IntroducciónAquí va descrito el esbozo de lo que van a ser los elementos del intento (que aún no sé en qué acabará). En otras respuestas iré desarrollando (si algún fermatero quiere usarlo y lo demuestra antes de que yo acabe, estupendo también; es más, me gustaría, porque yo no sé si voy a tener cabeza para no perderme con algo tan denso).
Como en algunas novelas policíacas, empiezo haciendo una lista de los personajes que van a intervenir; los nombres se usarán a lo largo del intento, así que es importante para quien quiera seguir o utilizar esto (en todo caso las letras son enteros).
Elementos a utilizarIgualdad 1º \( x^{3}+y^{3}=z^{3}
\) (coprimos)
Igualdad 2º \( x^{3}+y^{3}=(a+b)^{3}+(a-b)^{3}=(a+c)^{3}
\).
Consideraciones sobre los elementos:
\( x=\overset{\bullet}{3}
\) (x, en hipótesis, será múltiplo de 3).
\( x=(a+b):x\: impar\,\Rightarrow
\) Hagamos “a” par y “b” impar.
Estas condiciones implican:
\( a=3k_{1}+1;\quad b=3k_{2}+2
\).
Spoiler
(o bien con los restos al contrario, pero lo elijo así como primera condición a analizar)
Entonces
\( k_{1}=2t_{1}+1
\).
Spoiler
(pues \( k_{1}
\) ha de ser necesariamente impar para que “a” sea par).
Análogamente, por similar razón, al ser “b” impar tendremos:
\( k_{2}=2t_{2}+1
\).
Por otra parte
\( z=a+c
\) par; Implica “c” par:
\( c=2t_{3}
\)
\( z=a+c\Rightarrow
\)
\( z=3k_{1}+1+2t_{3}=
\)
\( z=3(2t_{1}+1)+1+2t_{3}=
\)
\( z=6t_{1}+4+2t_{3}
\)
\( z=2(3t_{1}+2+t_{3})
\)
Además, como “z” ha de ser coprimo con 3 para que la igualdad 1º conlleve una terna primitiva, tendremos:
\( 2+t_{3}=3m+r_{1};\quad r_{1}=1\vee2
\).
Por tanto, será bueno usar esta expresión que sigue para analizar los casos posibles:
\( z=2(3t_{1}+3m+r_{1})
\).
Y como despejando \( 2+t_{3}=3m+r_{1}
\), tenemos \( 2=3m+r_{1}-t_{3}
\), quizá podrá ser útil también sustituir y analizar la expresión
\( z=(3m+r_{1}-t_{3})(3t_{1}+3m+r_{1})=
\)
Desarrollando con Wolfram
\( z=9m^{2}+6mr_{1}+9mt_{1}-3mt_{3}+3r_{1}t_{1}-r_{1}t_{3}+r_{1}^{2}-3t_{1}t_{3}
\)
Donde \( -r_{1}t_{3}+r_{1}^{2}
\) no puede ser múltiplo de 3.
Si Ahora, agrupamos todos los \( \overset{\bullet}{3}
\) de ese polinomio “z” y elevamos al cubo, el resto de \( z^{3}
\) es
\( (-r_{1}t_{3}+r_{1}^{2})^{3}=-r_{1}^{3}t_{3}^{3}+r_{1}^{6}
\).
Que tampoco puede ser múltiplo de 3, por la misma razón.
...
Consideremos \( r_{1}=1
\), entonces \( -t_{3}+1\equiv2\,(mod\,3)
\) y \( t_{3}\equiv2\,(mod\,3)
\).
Spoiler
Veamos, Tenemos \( r_{1}=1
\)
Con \( -t_{3}+1
\) ocurre:
Más arriba teníamos \( 2+t_{3}=3m+r_{1};\quad r_{1}=1\vee2
\); y aquí probamos con 1. Entonces
\( t_{3}=3m+r_{1}-2
\)
\( t_{3}=3m+1-2
\)
\( t_{3}=3m-1
\)
Lo que implica
\( t_{3}\equiv2\,(mod\,3)
\)
En negativo sera de la forma \( -t_{3}=-3n-2
\), con lo que
\( -t_{3}+1=-3n-1
\) implica igualmente
\( -t_{3}+1\equiv2\,(mod\,3)
\)
Probando la expresión elevada al cubo, como era esperable, no hay ninguna contradicción en el resto de “z”; puede ser \( r_1=1 \). Del mismo modo, uno sospecha que tampoco nada se opondrá a que puede ser igual 2 (lo dejo sin probar por ahora).
Se analiza todo un poco, se ve claramente que necesitamos obtener o valorar la paridad de \( t_{3}
\) para intentar encontrar una posible contradicción (lo dejo de momento, porque me da la impresión de que puede ser un poco pesado; quien quiera, ahí lo tiene).
...
Añadamos seguidamente una tercera igualdad a tener en cuenta, la que usa empieza usando Euler para demostrar este caso n=3:
Igualdad 3º\( x^{3}+y^{3}=(a+b)^{3}+(a-b)^{3}=
\)
\( a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=
\)
\( 2a(a^{2}+3b^{2})=z^{3}
\).
Haciendo distintos cambios de variable con los elementos descritos, quizá se pueda ver esa paridad y alguna más; y, con suerte, quizá se pueda demostrar que si x es múltiplo de 3, entonces pasa algo contradictorio.
No olvidemos, por otra parte, que podemos contar con el pequeño teorema de Fermat e incluso podría ser útil más en general la función phi de Euler, pese a que en principio sólo consideremos potencias de 3.
...
Conclusión sobre este esbozo para atacar el problemaDa la impresión de que hay suficientes elementos como para que se delate el absurdo. A fin de cuentas, se están expresando los números como sumas o restas de otros, considerando restos, relaciones... Uno piensa que, si con los complejos (que son igualmente números expresados por sumas) se puede llegar a un contradicción, tendría que poderse llegar también con un artificio más o menos paralelo usando reales.
Si uno eleva al cubo el polinomio \( z=9m^{2}+6mr_{1}+9mt_{1}-3mt_{3}+3r_{1}t_{1}-r_{1}t_{3}+r_{1}^{2}-3t_{1}t_{3}
\) con todos sus términos (y no sólo con el resto como he hecho) aparecen coeficientes muy grandes que, además de ser múltiplos de 3, lo son de otros números; con lo que quizá se puede investigar parcialmente la factorización de “z” y considerar la divisibilidad según otros módulos.
Claro que profundizar en todo eso va a ser un trabajo de chinos; para los pacientes y a la vez menos despistados. La demostración en reales podría ser muchísimo más larga que las demostraciones tradicionales usando enteros gaussianos; pero sí que da la impresión de que puede existir.
A fin de cuentas, no se trata de encontrar una demostración más corta o sencilla, sino una demostración mediante métodos elementales de teoría de números (aritmética modular y divisibilidad en general... todo menos teoría analítica y usar el grupo Zi); lo cual no implica que tenga que ser más fácil ni más corta. Quede claro, entonces, que el reto que se propone no pretende encontrar una demostración más simple ni tampoco necesariamente más fácil de comprender. Yo lo he intentado alguna vez y no lo he conseguido; pero porque me despisto y no tengo cabeza de "ajedrecista", quizá alguien sí pueda.
(espero no haberme equivocado en lo que he analizado)