Autor Tema: Estabilidad puntos de equlibrio sist. dinámico discreto

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28 Mayo, 2019, 12:02 am
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yuzo

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Buenas noches, tengo el siguiente ejercicio y no sé cómo plantearlo:

Para cada número real \( a > 0 \), denotemos por \( \sqrt[ ]{a} \) a la única raíz cuadrada positiva de \( a \). Para dicho \( a \), consideremos la función:

\( f_a(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{a}{x}\right) \)

definida para \( x\neq{} 0 \) .

Calcular y estudiar la estabilidad de los puntos de equlibrio del sistema dinámico discreto:

\( A(n+1) =f_a(A(n)) \)

en función del parámetro \( a > 0 \).

En estos ejercicios resuelvo \( f(a)=a \), luego derivo la función y calculo la derivada en los puntos para ver la estabilidad, pero aquí no sé como plantear el problema para empezar. ¿Alguna pista? Gracias de antemano ;)

28 Mayo, 2019, 11:16 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Bienvenido al foro.

Buenas noches, tengo el siguiente ejercicio y no sé cómo plantearlo:

Para cada número real \( a > 0 \), denotemos por \( \sqrt[ ]{a} \) a la única raíz cuadrada positiva de \( a \). Para dicho \( a \), consideremos la función:

\( f_a(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{a}{x}\right) \)

definida para \( x\neq{} 0 \) .

Calcular y estudiar la estabilidad de los puntos de equlibrio del sistema dinámico discreto:

\( A(n+1) =f_a(A(n)) \)

en función del parámetro \( a > 0 \).

En estos ejercicios resuelvo \( f(a)=a \), luego derivo la función y calculo la derivada en los puntos para ver la estabilidad, pero aquí no sé como plantear el problema para empezar. ¿Alguna pista? Gracias de antemano ;)

 ¿Por qué no empiezas exactamente cómo dices?. Resolviendo \( f(x)=x \) y evaluando la derivada en los puntos obtenidos.

Saludos.

28 Mayo, 2019, 06:08 pm
Respuesta #2

yuzo

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Hola

 Bienvenido al foro.

Buenas noches, tengo el siguiente ejercicio y no sé cómo plantearlo:

Para cada número real \( a > 0 \), denotemos por \( \sqrt[ ]{a} \) a la única raíz cuadrada positiva de \( a \). Para dicho \( a \), consideremos la función:

\( f_a(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{a}{x}\right) \)

definida para \( x\neq{} 0 \) .

Calcular y estudiar la estabilidad de los puntos de equlibrio del sistema dinámico discreto:

\( A(n+1) =f_a(A(n)) \)

en función del parámetro \( a > 0 \).

En estos ejercicios resuelvo \( f(a)=a \), luego derivo la función y calculo la derivada en los puntos para ver la estabilidad, pero aquí no sé como plantear el problema para empezar. ¿Alguna pista? Gracias de antemano ;)

 ¿Por qué no empiezas exactamente cómo dices?. Resolviendo \( f(x)=x \) y evaluando la derivada en los puntos obtenidos.

Saludos.

Hola Luis, gracias por contestar.

Si hago \( f(x)=x \) entonces me queda que x = \( \sqrt[ ]{a} \)

Luego al derivar, \( f^{\prime}(x) \) = \( \displaystyle\frac{1}{2} - \displaystyle\frac{a}{2x^2} \)

Cuando evalúo, me sale cero y no sé cómo interpretarlo, si es que lo anterior está bien. En los ejercicios que tengo no había usado nunca un parámetro, ando bastante perdido.

Un saludo Luis.

29 Mayo, 2019, 11:49 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Hola Luis, gracias por contestar.

Si hago \( f(x)=x \) entonces me queda que x = \( \sqrt[ ]{a} \)

Sería \(  x=\pm \sqrt{a} \), es decir, hay dos soluciones.

Luego al derivar, \( f^{\prime}(x) \) = \( \displaystyle\frac{1}{2} - \displaystyle\frac{a}{2x^2} \)

Citar
Cuando evalúo, me sale cero y no sé cómo interpretarlo, si es que lo anterior está bien. En los ejercicios que tengo no había usado nunca un parámetro, ando bastante perdido.

Si \( |f'(x_0)|<1 \) el punto de equilibrio es atractivo.

Saludos.

29 Mayo, 2019, 10:45 pm
Respuesta #4

yuzo

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Hola

Hola Luis, gracias por contestar.

Si hago \( f(x)=x \) entonces me queda que x = \( \sqrt[ ]{a} \)

Sería \(  x=\pm \sqrt{a} \), es decir, hay dos soluciones.

Luego al derivar, \( f^{\prime}(x) \) = \( \displaystyle\frac{1}{2} - \displaystyle\frac{a}{2x^2} \)

Citar
Cuando evalúo, me sale cero y no sé cómo interpretarlo, si es que lo anterior está bien. En los ejercicios que tengo no había usado nunca un parámetro, ando bastante perdido.

Si \( |f'(x_0)|<1 \) el punto de equilibrio es atractivo.

Saludos.

Vale, entendido, gracias Luis, un saludo ;)