[Deneb_Algedi]

Hola! saben que no entiendo el concepto de perpendicularidad en el espacio (entre recta y plano, o entre dos rectas que no están en el mismo plano). Por ejemplo, me surgen estas preguntas que ni siquiera sé si tienen sentido o no:

1-Si dos planos P1 Y P2 son perpendiculares entre sí, eso implica que cualquier recta de P1 es perpendicular con cualquier recta de P2? Cuándo una recta de un plano es perpendicular a una recta de otro?

Por ejemplo, en este cubo, donde M es el punto medio del segmento HG. C,F,G y H son vértices. Cúal es la posicicón relativa de las rectas CM y HF? Como es un cubo, están en planos perpendiculares, puesto que pertenecen a dos caras que lo son, pero mi duda es, son rectas perpendiculares? sí, no, por qué? son rectas que se cruzan?


2- Y en esta imagen de la escuadra, las rectas R, R' y R'' son perpendiculares a la recta A del plano alfa? asumo que sí, pero... son perpendiculares al plano alfa?
o sea, puede haber una recta (como R' y R'') perpendicular a una recta del plano, pero dicha recta no ser perpendicular al plano??


Menudo embrollo mental tengo, agradecería mucho cualquier ayuda para destrabarlo. Muchas gracias!!

[Deneb_Algedi]

No sé cómo insertar las imágenes del post, quedaron como adjuntos bajo el mensaje...

[AlexFeynman]

Hola.

Puedes pensarlo en función de la posición relativa de los vectores directores(indican la dirección y sentido), en el caso de las rectas, y los vectores normales(son perpendiculares al plano), en el caso de los planos. Así, dos rectas \( r \) y \( s \) son perpendiculares si sus vectores directores los son, es decir, \( \overrightarrow{d_r}\cdot{\overrightarrow{d_s}}=0 \)(su producto escalar es 0). Con una recta y un plano es lo contrario, son perpendiculares cuando el vector director de la recta y el vector normal de plano son paralelos, que es similar a \( \overrightarrow{d_r}=k\cdot{\overrightarrow{n_\pi}} \) donde \( k \) es un real.

[martiniano]

Hola.

1-Si dos planos P1 Y P2 son perpendiculares entre sí, eso implica que cualquier recta de P1 es perpendicular con cualquier recta de P2?

Falso. Si dos planos son perpendiculares tienen una recta en común que no puede ser perpendicular a sí misma. Hay contraejemplos menos "degenerados".

Cuándo una recta de un plano es perpendicular a una recta de otro?

Supogo que preguntas que si una recta es perpendicular a una recta de un plano, entonces la recta es perpendicular al plano. Falso también. Piensa en dos rectas perpendiculares que definan un plano.

Por ejemplo, en este cubo, donde M es el punto medio del segmento HG. C,F,G y H son vértices. Cúal es la posicicón relativa de las rectas CM y HF? Como es un cubo, están en planos perpendiculares, puesto que pertenecen a dos caras que lo son, pero mi duda es, son rectas perpendiculares? sí, no, por qué? son rectas que se cruzan?

En el foro no se permite enlazar mediante links a otros sitios web. Se recomienda hacerlo así. Yo no puedo ver la imagen a la que te refieres.

Un saludo,

[Deneb_Algedi]

Gracias a ambos por sus respuestas. Ahí creo que ya deberían verse las imágenes.

Entonces, si voy entendiendo, la situación sería así:

-Si dos planos, P1 y P2 son perpendiculares, es falso que una recta cualquiera r1 perteneciente a P1 sea perpendicular con una recta cualquiera r2 perteneciente a P2. Dependería de qué rectas se trate.
-Una recta r que no es perpendicular al plano P, sí puede ser perpendicular a una o más rectas de ese plano P.
 
Creo que por ahí va, no?

[AlexFeynman]

Edito que me he equivocado.
Las dos son ciertas. En la segunda, piensa en una dos rectas perpendiculares del plano. Estas se cortan en un punto p, puedes rotar una de las rectas dejando en punto p del plano fijo,de manera que corte al plano en el punto p, por lo que la recta no sería perpendicular al plano pero sí a la otra recta.

[feriva]

Hola.

No se ven los dibujos (no los había visto antes) que has puesto pero te hago yo uno.



La recta naranja del plano B y la recta negra del plano A son perpendiculares, forman un ángulo de 90 grados. Fíjate que son paralelas a los lados “a” y “b” (en rojo) de los respectivos planos, ambas rectas forman un plano paralelo al que conforman las rectas a y b, como si fueran las aristas de un tabique en mitad de una habitación. Y como “a” y “b” son perpendiculares (son las aristas del cubo o la habitación) pues igualmente ellas son perpendiculares.

Sin embargo, si consideras la recta naranja del plano B y la recta entrecortada (en color verde) del plano A, no son perpendiculares, no forman un ángulo de 90 grados; fíjate en cómo la naranja es paralela a “b”, pero la verde no es paralela a “a”; el ángulo en amarillo es mayo que 90 grados.

Saludos.

[martiniano]

Hola.

Otras dos cosas que se cumplen en \( \mathbb{R^3} \):

Una recta es perpendicular a un plano si y sólo si es perpendicular a todas las rectas del plano que la cortan.

Dos planos son perpendiculares si y sólo si hay rectas de uno de ellos perpendiculares al otro.

Es decir, en el dibujo de feriva, por ejemplo, la recta naranja no es perpendicular al plano \( A \).

Saludos.

[Deneb_Algedi]

En principio lo había visualizado como Feriva, pero justamente estoy notando que eso choca con lo que dice martiniano, que sería más o menos lo de esta definición de la foto. Qué está pasando?

(Por si no se ve, la deficnición dice: Una recta es perpendicular a un plano sí y sólo si es perpendicular a todas las rectas de ese plano que pasan por su pie en dicho plano.
=> la condición necesaria y suficiente para que una recta sea perpendicular a un plano es que sea perpendicular a dos rectas secantes que pasando por su pie estám incluidas en dicho plano. )

[AlexFeynman]

Lo que dicen los dos está bien. Supongo que es la interpretación que se le da al dibujo de feriva, no es lo mismo que la imagen que has adjuntado. El plano \( \alpha \) de tu imagen no es el mismo que el plano del dibujo de feriva que contiene a A y la linea discontinua verde.