Notas particulares
Como bien dice Ingmarov, las sumas iteradas finitas pueden conmutarse, por la propiedad conmutativa de los números. Y ya que resuelve el problema planteado, del que no tenía idea (como si la tuviera de otros temas), me inspira estos comentarios.
Si observas, los nombres de las variables (n y r) son auxiliares, para indicar el recorrido de una u otra variable, y en general NO son permutables sus NOMBRES ¡ en un mismo marco !, ¡ porque tienen distinto recorrido !, que la una puede variar en {2,3,4,5} y la otra en {2,3,6,7,8}.
En nuestro caso SÍ podemos Permutar los NOMBRES, porque tienen el mismo recorrido, del 1 al 10.
Pero NO podemos Igualar los NOMBRES, porque en general una variable auxiliar, en una suma parcial, se extingue al "acabose", dejando una suma en su lugar ¡sin variable!, que a la siguiente iteración la dejaría "sin nada que mascar". (Lo mas que podíamos es interpretar a contrapelo, que la sumo tantas veces como puedan variar los valores). En la suma doble general, decir que sumo dos variables con el mismo nombre significa lo lógico: que solo sumo los valores de la diagonal principal, de todo el cajón,... lo que buscamos todos... pero haciendo transformaciones para que todo sea igual a sumar todas las cifras, como el producto escalar en bases normales o perpendiculares, hasta las funciones con el ínclito Fourier.
Notas generales
La suma doble es sumar los números de una tabla, y las sumas iteradas corresponden a sumar primero las filas y luego sus resultados, o primero las columnas y sus resultados, coincidiendo las tres sumas.
También podemos dividir las sumas de los valores de una tabla por diagonales (como en ciertos "productos" o "convoluciones"), o de cualquier otra forma de trocear la tabla (que sea completa y sin repeticiones), que al final queremos sumar los números de una cajón o cubo, sean sumas (o integrales en el caso continuo).
En el caso general citado, con datos en un rectángulo {2,3,4,5} X {2,3,6,7,8}, podríamos dividirlo atendiendo a la parte común, como un caso cualquiera de ejemplo. Así, si "X" representa el producto cartesiano y "+" la unión (disjunta):
{2,3, 4,5} X {2,3, 6,7,8} =
({2,3}+{4,5}) X ({2,3}+{6,7,8}) =
{2,3}X{2,3}+{2,3}X{6,7,8}+{4,5}X{2,3}+{4,5}X{6,7,8},
expresiones que nos dan los rangos de las variables, de las dobles (o iteradas, llegado el caso) en que parto el trabajo, de sumar un cajón de números. Corresponde, gráficamente, a trocear el cajón en cuatro partes, con una línea vertical y otra horizontal.
Supongo que las distintas particiones, del dominio de definición de una sucesión (o función), tendrán su utilidad, que, p.e., las "diagonales inversas" se "llevan" mucho.
Nota añadida.
En la aplicación suma, (x,y)-- "+"-->z, esto es: x+y=z, la "diagonal inversa" es la función inversa de la suma. P.e. en números naturales, el inverso de 4 es {(1,3), (2,2), (3,1)}, de ahí el nombre.
