Autor Tema: UTF N=3; esbozo de ataque.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

11 Diciembre, 2019, 04:33 pm
Respuesta #20

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,066
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

En concreto es para \( p=2y \), con lo cual \( \color{red}x^2+y^2+2px\color{black}=x^2+y^2+2xy=(x+y)^2 \) (...)

¿No será \( x^2+y^2+px \)? Caso contrario será \( x^2+y^2+4xy \).

Si, fue una errata. Ya lo he corregido. Gracias por avisar.

Saludos.

11 Diciembre, 2019, 06:01 pm
Respuesta #21

feriva

  • Matemático
  • Mensajes: 9,077
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
  • No soy matemático, eso es una etiqueta.


Así que ya tienes una colección de ejemplos de eso que te tenía una pinta tan difícil:

\( x=|a^2-3b^2| \)
\( y=2ab \)
\( p=2y=4ab \)



Sí; pues me despistaba. Esa propiedad no la conocía, la vi esta mañana, me parece muy curiosa, me gusta.


Esta pregunta del spoiler ya le he resuelto; era una cosa que no tiene por qué cumplirse



Spoiler
Una cosa breve, para que así no tengas que leer los rollos que escribo con tanta equivocación; dime si esto es correcto, por favor, que ya no me fío ni de mi sombra

\( 2a(a^{2}+3b^{2})=z^{3}=c^{3}a^{3}
  \)

\( 2a^{3}+6ab^{2}=z^{3}=c^{3}a^{3}
  \)

\( 2a^{2}+6b^{2}=c^{3}a^{2}\Rightarrow
  \)

\( a^{2}|6b^{2}
  \)
[cerrar]
Muchas gracias, Luis.

Saludos.

11 Diciembre, 2019, 07:28 pm
Respuesta #22

Fernando Moreno

  • Aprendiz
  • Mensajes: 284
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola,

Fernando Moreno, . . . Precisamente, una de las cosas que decía es que para mí (y hago énfasis en que esto es algo personal) aporta mucha más comprensión en sentido profundo una demostración del estilo de la de Wiles, que una que se dedique a hacer juegos con naturales. . . .

Me ha llamado la atención este comentario de geómetracat. Como todo lo profundo relacionado con las matemáticas me encanta, no quiero dejar pasar esta pequeña oportunidad. Hablemos en profundo de la demostración de Wiles, ¿por qué no? (Ya se entiende que lo profundo que uno pueda). Te digo lo que he entendido yo y luego tú me matizas, con eso para mí es más que suficiente.

La Conjetura de Shimura-Taniyama-Weil viene a decir que toda curva elíptica sobre  \( \mathbb{Q} \)  es modular. Una forma modular es una clase de función analítica infinitamente diferenciable en cada punto que coincide con su propia serie de Taylor. Por otra parte, toda curva elíptica es una curva cúbica (no singular). En 1984 Frey relaciona el Último Teorema de Fermat con la Conjetura de Shimura-Taniyama-Weil. Pues:  \( a^n+b^n=c^n\,\,\Longleftrightarrow\,\,{y^2=x(x+a^n)(x-b^n)\,=\,x^3-b^nx^2+a^nx^2-a^nb^nx} \) .  Es decir, la ecuación del Teorema es también una curva elíptica pero que no puede ser parametrizada por funciones modulares por sus inusuales propiedades. Luego si la conjetura es cierta, tendremos que el Último Teorema de Fermat no puede ser una curva elíptica sobre  \( \mathbb{Q} \)  y sus coeficientes no podrán ser enteros. Ahí es donde entra Wiles y demuestra lo suficiente la Conjetura para incluir el caso de las curvas de tipo Fermat como contradicción. Para mí -esto es personal-, no es Wiles el de la idea ganadora que desata el nudo del Teorema, esta idea es la de Frey. Wiles aporta otro tipo de ideas, superbrillantes por su puesto, para demostrar la Conjetura; pero que no son las que directamente desenmascaran el Teorema. Pero no quiero polemizar sobre esto. Efectivamente como dice geómetracat, esto es maravilloso y nos abre las puertas a porqué el Teorema es cierto. No obstante yo sólo sé llegar hasta ahí. ¿Tú podrías matizar algo más -en este sentido de la comprensión profunda- sobre esta demostración? Por ejemplo algo sobre las formas modulares y su simetría y por qué la famosa ecuación no es parametrizable modularmente? Un saludo,
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

11 Diciembre, 2019, 08:47 pm
Respuesta #23

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,710
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino

Me ha llamado la atención este comentario de geómetracat. Como todo lo profundo relacionado con las matemáticas me encanta, no quiero dejar pasar esta pequeña oportunidad. Hablemos en profundo de la demostración de Wiles, ¿por qué no? (Ya se entiende que lo profundo que uno pueda). Te digo lo que he entendido yo y luego tú me matizas, con eso para mí es más que suficiente.

Quizás lo mejor, si quieres hablar de la prueba de Wiles y compañía sea abrir otro hilo en el foro.

Sobre la prueba: yo no soy la persona más indicada. No me la he mirado nunca ni siquiera en un mínimo detalle, y lo poco que sé sobre ella es el esquema general, a muy grandes rasgos (más o menos lo que has puesto tú). Desde luego sería un proyecto interesante a largo plazo intentar entender la prueba en un mínimo de profundidad, y es algo que me gustaría hacer antes de morir. Digo en un mínimo de profundidad porque dudo que nadie (ni matemáticos profesionales, ni siquiera Wiles) haya mirado o conozca todos los detalles de la prueba completa, "desde cero".

