Por fin, creo que logré integrar correctamente la ecuación diferencial de partida hasta conseguir la ecuación r-t de este movimiento.
Partimos de la ecuación de la dinámica aplicada a dos cuerpos que se atraen gravitatoriamente según la ley de Newton:
\( \displaystyle\frac{-GMm}{r^2}=\mu \displaystyle\frac{d^2 r}{dt^2} \)
donde \( \mu=\displaystyle\frac{Mm}{M+m} \) es la masa reducida del sistema y \( r(t) \) es la distancia entre las masas en función del tiempo.
Aplicando la regla de la cadena (\( \displaystyle\frac{d^2 r}{dt^2}=v \displaystyle\frac{dv}{dr} \)) e integrando bajo la condicion inicial, en \( r=r_0 \) \( v=0 \) , obtenemos la función \( v(r) \) (velocidad relativa de los cuerpos en función de su separación):
\( v=\sqrt[ ]{2G(M+m)(\displaystyle\frac{1}{r}-\displaystyle\frac{1}{r_0})} \)
Teniendo en cuenta que \( v= - dr/dt \), ya que los cuerpos se acercan, e imponiendo otra condición inicial; en \( t=0 \) , \( r=r_0 \) la nueva integración se plantea así:
\( \displaystyle\int_{r}^{r_0}\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{r}{r_0-r}}dr=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2G(M+m)}{r_0}} \) \( t \)
En donde sobre la variable t ya se hizo la sencilla integración.
La primera integral necesita un cambio de variable para ser resuelta. Utilizamos éste:
\( {r=r_0cos^2 \theta} \)
(Realmente concluí que este era el cambio bueno tras aplicar estos dos: primero \( r_0 - r = s^2 \) y después \( s = \sqrt[ ]{r_0}sen\theta \))
Resolviendo se obtiene esta expresión final:
\( t = ( \theta + \frac{sen 2 \theta}{2})\sqrt[]{\frac{r_0^3}{2G(M+m)}} \)
