Para obtener un listado de ejemplos donde \( n^2+3m^2 \) es un cuadrado perfecto no necesitabas hacer programa de ordenador alguno, sino aplicar la caracterización que te indiqué:
\( x=|a^2-3b^2| \)
\( y=2ab \)
Por ejemplo los casos que listas:
\( a=2 \), \( b=1 \) tienes \( x=1 \) e \( y=4 \).
\( a=1 \), \( b=2 \) tienes \( x=11 \) e \( y=4 \).
\( a=4 \), \( b=1 \) tienes \( x=13 \) e \( y=8 \).
Por lo demás no entiendo nada que lo que dices de infinitas descomposiciones por el hecho de que el \( 1 \) no tenga esa forma. No tiene nada que ver. Si nos quedamos en los enteros no hay descomposición infinita. Si permitimos raciones, si la hay como la habría, para cualquier número \( 2=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{5}{1} \) (y se podrían añadir cuantos factores quisieras).
Saludos.
Hola, Luis, muchas gracias.
Sí, me doy cuenta de que ese detalle de la descomposición, por sí sólo, poco puede hacer.
...
Mira esta idea y dime (si te apetece, y en ese caso cuando quieras) qué te parece.
Todo número entero “n”, con \( mcd(n,6)=1
\) se puede escribir como suma de un múltiplo de 2 y un múltiplo de 3; pues la ecuación diofántica \( 2x+3y=n \) tiene soluciones x,y.
En consecuencia, por ser coprimos siempre con 6, las potencias de cualquier número escrito así siempre tienen esa misma forma
\( (2{ {\color{blue}x}}+3{\color{blue}y})^{2}=4x^{2}+9y^{2}+2xy=
\)
\( 2({\color{blue}2x^{2}+xy})+3({\color{blue}3y^{2}})
\)
\( (2{ {\color{blue}x}}+3{\color{blue}y})^{3}=(2x+3y)\cdot[2(2x^{2}+xy)+3(3y^{2})]=
\)
\( 2[{\color{blue}{\color{red}x}(2x)^{2}+x^{2}y+x(3y)^{2}}]+3[{\color{blue}(2x)^{2}y+xy^{2}+y(3y)^{2}}]
\)
Ahora, considerando un número distinto y coprimo con ése, \( (2a+3b)
\), tendremos que la suma de sus cubos será
\( 2[{\color{red}x}({\color{blue}2x)^{2}+x^{2}y+x(3y)^{2}}+a(2a)^{2}+a^{2}b+a(3b)^{2}]+3[{\color{blue}(2x)^{2}y+xy^{2}+y(3y)^{2}}+(2a)^{2}b+ab^{2}+b(3b)^{2}]
\)
Si la suma es un cubo par, se puede expresar de la misma forma con “n,m”, siendo \( mcd(n,3)=1
\) y “m” par, de forma análoga. Entonces se trataría de analizar estas expresiones
Esto noSpoiler
1ª \( ({\color{blue}2x)^{2}+x^{2}y+x(3y)^{2}}+(2a)^{2}+a^{2}b+a(3b)^{2}=(2n)^{2}+n^{2}m+n(3m)^{2}
\)
2ª \( {\color{blue}(2x)^{2}y+xy^{2}+y(3y)^{2}}+(2a)^{2}+ab^{2}+b(3b)^{2}=(2n)^{2}+nm^{2}+m(3m)^{2}
\)
Qué te parece, ¿crees que podría llevar a algo?
(Después de escribirlo me aparece más complicado que lo otro; y además tengo los ojos hoy un poco irritados y no sé si me habré equivocado al desarrollar, pero lo idea sería intentar atacar con eso).
Saludos y muchas gracias.