El resumen que haces es más o menos lo que yo tengo entendido, con algunos matices que te pongo a continuación.

Citar
Una forma modular es una clase de función analítica infinitamente diferenciable en cada punto que coincide con su propia serie de Taylor.

Decir "función analítica" y "función infinitamente diferenciable en cada punto que coincide con su propia serie de Taylor" es lo mismo. Lo que caracteriza las formas modulares, al margen de su analiticidad, es cómo se transforman bajo la acción del grupo modular.

Citar
En 1984 Frey relaciona el Último Teorema de Fermat con la Conjetura de Shimura-Taniyama-Weil. Pues:  \( a^n+b^n=c^n\,\,\Longleftrightarrow\,\,{y^2=x(x+a^n)(x-b^n)\,=\,x^3-b^nx^2+a^nx^2-a^nb^nx} \) .  Es decir, la ecuación del Teorema es también una curva elíptica pero que no puede ser parametrizada por funciones modulares por sus inusuales propiedades.

No es cierto que la ecuación del teorema sea una curva elíptica. La curva de Fermat, que viene descrita por la ecuación:
\( x^n+y^n=1 \)
tiene grado \( n \), mientras que una curva elíptica tiene grado \( 3 \).
Lo que hace Frey es construir una curva elíptica (la que has puesto, que sí es de grado \( 3 \)) a partir de una supuesta solución \( (a,b,c) \) de la ecuación de Fermat, y Serre y Ribet prueban que esa curva elíptica no puede ser modular.

Citar
Para mí -esto es personal-, no es Wiles el de la idea ganadora que desata el nudo del Teorema, esta idea es la de Frey. Wiles aporta otro tipo de ideas, superbrillantes por su puesto, para demostrar la Conjetura; pero que no son las que directamente desenmascaran el Teorema. Pero no quiero polemizar sobre esto. Efectivamente como dice geómetracat, esto es maravilloso y nos abre las puertas a porqué el Teorema es cierto.

Estoy bastante de acuerdo. En la mayoría de los casos, las demostraciones de problemas difíciles son como catedrales góticas, un trabajo a lo largo de años (en este caso siglos) de una cantidad ingente de matemáticos, cada uno aportando ingredientes imprescindibles para la demostración. Pero normalmente la fama se la suele llevar el último, quien por fin consigue la última pieza del puzzle. En mi opinión es bastante injusto, pero es así. Algo parecido pasa con la conjetura de Poincaré y Perelman. Eso sí, no pretendo quitar ningún mérito a Wiles, su contribución es enorme, y probablemente su parte sea la más difícil de todo el argumento.

Citar
No obstante yo sólo sé llegar hasta ahí.

Como ya te dicho, yo esencialmente también. Ahora mismo no puedo aportar muchos más detalles.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

11 Diciembre, 2019, 09:51 pm
Respuesta #24

Fernando Moreno

  • Aprendiz
  • Mensajes: 284
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola geómetracat. Muchas gracias por tu aportación. No es mi deseo seguir hablando de la prueba de Wiles en otro hilo, no tengo nada más que decir. Además no tengo mucho tiempo para documentarme tampoco sobre el tema, en esta época tengo mucho trabajo (del que me da de comer, me refiero). Me queda claro que la ecuación de Fermat no "es" una curva elíptica. Es cierto también que he sido un poco cicatero al no nombrar a Serre y Ribet que son los que demuestran la intuición de Frey de que la ecuación de Fermat no puede ser modular. Muy interesante también tu referencia a la característica distintiva principal de una forma modular: Sus transformaciones como grupo. Va uno aprendiendo. Yo creo que poco a poco irán apareciendo pequeñas aportaciones y a partir de ésas otras aportaciones mayores que irán en el sentido de entender esa maravillosa conexión entre el Teorema de Shimura-Taniyama-Weil y el Último Teorema de Fermat. Y a partir de esos trabajos siempre habrá algún super-profesor de esos que también tienen un meritazo intelectual que haga un video para que los mortales no matemáticos lo entendamos. Es fascinante el tema, me alegra que a ti te lo parezca también. Un saludo,
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

12 Diciembre, 2019, 01:30 pm
Respuesta #25

feriva

  • Matemático
  • Mensajes: 9,077
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
  • No soy matemático, eso es una etiqueta.

He estado analizando un más poco la forma \( (a^{2}+3b^{2})
  \)

Se llegaba de aquí

\( (a^{2}+3b^{2})(x^{2}+3y^{2})=
  \)

a aquí

\( (ax-3by)^{2}+3(ay+bx)^{2}
  \)

se llega a un número de la misma forma: \( p^{2}+3q^{2}
  \).

En primer lugar, lo que se observa es que un número de esta forma \( (a^{2}+3b^{2})
  \) con \( |a\wedge b|\geq1
  \) siempre es mayor que 1 porque los dos, “a” y ”b”, están al cuadrado; no existe el neutro para ese tipo de binomio. Y esto hace que se puedan descomponer infinitamente (al menos con letras o números reales); o se puede decir que no existen binomios de esa forma que sean primos en cuanto al tipo de factorización. Hasta aquí, sin profundizar más, el uso de números complejos para deducir esto se me antoja artificioso.

Spoiler

Dado que los cuadrados son positivos, mediante el producto cartesiano de los “a” y “b” positivos, desde 1 hasta ciertos “enes”, y con un simple bucle “for” anidado, hice un programa en python anoche para que me diera algunos cuadrados no múltiplos de 3 que tienen esa forma; algunos son éstos

49 , n=1 ,m= 4

169 , n=11 , m=4

361 , n=13 , m=8

...

