mano en el fuego (e imagino que tú también) porque la demostración que creía tener Fermat era incorrecta.

Mientras escribía esto ha contestado feriva:

Digo lo que Luis.

La única que conozco yo de Euler es la que explica Argentinator aquí

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=18414.msg76112#msg76112

Se que hay otra de Gauss, que también utiliza factorización de enteros gaussianos; sin números complejos, si hay alguna, no la conozco (no digo que no la haya). La de n=4 sí, ésa es muy corta y sencilla, sólo con divisibilidad.

Solamente lo he mirado por encima, pero a primera vista parece que el lema que prueba Argentinator usando la maquinaria de anillos está demostrado en el blog que él mismo da como referencia por métodos elementales:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-key-lemma.html
Citar
También digo lo que Luis, pero en este caso en primera persona, porque yo soy un aficionado :)

Aunque estudié los complejos en el colegio y los usé algo lo poco estuve en la facultad de físicas, la verdad es que para manejar los ciclotómicos hay que practica con ellos. El día que Carlos Ivorra los explicó (junto con la demostración n=3 de Gauss) me prometí ponerme con ellos... pero lo fui dejando. En cambio, otros sí los estudiaron, como Fernando Moreno, precisamente, que intenta demostraciones donde los utiliza.

No aspiro en sí a demostrarlo yo (como sí es el caso y de otros aficionados) soy consciente de la dificultad y de que alguien tan despistado como yo lo tiene especialmente difícil, pero me parece atractiva la idea que alguien lo logre utilizando sólo números reales y teoría de números corriente, no analítica.

Y, ¿no te gustaría invertir algo del tiempo que dedicas a intentar demostrar Fermat a aprender algo de teoría de anillos? Desde luego, cada uno es libre de hacer lo que quiera con su tiempo, pero yo creo que invertir un poco en aprender técnicas nuevas vale la pena. Incluso aunque estés interesado en pruebas elementales te da nuevas formas de ver las cosas, lo que siempre ayuda.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)