[Sallaks]

Hola, necesitaba ayuda para demostrar esto por el meto método de inducción.
(3^(2n) - 1) es divisible por 8
tengo que poner si es verdadero o falso

Muchas gracias

[manooooh]

Hola

Es verdadero. El enunciado es equivalente a \( 3^{2n}-1=8k \), \( k\in\Bbb{Z} \). Recordá por la propiedad de las potencias que \( 3^{2n}=(3^2)^n=9^n \).

¿Qué intentaste? ¿En qué parte de la demostración te trabaste?

Saludos

Mods

Título cambiado de "Induccion" a "¿Verdadero o falso? [texx]3^{2n}-1[/texx] es divisible por [texx]8[/texx]".

[cerrar]

[feriva]

Hola.

Digo lo mismo que manooooh; exactamente, ¿cuál es la duda? Es decir, puede ser que no cayeras en la cuenta de lo de las potencias, que ya te ha dicho él, o puede ser otra cosa.

Saludos

[martiniano]

Hola.

Solamente quisiera dar una advertencia sobre el razonamiento que se vaya a utilizar en la demostración. Y es que, en general, \( 9^{n}-a \) no es múltiplo de \( 9-a \). Sí que sucede para \( a=1 \) y eso es lo que se debe demostrar.

Saludos.

[feriva]

Hola.

Solamente quisiera dar una advertencia sobre el razonamiento que se vaya a utilizar en la demostración. Y es que, en general, \( 9^{n}-a \) no es múltiplo de \( 9-a \). Sí que sucede para \( a=1 \) y eso es lo que se debe demostrar.

Saludos.

Tienes razón, martiniano; yo había creía ver esto \( 3^{2n+1}=3\cdot3^{2n}  \); supongo que era lo que quería poner manooooh, habrá sido un despiste.

Saludos.

[martiniano]

Hola.

yo había creía ver esto \( 3^{2n+1}=3\cdot3^{2n}  \); supongo que era lo que quería poner manooooh, habrá sido un despiste.

Entiendo. Claro, es por eso por lo que hay que usar Latex en las fórmulas, Sallaks. 

De todas formas, \( 3^{2n+1} \) no es múltiplo de \( 8 \). Sinó que siempre da de resto \( 3 \) al dividirlo entre \( 8 \)

Un saludo. 

[feriva]

Hola.

yo había creía ver esto \( 3^{2n+1}=3\cdot3^{2n}  \); supongo que era lo que quería poner manooooh, habrá sido un despiste.

Entiendo. Claro, es por eso por lo que hay que usar Latex en las fórmulas, Sallaks. 

De todas formas, \( 3^{2n+1} \) no es múltiplo de \( 8 \). Sinó que siempre da de resto \( 3 \) al dividirlo entre \( 8 \)

Un saludo. 

Perdón que eso que he puesto yo no sería tampoco, en efecto; que he sumado 1 a 2n, no a “n”

sería

esto del spoiler no es, menudo despiste llevo hoy

Spoiler

\( 3^{2(n+1)}-1=8k
  \)

\( (3^{n+1})^{2}-1=8k
  \)

Es diferencia de cuadrados; entonces

\( (3^{n+1})^{2}-1=(3^{n+1}+1){\color{magenta}(3^{n+1}-1)}=8k
  \)

[cerrar]

Hacemos esto, que es equivalente

\( {\color{magenta}3^{2n}}=8k+1
  \)

\( 3^{2n+2}=8k+1
  \)

\( 9\cdot{\color{magenta}3^{2n}}=8k+1
  \)

[martiniano]

Bien. Eso es una idea correcta. El producto de dos números pares consecutivos es múltiplo de 8 ya que uno de los dos factores lo es de 4.   

Aunque no creo que sea la demostración que buscaba Sallaks, que la pedía por inducción...

[martiniano]

Bueno, yo me refería a lo del Spoiler, precisamente.

Saludos.

[feriva]

Bien. Eso es una idea correcta. El producto de dos números pares consecutivos es múltiplo de 8 ya que uno de los dos factores lo es de 4.   

Aunque no creo que sea la demostración que buscaba Sallaks, que la pedía por inducción...

Bueno, se arregla un poco

Tenemos 9=8+1

Entonces

\( (8+1)\cdot{\color{magenta}3^{2n}}=8k+1
  \)

\( (8+1)\cdot{\color{magenta}(8k+1)}=8k+1
  \)

Y por la distributiva es cierto que es un 8k+1 (ya se entiende que la k no es la misma k siempre).

Saludos.