De tal manera que, tomando por ejemplo 11 y 4 se puede buscar una descomposición así

\( 13^{2}=11^{2}+3\cdot4^{2}=
  \)

\( (a^{2}+3b^{2})(x^{2}+3y^{2})
  \)

donde podemos hacer, por ejemplo, \( a=11+k
  \) y \( b=4+t
  \); quedando un polinomio algo complicado

\( [(11+k)^{2}+3(4+t)^{2}](x^{2}+3y^{2})
  \)

\( [11^{2}+k^{2}+22k+3(4^{2}+t^{2}+8t)[(x^{2}+3y^{2})
  \)... etc.

Un cuadrado de esa forma siempre se puede descomponer de este modo, sin duda, otra cosa es que exista algún caso donde todas esas letras puedan ser números enteros para “a,b” ambos mayores que 1 y con esas condiciones.

Por curiosidad, igualmente vi que no se encuentran cubos de esa forma hasta donde uno busca.

[cerrar]

También me he entretenido en mirar, un poco por encima, el uso de los complejos en la demostración (de la de Euler).

En cuanto a lo puramente operativo, si no me estoy perdiendo algo, el uso de las cuentas con complejos que se utiliza ahí es tan elemental o más que muchas otras cosas que yo considero bastante elementales: resolver ecuaciones diofánticas lineales (con Euclides o la función phi) problemas del Teorema chino del resto... por no entrar en algunas un poquitín menos elementales, y menos relacionadas, de álgebra lineal y otras pocas de análisis (hablo de cosas que, modestamente, yo comprendo y sé operar, aunque sea equivocándome y aunque se me olviden si no las practico). Es cierto que la explicación está vestida con letras “w” y algunas cosas “raras”, palabras, formalismos... pero la impresión que me da, sin haber mirado más, es que, si consigo quitarle del todo el disfraz, me va a resultar básico o al menos conocido. Por esto precisamente, tengo que intentar seguir más detenidamente la demostración para ver si capto bien del todo qué misterioso poder tienen esas simples operaciones con complejos que no puedan tener otras para demostrar eso; porque, de momento, sigo intuyendo que se tiene que poder demostrar de otra manera.

Saludos.

12 Diciembre, 2019, 01:48 pm
Respuesta #26

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,991
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola feriva! Buenos días

¿Qué significa la notación \( a\wedge b \) en \( |a\wedge b|\geq1 \)? ¿Es producto vectorial?

Gracias y saludos

12 Diciembre, 2019, 03:29 pm
Respuesta #27

feriva

  • Matemático
  • Mensajes: 9,077
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
  • No soy matemático, eso es una etiqueta.
Hola feriva! Buenos días

¿Qué significa la notación \( a\wedge b \) en \( |a\wedge b|\geq1 \)? ¿Es producto vectorial?

Gracias y saludos

Hola, manooooh, buenas tardes de aquí.

Significa que soy un chapucero y un despistado, qué quieres que signifique tratándose de mí :D Quería decir \( |a|\wedge|b|
  \) Valor absoluto de ambas, "a" y "b", mayor que 1


Saludos.

12 Diciembre, 2019, 05:47 pm
Respuesta #28

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,066
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

He estado analizando un más poco la forma \( (a^{2}+3b^{2})
  \)

Se llegaba de aquí

\( (a^{2}+3b^{2})(x^{2}+3y^{2})=
  \)

a aquí

\( (ax-3by)^{2}+3(ay+bx)^{2}
  \)

se llega a un número de la misma forma: \( p^{2}+3q^{2}
  \).

En primer lugar, lo que se observa es que un número de esta forma \( (a^{2}+3b^{2})
  \) con \( |a\wedge b|\geq1
  \) siempre es mayor que 1 porque los dos, “a” y ”b”, están al cuadrado; no existe el neutro para ese tipo de binomio. Y esto hace que se puedan descomponer infinitamente (al menos con letras o números reales); o se puede decir que no existen binomios de esa forma que sean primos en cuanto al tipo de factorización. Hasta aquí, sin profundizar más, el uso de números complejos para deducir esto se me antoja artificioso.

Spoiler

Dado que los cuadrados son positivos, mediante el producto cartesiano de los “a” y “b” positivos, desde 1 hasta ciertos “enes”, y con un simple bucle “for” anidado, hice un programa en python anoche para que me diera algunos cuadrados no múltiplos de 3 que tienen esa forma; algunos son éstos

49 , n=1 ,m= 4

169 , n=11 , m=4

361 , n=13 , m=8

...

De tal manera que, tomando por ejemplo 11 y 4 se puede buscar una descomposición así

\( 13^{2}=11^{2}+3\cdot4^{2}=
  \)

\( (a^{2}+3b^{2})(x^{2}+3y^{2})
  \)

donde podemos hacer, por ejemplo, \( a=11+k
  \) y \( b=4+t
  \); quedando un polinomio algo complicado

\( [(11+k)^{2}+3(4+t)^{2}](x^{2}+3y^{2})
  \)

\( [11^{2}+k^{2}+22k+3(4^{2}+t^{2}+8t)[(x^{2}+3y^{2})
  \)... etc.

Un cuadrado de esa forma siempre se puede descomponer de este modo, sin duda, otra cosa es que exista algún caso donde todas esas letras puedan ser números enteros para “a,b” ambos mayores que 1 y con esas condiciones.

Por curiosidad, igualmente vi que no se encuentran cubos de esa forma hasta donde uno busca.

