[serdel]

Hola,no se como podria aplicar las propiedas de sumatorias para llegar a calcular el orden en un algoritmo.
Por ejemplo, me dieron un algoritmo del cual me queda una expresion asi:

\(  C_1+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{J=i+1}^{j<=n} \sum_{k=1}^{k<=j} + C_2 \)

Como se resuelven los indices?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,no se como podria aplicar las propiedas de sumatorias para llegar a calcular el orden en un algoritmo.
Por ejemplo, me dieron un algoritmo del cual me queda una expresion asi:

\(  C_1+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{J=i+1}^{j<=n} \sum_{k=1}^{k<=j} + C_2 \)

Como se resuelven los indices?

¿Qué es lo que estás sumando?¿ \( +C_2 \)?¿Eso es una constante que no depende de los índices?.

Saludos.

[serdel]

Hola Luis, perdon. Copie mal, esa constante C_2 esta dentro de la sumatoria, por lo que me quedaria asi:

\( C_1 + \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} \displaystyle\sum_{j=i + 1}^{j<=k} \displaystyle\sum_{k=1}^{k<=j} C_2 \)

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Luis, perdon. Copie mal, esa constante C_2 esta dentro de la sumatoria, por lo que me quedaria asi:

\( C_1 + \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} \displaystyle\sum_{j=i + 1}^{j<=k} \displaystyle\sum_{k=1}^{k<=j} C_2 \)

Todavía hay algo mal. No puede ser que en los límites de \( j \) aparezca \( k \), que aun no está definido.  Los sumatorios interiores tienen que tener límites que dependan de variables previamente usadas en los sumatorios exteriores. Revisa bien los límites.

Saludos.

[serdel]

Si, es asi:

\( c_1 \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} \displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c_2 \)

Por que el codigo es asi:
constante

for ( i=1; i <= n-1; i++)
      for(j= i+1; j<= n; j++)
           for (k=1; k<= j; k++)
                  constante

[Luis Fuentes]

Hola

Si, es asi:

\( c_1 \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} \displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c_2 \)

Por que el codigo es asi:
constante

for ( i=1; i <= n-1; i++)
      for(j= i+1; j<= n; j++)
           for (k=1; k<= j; k++)
                  constante

Si es como indicas en los bucles anidados sería:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} \displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{\color{red}j\color{black}} c_2=c_2\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} \displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{\color{red}j\color{black}}1 \)

Ahora:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} \displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{j}1=\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} \displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}j=\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} \dfrac{(n+i+1)(n-i)}{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\dfrac{n^2+n-i^2-i}{2}=\\=\dfrac{n^2+n}{2}\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}1-\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}(i^2+i)=\dfrac{(n^2+n)(n-1)}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}+\dfrac{n(n-1)}{2}\right)=\dfrac{1}{3}n(n^2-1) \)

Saludos.

[serdel]

Gracias, estoy intentando entender cada paso. Ahi marque en con rojo y no entiendo por que pusiste el termino (n - i)

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias, estoy intentando entender cada paso. Ahi marque en con rojo y no entiendo por que pusiste el termino (n - i)

Estoy usando la fórmula de la suma de unos términos de una progresión aritmética:

\( S=\dfrac{a_1+a_k}{2}\cdot k \)

donde \( a_1,a_k \) son respectivamente el primer y último término y \( k \) el número de términos.

En nuestro caso:

\( a_1=i+1,\qquad a_k=n,\qquad k=n-(i+1)+1 \)

Más adelante también uso la fórmula de la suma de cuadrados:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^n{}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

Saludos.

P.D. Evita fórmulas en archivos adjuntos.