Autor Tema: Sumatoria doble

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17 Julio, 2019, 07:35 am
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0_kool

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El problema dice:
Hallar el valor de \( \displaystyle z=\sum_{r=1}^{10}\sum_{n=1}^{10}\frac{nr^{2}}{n+r} \)
                                                 
solución (así está escrita)

\( z=\sum_{r=1}^{10}\sum_{n=1}^{10}\frac{nr^{2}}{n+r} \)

\( 2z=\sum_{r=1}^{10}\sum_{n=1}^{10}\frac{nr(r+n)}{n+r} \)

(éste paso me lo pueden explicar , se multiplicó por 2, pero no veo como hacer el arreglo de la segunda sumatoria)

\( 2z=\sum_{r=1}^{10}r (1+2+3+...   10) \)

\( 2z=\displaystyle\frac{10*11}{2} (1+2+3+...   10) \)

\( z=\displaystyle\frac{3025}{2} \)









17 Julio, 2019, 08:11 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

Creo que es porque

\( \displaystyle\dfrac{nr(r+n)}{n+r}=\dfrac{nr^2}{n+r}+\dfrac{rn^2}{n+r} \)

Si pones la parte derecha de la igualdad en la doble sumatoria de puede esperar que la suma de cada una de esas fracciones dará resultados iguales.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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17 Julio, 2019, 04:24 pm
Respuesta #2

0_kool

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Lo siento debo estar miope hoy ,debe ser fácil, podrías ampliar tú explicación, gracias

17 Julio, 2019, 05:22 pm
Respuesta #3

ingmarov

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Lo siento debo estar miope hoy ,debe ser fácil, podrías ampliar tú explicación, gracias

Bueno, recuerda que

\( \displaystyle\sum_{i=k_0}^{k_1}\sum_{j=l_0}^{l_1}a_{i,j}=\displaystyle\sum_{j=l_0}^{l_1}\sum_{i=k_0}^{k_1}a_{i,j} \)

Cambiar el orden de las sumatoria no cambia el resultado.

En nuestro caso tenemos

\( \displaystyle\sum_{n=1}^{10}\sum_{r=1}^{10}\dfrac{nr^2}{n+r}=\bf\color{blue}\sum_{r=1}^{10}\sum_{n=1}^{10}\dfrac{nr^2}{n+r} \)


Por otro lado, si cambiamos las variables podemos esperar que la suma no se altere

\( \displaystyle\sum_{r=1}^{10}\sum_{n=1}^{10}\dfrac{nr^2}{n+r}=\sum_{x=1}^{10}\sum_{y=1}^{10}\dfrac{yx^2}{y+x} \)

Y ¿Qué pasa si en la suma que puse en azul hacemos n=r, y r=n? Como solo sustituimos variables, nos queda

\( \displaystyle\sum_{n=1}^{10}\sum_{r=1}^{10}\dfrac{nr^2}{n+r}=\bf\color{blue}\sum_{n=1}^{10}\sum_{r=1}^{10}\dfrac{rn^2}{r+n} \)

Creo que allí está probado
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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18 Julio, 2019, 12:21 am
Respuesta #4

0_kool

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No amigo, sigo sin ver cómo el r al cuadrado de transforma en r(r+n). No lo puse en látex me cuesta en el cel.

18 Julio, 2019, 12:55 am
Respuesta #5

ingmarov

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...
\( \displaystyle\sum_{n=1}^{10}\sum_{r=1}^{10}\dfrac{nr^2}{n+r}=\bf\color{blue}\sum_{n=1}^{10}\sum_{r=1}^{10}\dfrac{rn^2}{r+n} \)


Suponiendo que estás de acuerdo con esto, entonces si

\( z=\displaystyle\sum_{n=1}^{10}\sum_{r=1}^{10}\dfrac{nr^2}{n+r} \)