[cerrar]

Para obtener un listado de ejemplos donde \( n^2+3m^2 \) es un cuadrado perfecto no necesitabas hacer programa de ordenador alguno, sino aplicar la caracterización que te indiqué:

\( x=|a^2-3b^2| \)
\( y=2ab \)

Por ejemplo los casos que listas:

\( a=2 \), \( b=1 \) tienes \( x=1 \) e \( y=4 \).
\( a=1 \), \( b=2 \) tienes \( x=11 \) e \( y=4 \).
\( a=4 \), \( b=1 \) tienes \( x=13 \) e \( y=8 \).

Por lo demás no entiendo nada que lo que dices de infinitas descomposiciones por el hecho de que el \( 1 \) no tenga esa forma. No tiene nada que ver. Si nos quedamos en los enteros no hay descomposición infinita. Si permitimos raciones, si la hay como la habría, para cualquier número \( 2=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{5}{1} \) (y se podrían añadir cuantos factores quisieras).

Saludos.

12 Diciembre, 2019, 06:49 pm
Respuesta #29

feriva

  • Matemático
  • Mensajes: 9,077
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
  • No soy matemático, eso es una etiqueta.

Para obtener un listado de ejemplos donde \( n^2+3m^2 \) es un cuadrado perfecto no necesitabas hacer programa de ordenador alguno, sino aplicar la caracterización que te indiqué:

\( x=|a^2-3b^2| \)
\( y=2ab \)

Por ejemplo los casos que listas:

\( a=2 \), \( b=1 \) tienes \( x=1 \) e \( y=4 \).
\( a=1 \), \( b=2 \) tienes \( x=11 \) e \( y=4 \).
\( a=4 \), \( b=1 \) tienes \( x=13 \) e \( y=8 \).

Por lo demás no entiendo nada que lo que dices de infinitas descomposiciones por el hecho de que el \( 1 \) no tenga esa forma. No tiene nada que ver. Si nos quedamos en los enteros no hay descomposición infinita. Si permitimos raciones, si la hay como la habría, para cualquier número \( 2=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{5}{1} \) (y se podrían añadir cuantos factores quisieras).

Saludos.

Hola, Luis, muchas gracias.

Sí, me doy cuenta de que ese detalle de la descomposición, por sí sólo, poco puede hacer.

...

Mira esta idea y dime (si te apetece, y en ese caso cuando quieras) qué te parece.

Todo número entero “n”, con \( mcd(n,6)=1
  \) se puede escribir como suma de un múltiplo de 2 y un múltiplo de 3; pues la ecuación diofántica \( 2x+3y=n \) tiene soluciones x,y.

En consecuencia, por ser coprimos siempre con 6, las potencias de cualquier número escrito así siempre tienen esa misma forma

\( (2{ {\color{blue}x}}+3{\color{blue}y})^{2}=4x^{2}+9y^{2}+2xy=
  \)

\( 2({\color{blue}2x^{2}+xy})+3({\color{blue}3y^{2}})
  \)

\( (2{ {\color{blue}x}}+3{\color{blue}y})^{3}=(2x+3y)\cdot[2(2x^{2}+xy)+3(3y^{2})]=
  \)

\( 2[{\color{blue}{\color{red}x}(2x)^{2}+x^{2}y+x(3y)^{2}}]+3[{\color{blue}(2x)^{2}y+xy^{2}+y(3y)^{2}}]
  \)

Ahora, considerando un número distinto y coprimo con ése, \( (2a+3b)
  \), tendremos que la suma de sus cubos será

\( 2[{\color{red}x}({\color{blue}2x)^{2}+x^{2}y+x(3y)^{2}}+a(2a)^{2}+a^{2}b+a(3b)^{2}]+3[{\color{blue}(2x)^{2}y+xy^{2}+y(3y)^{2}}+(2a)^{2}b+ab^{2}+b(3b)^{2}]
  \)

Si la suma es un cubo par, se puede expresar de la misma forma con “n,m”, siendo \( mcd(n,3)=1
  \) y “m” par, de forma análoga. Entonces se trataría de analizar estas expresiones

Esto no
Spoiler
1ª \( ({\color{blue}2x)^{2}+x^{2}y+x(3y)^{2}}+(2a)^{2}+a^{2}b+a(3b)^{2}=(2n)^{2}+n^{2}m+n(3m)^{2}
  \)

2ª \( {\color{blue}(2x)^{2}y+xy^{2}+y(3y)^{2}}+(2a)^{2}+ab^{2}+b(3b)^{2}=(2n)^{2}+nm^{2}+m(3m)^{2}
  \)
[cerrar]


Qué te parece, ¿crees que podría llevar a algo?

(Después de escribirlo me aparece más complicado que lo otro; y además tengo los ojos hoy un poco irritados y no sé si me habré equivocado al desarrollar, pero lo idea sería intentar atacar con eso).

Saludos y muchas gracias.

12 Diciembre, 2019, 08:51 pm
Respuesta #30

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,066
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Mira esta idea y dime (si te apetece, y en ese caso cuando quieras) qué te parece.

Todo número entero “n”, con \( mcd(n,6)=1
  \) se puede escribir como suma de un múltiplo de 2 y un múltiplo de 3; pues la ecuación diofántica \( 2x+3y=n \) tiene soluciones x,y.

