[Quema]

Hola
Si tengo \( n \)variables aleatorias \( X_i \) independientes e idénticamente distribuidas con media cero, función de densidad \( f \) y 

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^3f(x)dx\geq{}0 \). Para

\( Z=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}a_iX_i \)con función de densidad \( g \)entonces,
¿también se cumple :\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}z^3g(z)dz\geq{}0 \), cómo lo demuestro?

[Luis Fuentes]

Hola

 Piensa en dos variables por simplificar. Si tienes \( X_1 \) e \( X_2 \) independientes se verifica que:

 \( E(X_1^nX_2^m)=E(X_1^n)E(X_2^m) \)

 Ten en cuenta además que supones que:

 \( E(X_i^3)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^3f_i(x)dx\geq 0 \)

 Tu llamas \( Z=a_1X+a_2X_2 \) y quieres calcular:

 \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}z^3g(z)dz=E(Z^3) \)

 Entonces por la linealidad de la esperanza:

\(  E(Z^3)=E((a_1X_1+a_2X_2)^3)= \)
        \( =a_1^3E(X_1^3)+3a_1^2a_2E(X_1^2X_2)+3a_1a_2^2E(X_1X_2^2)+a_2^3E(X_2^3) \)

 Por ser las variables independientes te queda:

\(  E(Z^3)=a_1^3E(X_1^3)+3a_1^2a_2E(X_1^2)E(X_2)+3a_1a_2^2E(X_1)E(X_2^2)+a_2^3E(X_2^3) \)

 Y por tener media cero \( E(X_1)=E(X_2)=0 \), luego:

\(  E(Z^3)=a_1^3E(X_1^3)+a_2^3E(X_2^3) \)

 Teniendo en cuenta que tu hipótesis es que \( E(X_i^3)\geq 0 \) y si supones \( a_i\geq 0 \) entonces:

\(  E(Z^3)=a_1^3E(X_1^3)+a_2^3E(X_2^3)\geq 0 \)

 El mismo razonamiento se pude extender directamente o por inducción a varias variables.

Saludos.

[Quema]

Hola si \( X,Y \)son i.i.d con media \( m \)mayor a cero. Dada \( Z=aX+(1-a)Y \)
Puede ocurrir que \( E(Z-m)^3>E(X-m)^3\geq{}0 \).

[Luis Fuentes]

Hola
 
 Por lo desarrollado en mi primera respuesta a este hilo, si \( X,Y \) son independientes e idénticamente distribuídas de media cero, y tomamos:

\( Z=aX+(1-a)Y \)

se verifica:

\( E(Z^3)=a^3E(X^3)+(1-a)^3E(Y^3)=((1-a)^3+a^3)E(X^3) \)

Cuando \( a \) varía en \( [0,1] \) la función \( (1-a)^3+a^3 \) varía entre \( [1/4,1],  \) y de hecho tiene un único mínimo en \( a=1/2 \).

Así siempre se cumple:

\( \displaystyle\frac{1}{4}E(X^3)\leq E(Z^3)\leq E(X^3) \) para \( a\in [0,1] \)


 Ahora si \( X,Y \) son independientes e idénticamente distribuídas de media \( m \), y tomamos:

\( Z=aX+(1-a)Y \)

 Se tiene que \( X'=X-m, Y'=Y-m \) son idénticamente distribuidas. independientes y de medida cero. Además:

\(  Z'=aX'+(1-a)Y'=aX+(1-a)Y=Z-m \)

 Por lo anterior:

\( \displaystyle\frac{1}{4}E(X'^3)\leq E(Z'^3)\leq E(X'^3) \) para \( a\in [0,1] \)

y entonces:

\( \displaystyle\frac{1}{4}E((X-m)^3)\leq E((Z-m)^3)\leq E((X-m)^3) \) para \( a\in [0,1] \)

Saludos.

[Quema]

Hola

Si \( X \)tiene función acumulada \( G \)y \( Z \) función acumulada \( F \). ¿ Puede ocurrir simultáneamente que:
i) \( F(x)+F(-x)\leq{}G(x)+G(-x) \)
ii) \( 0\leq{}E((Z-m)^3)\leq E((X-m)^3) \) o \( 0\geq{}E((Z-m)^3)\geq{} E((X-m)^3) \).?

