Autor Tema: Tiempo en chocar Tierra y Luna

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14 Julio, 2019, 10:55 am
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sedeort

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Hola. Planteo en esta sección de Física una aplicación práctica al problema teórico que propuse en Desafíos matemáticos.

Pues eso, se trata de calcular el tiempo que tardarían en chocar Tierra y Luna, suponiendo que dejaran de orbitar, claro.

Los datos físicos necesarios para dar una solución numérica al problema se pueden consultar y están disponibles fácilmente:

\( G=6.674·10^{-11}  Nm^2/kg^2 \)  (Cte de gravitación universal)
\( M=5.974·10^{24}  kg \)  (Masa de la Tierra)
\( m=7.349·10^{22}  kg \)  (masa de la Luna)
\( r_0=3.844·10^8 m \)  (distancia orbital media)
\( R_T=6.371·10^6 m \)  (Radio de la Tierra)
\( R_L=1.737·10^6 m \)  (Radio de la Luna)

18 Julio, 2019, 08:18 pm
Respuesta #1

sedeort

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Por fin, creo que logré integrar correctamente la ecuación diferencial de partida hasta conseguir la ecuación r-t de este movimiento.

Partimos de la ecuación de la dinámica aplicada a dos cuerpos que se atraen gravitatoriamente según la ley de Newton:
                                  \( \displaystyle\frac{-GMm}{r^2}=\mu \displaystyle\frac{d^2 r}{dt^2} \)   
donde \( \mu=\displaystyle\frac{Mm}{M+m} \) es la masa reducida del sistema y \( r(t) \) es la distancia entre las masas en función del tiempo.

Aplicando la regla de la cadena (\( \displaystyle\frac{d^2 r}{dt^2}=v \displaystyle\frac{dv}{dr} \)) e integrando bajo la condicion inicial, en \(  r=r_0 \)  \( v=0  \) , obtenemos la función \( v(r) \) (velocidad relativa de los cuerpos en función de su separación):


                             \(  v=\sqrt[ ]{2G(M+m)(\displaystyle\frac{1}{r}-\displaystyle\frac{1}{r_0})} \)

Teniendo en cuenta que \( v= - dr/dt \), ya que los cuerpos se acercan, e imponiendo otra condición inicial; en \(  t=0 \)  , \( r=r_0 \) la nueva integración se plantea así:

 \(  \displaystyle\int_{r}^{r_0}\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{r}{r_0-r}}dr=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2G(M+m)}{r_0}} \)  \( t \)
En donde sobre la variable t ya se hizo la sencilla integración.
La primera integral necesita un cambio de variable para ser resuelta. Utilizamos éste:
                                                                     \( {r=r_0cos^2 \theta} \)

(Realmente concluí que este era el cambio bueno tras aplicar estos dos: primero \( r_0 - r = s^2 \)  y después \( s = \sqrt[ ]{r_0}sen\theta \))

Resolviendo se obtiene esta expresión final:


                                                              \( t = ( \theta + \frac{sen 2 \theta}{2})\sqrt[]{\frac{r_0^3}{2G(M+m)}} \)

20 Julio, 2019, 10:03 am
Respuesta #2

sedeort

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Sustituyendo los datos iniciales en la última expresión, y  si no me he equivocado en los cálculos, me sale que el choque de Tierra y Luna como masas puntuales (\(  r=0 \)) se produciría tras 4'823 días .

Si tenemos en cuenta sus tamaños reales (\( r=R_T + R_L \)), el choque de sus superficies sería en 4'816 días.

Podéis calcular la velocidad de impacto utilizando la ecuación \( v(r) \).


Utilizando las mismas expresiones también podéis hacer los cálculos para el caso de choque entre Tierra y Sol.
¿Qué resulta? (Sol.: 64'56 días?)