En consecuencia, por ser coprimos siempre con 6, las potencias de cualquier número escrito así siempre tienen esa misma forma

\( (2{ {\color{blue}x}}+3{\color{blue}y})^{2}=4x^{2}+9y^{2}+2xy=
  \)

\( 2({\color{blue}2x^{2}+xy})+3({\color{blue}3y^{2}})
  \)

\( (2{ {\color{blue}x}}+3{\color{blue}y})^{3}=(2x+3y)\cdot[2(2x^{2}+xy)+3(3y^{2})]=
  \)

\( 2[({\color{blue}2x)^{2}+x^{2}y+x(3y)^{2}}]+3[{\color{blue}(2x)^{2}y+xy^{2}+y(3y)^{2}}]
  \)

Ahora, considerando un número distinto y coprimo con ése, \( (2a+3b)
  \), tendremos que la suma de sus cubos será

\( 2[({\color{blue}2x)^{2}+x^{2}y+x(3y)^{2}}+(2a)^{2}+a^{2}b+a(3b)^{2}]+3[{\color{blue}(2x)^{2}y+xy^{2}+y(3y)^{2}}+(2a)^{2}b+ab^{2}+b(3b)^{2}]
  \)

Si la suma es un cubo par, se puede expresar de la misma forma con “n,m”, siendo \( mcd(n,3)=1
  \) y “m” par, de forma análoga. Entonces se trataría de analizar estas expresiones

1ª \( ({\color{blue}2x)^{2}+x^{2}y+x(3y)^{2}}+(2a)^{2}+a^{2}b+a(3b)^{2}=(2n)^{2}+n^{2}m+n(3m)^{2}
  \)

2ª \( {\color{blue}(2x)^{2}y+xy^{2}+y(3y)^{2}}+(2a)^{2}+ab^{2}+b(3b)^{2}=(2n)^{2}+nm^{2}+m(3m)^{2}
  \)

donde de momento se podría empezar por estarlas y se va el cuadrado (2n) y se puede sacar factores comunes.

Qué te parece, ¿crees que podría llevar a algo?

Sin entrar en más disquisiciones esa separación de términos que haces no está bien, porque la expresión de un número en la forma \( 2a+3b \) no es única. Por ejemplo:

\( 28=2\cdot 5+3\cdot 6=2\cdot 8+3\cdot 4=2\cdot 2+3\cdot 8 \)

Saludos.

12 Diciembre, 2019, 08:59 pm
Respuesta #31

feriva

  • Matemático
  • Mensajes: 9,077
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
  • No soy matemático, eso es una etiqueta.


Sin entrar en más disquisiciones esa separación de términos que haces no está bien, porque la expresión de un número en la forma \( 2a+3b \) no es única. Por ejemplo:

\( 28=2\cdot 5+3\cdot 6=2\cdot 8+3\cdot 4=2\cdot 2+3\cdot 8 \)

Saludos.

Ah sí, hay que contar con el 2 y el 3, es verdad

De todas formas, aparte de eso, ya intuyo que te parece que no va a servir para mucho :)

Muchas gracias.

13 Diciembre, 2019, 11:07 am
Respuesta #32

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,710
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
También me he entretenido en mirar, un poco por encima, el uso de los complejos en la demostración (de la de Euler).

En cuanto a lo puramente operativo, si no me estoy perdiendo algo, el uso de las cuentas con complejos que se utiliza ahí es tan elemental o más que muchas otras cosas que yo considero bastante elementales: resolver ecuaciones diofánticas lineales (con Euclides o la función phi) problemas del Teorema chino del resto... por no entrar en algunas un poquitín menos elementales, y menos relacionadas, de álgebra lineal y otras pocas de análisis (hablo de cosas que, modestamente, yo comprendo y sé operar, aunque sea equivocándome y aunque se me olviden si no las practico). Es cierto que la explicación está vestida con letras “w” y algunas cosas “raras”, palabras, formalismos... pero la impresión que me da, sin haber mirado más, es que, si consigo quitarle del todo el disfraz, me va a resultar básico o al menos conocido. Por esto precisamente, tengo que intentar seguir más detenidamente la demostración para ver si capto bien del todo qué misterioso poder tienen esas simples operaciones con complejos que no puedan tener otras para demostrar eso; porque, de momento, sigo intuyendo que se tiene que poder demostrar de otra manera.

Sí, no es para nada complicado. Muchas veces hay que tener cuidado con el sentido del término "elemental". A veces, cuando se dice una "demostración elemental" uno se refiere a una demostración que no use técnicas "de fuera del campo". Por ejemplo, en teoría de números muchas veces se usa demostración elemental para referirse a una demostración que no se sale de los enteros. Fíjate que todo lo que nombras (ecuaciones diofánticas lineales, función phi de Euler, teorema chino del resto...) son cosas que se refieren a enteros y de las que puedes dar demostraciones sin salirte de ellos. En cambio, el famoso lema de la prueba de Euler sí que se sale de los enteros (a los complejos), aunque el uso que haga de ellos no sea nada complicado.
En definitiva, que a veces "elemental" es muy distinto de "sencillo".
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

13 Diciembre, 2019, 03:43 pm
Respuesta #33

feriva

  • Matemático
  • Mensajes: 9,077
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
  • No soy matemático, eso es una etiqueta.


Sí, no es para nada complicado. Muchas veces hay que tener cuidado con el sentido del término "elemental". A veces, cuando se dice una "demostración elemental" uno se refiere a una demostración que no use técnicas "de fuera del campo". Por ejemplo, en teoría de números muchas veces se usa demostración elemental para referirse a una demostración que no se sale de los enteros. Fíjate que todo lo que nombras (ecuaciones diofánticas lineales, función phi de Euler, teorema chino del resto...) son cosas que se refieren a enteros y de las que puedes dar demostraciones sin salirte de ellos. En cambio, el famoso lema de la prueba de Euler sí que se sale de los enteros (a los complejos), aunque el uso que haga de ellos no sea nada complicado.
En definitiva, que a veces "elemental" es muy distinto de "sencillo".

Hola, Geómetracat.

Sí, entiendo lo que quieres decir.