Para mí, (i) no implica ninguna de las dos desigualdades de ii), puede ser cualquiera de las dos.

¿ Es así ?

¿ Existe alguna medida de asimetría que sea equivalente a (i) ?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

  mmmmm... ¿estás suponiendo que \( X \) y \( Z \) tienen la misma media? Si es así no puede darse que \( F \) y \( G \) sean continuas con soporte finito y verificando:

\( F(x)+F(-x)\leq G(x)+G(-x) \)

(si puede darse la igualdad claro, pero no la desigualdad estricta en un conjunto de medida no nula).

Saludos.

[Quema]

Hola
i)
En otro post se me dijo que siempre se puede aproximar con una función continua una distribución discreta. Por tanto si se cumple esta desigualdad estricta para funciones discretas, debería poder cumplirse para ciertas funciones continuas.
ii) De ser i) errado, se que si las dos variables son simétricas respecto a cero, \( F(x)+F(-x)=G(x)+G(-x)=1 \), ahora,

pueden existir variables continuas no simétricas tal que se cumpla esa igualdad?



Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

i) En otro post se me dijo que siempre se puede aproximar con una función continua una distribución discreta. Por tanto si se cumple esta desigualdad estricta para funciones discretas, debería poder cumplirse para ciertas funciones continuas.

No necesariamente. Que existan algunas funciones discretas con la misma media y donde sea posible esa desigualdad estricta, no quiere decir que estas converjan a una función continua.
Pero más aun, el límite de una desigualdad estricta es una desigualdad (no estricta). Luego pudiera ser que para las funciones discretas se tuviese desigualdad, pero en el límite encontrásemos sólo igualdad.

ii) Si F(x) es una distribución continua con la propiedad:

\( F(x)+F(-x)=1 \) para cualquier\(  x\geq 0 \)

entonces derivando:

\( f(x)-f(-x)=0 \)

y por tanto la distribución es simétrica.

Saludos.

[Quema]

Hola

Se vió que para dos variables con la misma media
\(  \mu=\displaystyle\int_{0}^{\infty} x(f(x)-f(-x))dx= \displaystyle\int_{0}^{\infty} x(g(x)-g(-x))dx=\mu \)
Ahora puede ocurrir que

\( F(x)+F(-x)\leq{}G(x)+G(-x) \) y aún tener la misma media. Pues esta desigualdad no necesariamente implica que \( f(x)-f(-x)\neq{}g(x)-g(-x) \)para \( x>0 \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Veamos. Para una función de distribución \( F(x) \) se tiene:

\(  \displaystyle\int_a^b F(x)dx=bF(b)-aF(a)-\displaystyle\int_a^b x f(x)dx \)

sin más que integrar por partes tomando \( du=dx,\quad v=F(x). \)

 Análogamente:

\(  \displaystyle\int_a^b F(-x)dx=-\displaystyle\int_{-a}^{-b} F(x)dx=\displaystyle\int_{-b}^{-a} F(x)dx=-aF(-a)+bF(-b)-\displaystyle\int_{-b}^{-a} x f(x)dx \)

 Entonces:

\(  \displaystyle\int_{-k}^{k} (F(x)+F(-x))dx=2kF(k)+2kF(-k))-2\displaystyle\int_{-k}^k x f(x)dx \)

 Ahora si la función de distribución tiene soporte acotado, para \( k \) grande \( F(k)=1 \), \( F(-k)=0 \) y \( \displaystyle\int_{-k}^k x f(x)dx=\mu \).

 Luego deducimos que:

\( \displaystyle\int_{-k}^{k} (F(x)+F(-x))dx=\color{red}2k-2\mu\color{black} \)  Corregido

 Entonces si G(x), F(x) tienen las dos soporte acotado, la misma media \( \mu \) y para todo \( x>0 \) :

\(  F(x)+F(-x)\leq G(x)+G(-x) \)

 se tiene:

\(  0\leq \displaystyle\int_{-k}^{k} (G(x)+G(-x)-F(x)-F(-x))dx=0 \)

 Por tanto la desigualdad es en realidad una igualdad.

 Estoy exigiendo soporte acotado. Queda ver que ocurre si el soporte no es acotado (por ejemplo la distribución normal no tiene soporte acotado).

Saludos.