Hola Marcos.
A ver si lo entiendes mejor así.
Aquí se ven en azul los vectores posición (son radios, tienen ambos el mismo módulo) \( R_{a}
\) y \( R_{b}
\).
La suma vectorial de dos vectores es unir origen de un vector con destino de otro; y se restan uniendo destinos.
Por tanto, el vector rojo, es el vector \( R_{a}-R_{b}
\) ó \( \Delta R
\) (lo he puesto con mayúscula pero es con minúscula en los libros).
Los vectores \( R_{a}
\) y \( R_{b}
\) son tales que a través de ellos se puede representar el vector diferencia por combinación lineal.
Cuando los dos radios están muy juntos, el vector rojo \( \Delta R
\) es prácticamente tangente a la curva.
Análogamente, en el mismo triángulo podemos considerar el vector velocidad tangencial \( \Delta V
\); que también se podrían expresar por combinación lineal de unos vectores "componentes" \( V_{a}
\) y \( V_{b}
\).
Como están sobre el mismo triángulo, obviamente existe la equivalencia por semejanzas del triángulos (y tan semejante, como que es el mismo)
\( \dfrac{\Delta R}{R}=\dfrac{{\color{blue}\Delta V}}{V}
\).
Ahora, la aceleración es la variación de la velocidad con el tiempo, o sea \( a=\dfrac{{\color{blue}\Delta V}}{\Delta t}
\).
Despejando lo azul (la variación de V) e igualando lo que nos queda, tenemos
\( \dfrac{\Delta R}{R}\cdot V=a\Delta t\Rightarrow
\)
\( \dfrac{\Delta R}{\Delta t}\cdot\dfrac{V}{R}=a
\)
Donde, por definición de velocidad \( \dfrac{\Delta R}{\Delta t}=V
\) (la derivada cuando los R están muy juntos; el vector rojo cuando queda tangente); entonces, sustituyendo:
\( V\cdot\dfrac{V}{R}=\dfrac{V^{2}}{R}=a
\).
Saludos.