Esos métodos de teoría de números yo no los conocía antes de entrar aquí, sólo sabía algo de álgebra lineal y cuatro cosas de análisis. Los he aprendido mirando respuestas, consultando problemas resueltos y a veces contestando yo mismo a consultas; se puede decir que “sin estudiar”. Pero  esa prueba me dio siempre pereza; no me pasó lo mismo con el caso n=4, que me la aprendí bien, o la demostración del pequeño teorema y otras cosas así, de enteros normales.
Quizá esa pereza fue porque leí que era una prueba complicada, pero estoy viendo que, efectivamente, no es tanto, ya tengo una idea más global y veo por dónde van las cosas. A ver si me la aprendo de memoria y bien razonado todo; y después a ver si la pudiera “reconvertir” sin usar complejos (si tengo constancia y mañana no me da por pensar en otras cosas, que me suele pasar).

De todas formas, hablando de eso otro, la demostración del hilo ése, aparte del error que señalaste, no me gusta, parece que las ideas salen de la nada; cuando demuestra la propiedad para el número de esta forma \( a^2+3b^2 \), entre otras cosas parecidas que hace, da la sensación de que lo saca por probaturas de desarrollos, sin saber lo que busca o haciendo que no lo sabe, cuando se ve que conoce que \( a+b\sqrt{-3} \) es normable; si no, no se le hubiera ocurrido.
Yo no pretendo una cosa así, para hacer eso, no hago nada. Mi idea es que se vea que hay un plan de ataque con unos razonamientos que partan de la idea principal, el descenso al infinito. Hay que encontrar algo que lleve a una terna más pequeña. Y puede que exista otra forma para ello, otro tipo de binomio, o lo que sea, adecuado para el particular caso n=3.
Aunque, seguramente, cuando me aprenda bien la demostración de Euler, ya no me apetecerá inventar otra cosa.

Muchas gracias.

Saludos.     

 

13 Diciembre, 2019, 07:36 pm
Respuesta #34

feriva

  • Matemático
  • Mensajes: 9,077
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
  • No soy matemático, eso es una etiqueta.
Hola.

EDITADO

Me ha salido una cosa rara que no sé si entiendo bien.

Siendo “c” y “e” impares, podemos decir que para cuales sean los impares distintos y elegidos al azar (“c” y “e”) existen enteros de distinta paridad “a” y “b”, tales que

\( a^{2}-b^{2}=n
  \) siendo “n” impar y donde

1) \( a=\dfrac{c+e}{2}
  \)

2) \( b=\dfrac{c-e}{2}
  \)

Esto, ya se sabe, es muy conocido, se usa en el método de factorización de Fermat, por ejemplo. Y, efectivamente, se pueden elegir al azar los impares para que “a” y “b” sean de distinta paridad:

...

Tenemos que

\( a=\dfrac{c+e}{2}
  \)

\( b=\dfrac{c-e}{2}
  \)

Elijamos impares \( c=2x+1
  \) y \( e=2y+1
  \) donde se pueden dar valores arbitrarios a “x” e “y” desde cero para obtener los impares que se quiera.

Entonces

\( a=\dfrac{c+e}{2}=\dfrac{2x+2y+2}{2}\Rightarrow a=x+y+1
  \)

\( b=\dfrac{c-e}{2}=\dfrac{2x+1-2y-1}{2}\Rightarrow b=x{\color{red}-}y
  \)

Donde “a” y “b” resultan de distinta paridad



...

Despejando de las ecuaciones 1) y 2) tenemos que

\( c=a+b
  \) y \( e=a-b
  \)

como se detalla en el spoiler

Spoiler

\( 2a=c+e
  \)

\( 2b=c-e
  \)

\( c=2a-e
  \)

\( c=2b+e
  \)

\( 2c=2a+2b
  \)

\( c=a+b
  \)

\( e=2a-c\Rightarrow e=2a-{\color{blue}(a+b)}\Rightarrow
  \)

\( e=a-b
  \)

[cerrar]

Ahora sumemos los cubos \( c^{3}+e^{3}
  \):

\( c^{3}+e^{3}=(a+b)^{3}+(a-b)^{3}=
  \)

\( a^{3}+b^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=
  \)

\( 2a(a^{2}+3b^{2})
  \)

Spoiler
Pero teníamos que \( b=a+1
  \), por lo que \( a-b=a-(a+1)=-1
  \) ???

...

¿En qué me he equivocado?

No puede ser, porque entiendo que querría decir que aquí

\( a=\dfrac{c+e}{2}\Rightarrow2a=c+e
  \)

\( b=\dfrac{c-e}{2}\Rightarrow2b=c-e
  \)

“c” y “e” no pueden ser impares para que salga esa igualdad, serían pares y, en consecuencia, no coprimos.

En otro caso (siempre que se hubiera dado el milagro de no equivocarme) ¿cómo se interpretaría?
[cerrar]
Saludos.

13 Diciembre, 2019, 07:49 pm
Respuesta #35

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,710
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Te has equivocado aquí:

\( b=\dfrac{c-e}{2}=\dfrac{2x+1-2y-1}{2}\Rightarrow b=x+y
  \)

Es \( b=x-y \).

Esos métodos de teoría de números yo no los conocía antes de entrar aquí, sólo sabía algo de álgebra lineal y cuatro cosas de análisis. Los he aprendido mirando respuestas, consultando problemas resueltos y a veces contestando yo mismo a consultas; se puede decir que “sin estudiar”. Pero  esa prueba me dio siempre pereza; no me pasó lo mismo con el caso n=4, que me la aprendí bien, o la demostración del pequeño teorema y otras cosas así, de enteros normales.

