Autor Tema: Problema conceptual

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26 Noviembre, 2019, 09:05 pm
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Zionira

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Hola de nuevo!!
La cuestión es la siguiente:
¿De  cuántas formas  se pueden  colocar  10  canicas del mismo  tamaño  en  cinco  recipientes distintos  si  todas  las canicas son distinguibles?
Por lo que sé la respuesta a este problema es 5^10 pero he aquí el problema:
¿De cuántas maneras se pueden colocar 20 libros en tres estanterías distinguibles si todos los libros son distintos y se tienen en cuenta las posiciones de los libros en las estanterías? La respuesta a este problema según me han dicho es la respuesta al problema en el caso de que los libros fueran indistinguibles, es decir C(22, 20)*20!(Tenemos en cuenta el orden) Pero no acabo de entender porqué no es similar al anterior. Es decir: ¿Por qué no podría ser 3^20.


Saludos!!

26 Noviembre, 2019, 11:39 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola de nuevo!!
La cuestión es la siguiente:
¿De  cuántas formas  se pueden  colocar  10  canicas del mismo  tamaño  en  cinco  recipientes distintos  si  todas  las canicas son distinguibles?
Por lo que sé la respuesta a este problema es 5^10 pero he aquí el problema:
¿De cuántas maneras se pueden colocar 20 libros en tres estanterías distinguibles si todos los libros son distintos y se tienen en cuenta las posiciones de los libros en las estanterías? La respuesta a este problema según me han dicho es la respuesta al problema en el caso de que los libros fueran indistinguibles, es decir C(24, 20)*20!(Tenemos en cuenta el orden) Pero no acabo de entender porqué no es similar al anterior. Es decir: ¿Por qué no podría ser 3^20.


Saludos!!

La respuesta sería \( 3^{20} \) si no importase el orden de los libros en cada estantería. Pero el orden importa: no sólo se le debe asignar a cada libro una estantería sino también un orden dentro de ella.

No veo una forma directa de llegar al resultado de \( \binom{24}{20} 20! \), yo intentaría hallar el número usando una recurrencia (pensar "a lo grande" suele simplificar enormemente los problemas matemáticos): si \( c_n \) es el número de posibles formas de colocar \( n \) libros en tres estanterías entonces \( c_{n+1}=(n+3)c_n \) ya que \( n+3 \) son los huecos donde poner un nuevo libro dada una configuración cualquiera de \( n \) libros, y si \( c_1=3 \) ya tenemos lista nuestra recurrencia.

La solución que me deja la recurrencia es \( (n+{\color{red}{2}})!/2 \), que con \( n=20 \) nos deja \( 22!/2=20!\cdot 21\cdot 11 \), y por otro lado tenemos que \( \binom{24}{20}=\binom{24}{4}=\frac{24\cdot 23\cdot 22\cdot 21}{4\cdot 3\cdot 2}=23\cdot 22\cdot 21 \), así que mi resultado y el que te han dado no coincide. De momento no veo error en mi cálculo pero nunca se sabe.

CORRECCIÓN.

26 Noviembre, 2019, 11:45 pm
Respuesta #2

noisok

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Creo que el resultado es \( CR_3^{20}\cdot{}P_{20}= C_{22}^{20}\cdot{}P_{20} \)

27 Noviembre, 2019, 01:10 am
Respuesta #3

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Hola creo que al resultado se arriba , calculando el numero de posibles arreglos de los 20 libros en linea es decir \( 20! \) y luego se le multiplica por la cantidad de combinaciones para formar 3 grupos, cuya cantidad de libros sumada sea 20

eso según se lo vi hacer a Luis Fuentes es \( CR_{3,20}  =\binom{20+3-1}{20} \)

luego el número de combinaciones es \( N=20!\dfrac{22!}{20!2!}=\dfrac{22!}{2} \)
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

27 Noviembre, 2019, 03:34 am
Respuesta #4

Abdulai

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Una manera de analizar el problema es considerar que en lugar de considerar 3 estantes uno encima del otro tenemos un solo estante largo con 2 separadores.


Tendremos 22 posiciones posibles a ocupar, 2 para los separadores y el resto para los libros.

Como los separadores pueden ocupar lugares de \( \displaystyle\binom{22}{2} \) formas diferentes  y los libros ordenar de \( 20! \) maneras --->  Son en total \( \displaystyle\binom{22}{2} 20! \) formas.

Generalizando para \( L \) libros distinguibles ordenados en \( N \) estantes:  \( \displaystyle\binom{L+N-1}{N-1} L! \)


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Como la equivalencia entre 3 estantes y uno solo con 2 separadores se ve mejor con un dibujo, para ahorrar trabajo me fui a San Google y me encontré un video donde un profesor lo explica detalladamente con 12   libros y 4 estantes
Se me dió por mirarlo antes de pegar el link y sorpresa:  El resultado está mal.
El error está en que a los \( 4^{12} \) grupos indistinguibles los multiplica por el número de permutaciones (\( 12! \))  y de esa forma le queda mogollón ;) de grupos repetidos.   

Ejemplo: Si \( L_i \) es el libro y \( e_k \) el estante:  El grupo  \( \left\{L_1@e_1,L_2@e_2,\cdots\right\} \)  es igual a \( \left\{L_2@e_2,L_1@e_1, \text{el resto igual}\right\} \)

27 Noviembre, 2019, 09:52 am
Respuesta #5

Zionira

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Si, exacto, ya lo he corregido, era C(22, 20) lo siento, lo copié rápido y corriendo. Y creo que ya he entendido la diferencia gracias!!

Saludos