Me parece atinada la decisión respecto a b; sin embargo es posible que bajo ciertas condiciones la fuerza de fricción sea lineal, no lo he investigado; pero si la he escuchado.
Respecto a la Ecuación se pueden hacer algunos cambios :
\( v\displaystyle\frac{dv}{dr}+(\displaystyle\frac{GM}{r^2}+\displaystyle\frac{b}{m}v^2)=0\Rightarrow{(\displaystyle\frac{GM}{r^2}+\displaystyle\frac{b}{m}v^2)dr+v dv=0} \)
Observa que el Coeficiente de dr es un campo escalar de dos variables r,v continuo en una región abierta y convexa \( r>0 \), el Coeficiente de \( dv \) también; denominando P(r,v) y Q(r,v) a los coeficientes de dr y dv respectivamente, se tiene que el campo vectorial \( (P(r,v),Q(r,v)) \) es un gradiente de un campo escalar \( \phi \) si y solo si \( \frac{{\partial P}}{{\partial v}}=\frac{{\partial Q}}{{\partial r}} \) y si además ambas derivadas parciales son continuas. Bajo estas circunstancias la solución de la ecuación queda determinada por la ecuación \( \phi(r,v)=C \)
En este caso particular las derivadas parciales existen son continuas pero no se cumple la igualdad; pero es posible que multiplicando la ecuación por una fucion \( u(r,v) \) se establezca que el campo vectorial \( (u(r,v) \ P(r,v), u(r,v) \ Q(r,v) \) sea un gradiente, sugiero un \( u(r) \) es decir solamente función de r, al multiplicar la ecuación el campo será un gradiente. Esperamos algún avance.
Saludos
AGREGO
Me explico mejor, se esta buscando \( u(r) \) tal que convierta a la ecuación diferencial en una ecuación diferencial exacta, para que esto ocurra \( \frac{{\partial uP}}{{\partial v}}=\frac{{\partial uQ}}{{\partial r}} \), de esta igualdad se puede hallar \( u(r) \), luego se tiene que buscar \( \phi(r,v) \), sabiendo que \( \frac{{\partial \phi}}{{\partial r}}=Pu, \ \frac{{\partial \phi}}{{\partial v}}=uQ \), determinado \( \phi \) la solución cumple \( \phi(r,v)=C \)