Normal, la prueba de Fermat para \( n=4 \) es (bastante) más sencilla que para \( n=3 \).

Citar
Quizá esa pereza fue porque leí que era una prueba complicada, pero estoy viendo que, efectivamente, no es tanto, ya tengo una idea más global y veo por dónde van las cosas. A ver si me la aprendo de memoria y bien razonado todo; y después a ver si la pudiera “reconvertir” sin usar complejos (si tengo constancia y mañana no me da por pensar en otras cosas, que me suele pasar).

Si realmente quieres dar una prueba sin complejos a mí me parece el camino más razonable: entender bien la prueba que usa complejos e intentar reformular la misma prueba pero sin complejos.

Citar
De todas formas, hablando de eso otro, la demostración del hilo ése, aparte del error que señalaste, no me gusta, parece que las ideas salen de la nada; cuando demuestra la propiedad para el número de esta forma \( a^2+3b^2 \), entre otras cosas parecidas que hace, da la sensación de que lo saca por probaturas de desarrollos, sin saber lo que busca o haciendo que no lo sabe, cuando se ve que conoce que \( a+b\sqrt{-3} \) es normable; si no, no se le hubiera ocurrido.
Yo no pretendo una cosa así, para hacer eso, no hago nada. Mi idea es que se vea que hay un plan de ataque con unos razonamientos que partan de la idea principal, el descenso al infinito. Hay que encontrar algo que lleve a una terna más pequeña. Y puede que exista otra forma para ello, otro tipo de binomio, o lo que sea, adecuado para el particular caso n=3.

Bueno, la verdad es que no lo miré con mucho detalle, simplemente vi que argentinator decía que seguía la demostración de ahí.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

13 Diciembre, 2019, 08:11 pm
Respuesta #36

feriva

  • Matemático
  • Mensajes: 9,077
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
  • No soy matemático, eso es una etiqueta.
Te has equivocado aquí:

\( b=\dfrac{c-e}{2}=\dfrac{2x+1-2y-1}{2}\Rightarrow b=x+y
  \)

Muchísimas gracias, Geómetracat; qué susto me había llevado.

En cuanto a lo otro, sí, me la estoy mirando y viendo cosas; voy apuntando en un papel, haciendo cuentas... y como me equivoco, tengo que volver a empezar a cada rato... pero seguiré hasta que la asimile.

Saludos.

15 Diciembre, 2019, 01:51 pm
Respuesta #37

Fernando Moreno

  • Aprendiz
  • Mensajes: 284
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola,

Hola. Gracias feriva, tú tan generoso como siempre. Bueno como la cosa ya a venido así pues publico lo que tenga este fin de semana y ya está. Seguro que está mal. Yo no utilizo la igualdad de Euler, sino la idea que subyace. Por lo menos sé que a ti te va a resultar curioso y es un aliciente, me lo voy a tomar así. Gracias Luis

Pues no voy a poder publicar nada todavía, me precipité. Aún no lo tengo claro. Disculpas. Un saludo,
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

15 Diciembre, 2019, 05:32 pm
Respuesta #38

feriva

  • Matemático
  • Mensajes: 9,077
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
  • No soy matemático, eso es una etiqueta.
Hola,

Hola. Gracias feriva, tú tan generoso como siempre. Bueno como la cosa ya a venido así pues publico lo que tenga este fin de semana y ya está. Seguro que está mal. Yo no utilizo la igualdad de Euler, sino la idea que subyace. Por lo menos sé que a ti te va a resultar curioso y es un aliciente, me lo voy a tomar así. Gracias Luis

Pues no voy a poder publicar nada todavía, me precipité. Aún no lo tengo claro. Disculpas. Un saludo,

No te preocupes. Yo estoy preparando una "explicación" somera sobre lo que veo que es la prueba de Euler; y a la vez intentando una demostración paralela.

Saludos.

17 Diciembre, 2019, 10:26 am
Respuesta #39

feriva

  • Matemático
  • Mensajes: 9,077
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
  • No soy matemático, eso es una etiqueta.

Bueno, ya he estado mirando bastantes cosas sobre la prueba de Euler y me he puesto en marcha en mi intento de llegar a lo mismo con un enfoque que use sólo números enteros (no obstante, si al final veo que lo que uso lo complica demasiado, usaré raíces o incluso complejos; y en este último caso pues no habrá nada distinto, pero presentaré también mi enfoque por ver si estoy entendiendo bien y mis razonamientos son validos).

...

Según lo que ponía una de mis últimas respuestas, la expresión \( 2a(a^{2}+3b^{2})
  \) se puede representar para los enteros impares “c” y “e” que sean; también negativos si se quiere considerar. Por tanto, con esto, cualquiera puede estar seguro de que si se demuestra para esa igualdad, se demuestra para todos los casos.

En spoiler va un resumen de las consideraciones elementales necesarias para la de demostración (que todo ufetero ya conoce).

Spoiler

Entonces, toda suma de cubos impares se puede representar así

\( (a+b)^{3}+(a-b)^{3}
   \).

El resultado de esa suma existe siempre, lo que ocurre es que nunca puede ser otro cubo. Por ejemplo, existen \( (50+15)^{3}+(50-15)^{3}
   \), pues existen los impares 65 y 35 y sus respectivos cubos

\( 65^{3}=5^{3}\cdot13^{3}
   \)

\( 35^{3}=5^{3}\cdot7^{3}
  \)

y, en consecuencia, existe la suma de esos dos cubos.

