Hola, Sugata.
Feriva, creo que es más sencillo.
SI cogemos la base apropiada podemos crear una matriz diagonal.
Cogemos el primer vector que anule la segunda componente tras la transformación.
\( 2x_1-x_2=0 \) podemos coger el vector \( (1,2) \)
Para que sea diagonal, así mismo necesitamos que el segundo vector transforme en cero la primera componente.
\( x_1+4x_2=0 \) podemos coger \( (-4,1) \)
Es que no sé si se refiere a eso el enunciado; puede ser lo que tú dices, sí, a lo mejor lo estoy entendiendo mal; yo he entendido la pregunta como que si la matriz de “f” es diagonalizable; pero a lo mejor es simplemente eso y no hace falta complicarse.
Si es como digo, al hallar los autovectores tendríamos
Restando el autovalor 3 en la diagonal
\( \left(\begin{array}{cc}
-2 & 4\\
2 & -4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right)=\overset{\rightarrow}{0};\,\Rightarrow-2x+4y=0
\)
Un representante del primer autovector puede ser entonces (2,1)
Restando -3 en la diagonal
\( \left(\begin{array}{cc}
4 & 4\\
2 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\right)=\overset{\rightarrow}{0};\,\Rightarrow4x+4y=0
\)
El otro autovector puede ser (-1,1)
Entonces
\( M_{f}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 4\\
2 & -1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
1 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
{\color{blue}-3} & 0\\
0 & {\color{blue}3}
\end{array}\right)\dfrac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}
-1 & 2\\
1 & 1
\end{array}\right)
\)
(
EDITADO: había puesto un 2 sin querer al teclear en la matriz D y me había equivocado al copiar valores en la inversa también)
Y la del medio, con la diagonal en azul, sería la matriz diagonal pedida suponiendo eso.
Saludos.