Entonces

\( 2z=\displaystyle\sum_{n=1}^{10}\sum_{r=1}^{10}\dfrac{nr^2}{n+r}+{\bf\color{blue}\sum_{n=1}^{10}\sum_{r=1}^{10}\dfrac{rn^2}{r+n}}=\sum_{n=1}^{10}\sum_{r=1}^{10}\left(\dfrac{nr^2}{n+r}+{\bf\color{blue}\dfrac{rn^2}{r+n}}\right)=\sum_{n=1}^{10}\sum_{r=1}^{10}\left(\dfrac{nr^2+{\bf\color{blue}rn^2}}{n+r}\right) \)


¿Lo ves ahora?
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18 Julio, 2019, 02:19 am
Respuesta #6

0_kool

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Ahora sí,puff tan fácil, no sé qué me pasaba pero mi cerebro era incapaz hoy de procesar eso ....😂

Tendrás algunos apuntes de propiedades de sumatorias dobles y triples , hace mucho que no las veo.

18 Julio, 2019, 02:18 pm
Respuesta #7

nia

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Notas particulares

Como bien dice Ingmarov, las sumas iteradas finitas pueden conmutarse, por la propiedad conmutativa de los números. Y ya que resuelve el problema planteado, del que no tenía idea (como si la tuviera de otros temas), me inspira estos comentarios.

Si observas, los nombres de las variables (n y r) son auxiliares, para indicar el recorrido de una u otra variable, y en general NO son permutables sus NOMBRES ¡ en un mismo marco !, ¡ porque tienen distinto recorrido !, que la una puede variar en {2,3,4,5} y la otra en {2,3,6,7,8}.

En nuestro caso SÍ podemos Permutar los NOMBRES, porque tienen el mismo recorrido, del 1 al 10.

Pero NO podemos Igualar los NOMBRES, porque en general una variable auxiliar, en una suma parcial, se extingue al "acabose", dejando una suma en su lugar ¡sin variable!, que a la siguiente iteración la dejaría "sin nada que mascar". (Lo mas que podíamos es interpretar a contrapelo, que la sumo tantas veces como puedan variar los valores). En la suma doble general, decir que sumo dos variables con el mismo nombre significa lo lógico: que solo sumo los valores de la diagonal principal, de todo el cajón,... lo que buscamos todos... pero haciendo transformaciones para que todo sea igual a sumar todas las cifras, como el producto escalar en bases normales o perpendiculares, hasta las funciones con el ínclito Fourier.

Notas generales

La suma doble es sumar los números de una tabla, y las sumas iteradas corresponden a sumar primero las filas y luego sus resultados, o primero las columnas y sus resultados, coincidiendo las tres sumas.

También podemos dividir las sumas de los valores de una tabla por diagonales (como en ciertos "productos" o "convoluciones"), o de cualquier otra forma de trocear la tabla (que sea completa y sin repeticiones), que al final queremos sumar los números de una cajón o cubo, sean sumas (o integrales en el caso continuo).

En el caso general citado, con datos en un rectángulo {2,3,4,5} X {2,3,6,7,8}, podríamos dividirlo atendiendo a la parte común, como un caso cualquiera de ejemplo. Así, si "X" representa el producto cartesiano y "+" la unión (disjunta):
   {2,3,     4,5}   X  {2,3,     6,7,8}  =
  ({2,3}+{4,5}) X ({2,3}+{6,7,8}) =
   {2,3}X{2,3}+{2,3}X{6,7,8}+{4,5}X{2,3}+{4,5}X{6,7,8},
expresiones que nos dan los rangos de las variables, de las dobles (o iteradas, llegado el caso) en que parto el trabajo, de sumar un cajón de números. Corresponde, gráficamente, a trocear el cajón en cuatro partes, con una línea vertical y otra horizontal.

Supongo que las distintas particiones, del dominio de definición de una sucesión (o función), tendrán su utilidad, que, p.e., las "diagonales inversas" se "llevan" mucho.

Nota añadida.
En la aplicación suma,   (x,y)-- "+"-->z,  esto es: x+y=z,  la "diagonal inversa" es la función inversa de la suma. P.e. en números naturales, el inverso de 4 es {(1,3), (2,2), (3,1)}, de ahí el nombre.