\( 5^{3}\cdot13^{3}+5^{3}\cdot7^{3}=2^{2}\cdot5^{4}\cdot127
   \)

Pero, como vemos, no se descompone en factores primos elevados al cubo y, por tanto, no es otro cubo.

Pero supongamos que esa suma se descompusiera en tres primos elevados al cubo \( 5^{3}\cdot13^{3}+5^{3}\cdot7^{3}=P_{1}^{3}\cdot P_{2}^{3}\cdot P_{3}^{3}
   \).

En este caso, como los dos cubos de la suma tienen en común el factor 5 (elevado al cubo, claro) uno de esos primos tendrá que ser también 5, es decir

\( 5^{3}\cdot13^{3}+5^{3}\cdot7^{3}=5{}^{3}\cdot P_{2}^{3}\cdot P_{3}^{3}
   \)

de lo contrario es imposible; pues la suma de dos múltiplos de 5 es otro múltiplo de 5 (y lo mismo para cualquier otro primo o compuesto).

Esto hace que podamos dividir a ambos lados entre \( 5^3 \) y nos siga quedando una suma de cubos cuyo resultado es otro cubo \( 13^{3}+7^{3}=P_{2}^{3}\cdot P_{3}^{3}
   \).

Si existe una suma de cubos en la que los tres números x,y,z se descomponen en primos, entonces, necesariamente, existe otra suma u otras sumas de cubos.

[cerrar]

Empezamos por pensar en la composición de factores de esta expresión \( (a^{2}+3b^{2})
   \) a la que llega Euler.

Si 3 no divide a “a”, estos factores son los de la forma \( 6n\pm1
   \); es decir, la forma de todos los enteros menos los múltiplos de 6.

Si consideramos lo que se conoce como “primer caso” de la demostración del teorema de Fermat, suponemos primeramente que los factores \( 2a
   \) y \( a^{2}+3b^{2}
   \) no tienen ningún componente primo en común.

Entonces, aquí, \( (a^{2}+3b^{2})
   \), el número “a” no puede ser múltiplo de 3, pues la suma sería un múltiplo de 3 y lo sería también el otro factor, “2a”.

Además, como ya se ha visto, “a” y “b” son de paridad distinta, por lo que la suma, o sea, el factor del paréntesis, es impar. Por tanto, según estamos considerando, no es múltiplo 6.

Luego en ese caso, está compuesto únicamente por factores de la forma \( 6n\pm1
   \).

Ahora bien, no quiere decir que necesariamente los primos que componen a \( (a^{2}+3b^{2})
   \) sean de esa forma o solamente de esa forma; porque \( (6n-1)^{6}
   \), por ejemplo, también nos va a dar un número así \( 6n+1 \).

En consecuencia, podemos escribir, por ejemplo

\( a^{2}+3b^{2}=1+6n=1+3(2n)
  \)

Ahora, para conseguir un “a” cuadrado ahí que no sea 1, tendremos que quitar una cierta cantidad a \( 3(2n)
  \) de forma que siga siendo un múltiplo de 3 y además, también, tiene que deje de ser par, para así obtener “b” cuadrado impar. Pues, obviamente, lo que tenemos que tenemos en ese segundo sumando es \( 2k+2k+2k
  \); si le restáramos un número no divisible entre 3, quedaría un no múltiplo de 3.

Entonces hay que quitarle un múltiplo de 3 impar. De forma que

\( b^{2}=3(2n)-3m=3(2n-m)=6n-3m
  \)

\( a^{2}=3m+1
  \)

E igual conclusión se obtiene considerando que es de la forma \( 6n-1
  \); “b” será múltiplo de 3 si los factores son coprimos (aun en caso de que no me equivoque, no sé si usaré esto).

Y éste ha sido el primer punto a considerar, donde, pese a lo que sea ha deducido al final, quizá lo más importante es ver que en lo sucesivo hay que estar pendientes en cuanto a la posibilidad del signo.

...

Ahora, vuelvo a mi anterior repuesta, donde veía que existen los números \( c=a+b
   \) y \( e=a-b
  \).

Es fácil ver que, dados unos representantes “a,b” concretos, la pareja asociada de impares “c,e” para la suma “c+e” es única. Para observarlo, basta suponer que existen las parejas de impares “c,e” y “f,g” asociadas a unos mismos “a,b.

Entonces, ocurre:

\( \begin{array}{cc}
c=a+b; & e=a-b\\
f=a+b; & g=a-b
\end{array}
  \)

y de ahí

\( c+e=2a
   \)

\( c+g=2a
   \)

o sea

\( g=e
  \)

y análogamente

\( g+f=g+c
   \)

\( f=c
   \).

No olvidemos las letras que uso para la igualdad

\( c^{3}+e^{3}=(a+b)^{3}+(a-b)^{3}=2a(a^{2}+3b^{2})
   \).

Así, por ejemplo, podemos pensar en el producto \( c\cdot d=(a+b)(a-b)=a^{2}-c^{2}
  \), donde las letras están estrechamente relacionadas con los valores concretos “c” y “e” de la terna.

Del mismo modo, podemos representar una equivalencia en forma de producto

\( a=k_{1}\cdot k_{2}
  \)

\( b=t_{1}\cdot t_{2}
  \)

Y podemos aprovechar que ya sabemos que “b” es múltiplo de 3 (si me hubiera equivocado en la deducción, pues no podré)

\( a=k_{1}\cdot k_{2}
  \)

\( b=3\cdot t_{2}
  \)

Donde si cualquiera de ellos es primo, entonces, algún “k” será 1.

...
Y éste es de momento el material para intentarlo.
Lo dejo aquí por hoy, para que no sea demasiado pesado corregirme, que ya he escrito mucho.

Saludos.