Un avance u(r) es una función continua y derivable que cumple :
\( \frac{{\partial u \ P}}{{\partial v}}=\frac{{\partial u \ Q}}{{\partial r}} \) Ec. 1
Donde :
\( P(r,v)=(\displaystyle\frac{GM}{r^2}+\displaystyle\frac{b}{m} \ v^2) \)
\( Q(r,v)=v \)
Si es cierto la Ec. 1 , se tiene (cambiando la notación de la derivada) :
\( u_v \ P+u \ P_v=u_r \ Q + u \ Q_r \) ; pero \( u_v=0, \ Q_r=0 \), luego :
\( u \ P_v=u_r \ Q \Rightarrow{\displaystyle\frac{u_r}{u}=\displaystyle\frac{P_v}{Q}} \), suponiendo que \( u\neq{0}, \ v\neq{0} \)
Sustituyendo e integrando respecto a r se obtiene el factor integrante u
\( ln u=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{2b}{m}dr\Rightarrow{u=C e^{\displaystyle\frac{2br}{m}}} \)
Consideramos C=1 y multicplicando la Ec. diferencial se tiene una Ec. diferencial exacta :
\( e^{\displaystyle\frac{2br}{m}}(\displaystyle\frac{GM}{r^2}+\displaystyle\frac{b}{m} \ v^2) dr+e^{\displaystyle\frac{2br}{m}} \ v \ dv=0 \)
Ahora hay que encontrar el campo escalar \( \phi \) sabiendo :
\( \frac{{\partial \phi}}{{\partial r}}=e^{\displaystyle\frac{2br}{m}}(\displaystyle\frac{GM}{r^2}+\displaystyle\frac{b}{m} \ v^2) \)
\( \frac{{\partial \phi}}{{\partial v}}= v \ e^{\displaystyle\frac{2br}{m}} \)
¿Algún avance? Sugiero integrar.
Saludos
Hola,
integrando respecto a la velocidad:
\( \phi(r,v)=\displaystyle\frac{1}{2}v^2e^{\displaystyle\frac{2br}{m}}+f(r) \)
E integrando respecto a la altura:
\( \phi(r,v)=\displaystyle\int e^{\displaystyle\frac{2br}{m}}\displaystyle\frac{b}{m}v^2dr+\displaystyle\int e^{\displaystyle\frac{2br}{m}}\displaystyle\frac{GM}{r^2}dr = \displaystyle\frac{1}{2}v^2e^{\displaystyle\frac{2br}{m}}+f(v)+\displaystyle\int e^{\displaystyle\frac{2br}{m}}\displaystyle\frac{GM}{r^2}dr \)
La segunda integral no sé calcularla a mano, pero introduciéndola en
https://www.calculadora-de-integrales.com/ el resultado es: \( -2bGME_1\bigg(\displaystyle\frac{-2br}{m}\bigg)-\displaystyle\frac{GMe^{\displaystyle\frac{2br}{m}}}{r}+f(v) \)
donde \( E_1(r)=\displaystyle\int \displaystyle\frac{-e^{-r}}{r}dr \)
Por tanto, el campo escalar es:
\( \phi(r,v)=\displaystyle\frac{1}{2}v^2e^{\displaystyle\frac{2br}{m}}-\displaystyle\frac{GMe^{\displaystyle\frac{2br}{m}}}{r}-2bGME_1\bigg(\displaystyle\frac{-2br}{m}\bigg) \)
¿Es correcto?
