Hola
Supongamos que el soporte es \( [-b,b] \),
1) Creo que para \( k \) grande (límite superior del soporte),
\( \displaystyle\int_{-b}^{b} (F(x)+F(-x))dx=2(b-\mu) \)
Cierto.
2) Ahora es cierto que la igualdad se debe dar para \( k \) muy grande, pero ¿puede darse la desigualdad estricta para algún \( k \), con solo uno me alcanza?
\( F(x)+F(-x)\leq G(x)+G(-x) \)
con algún punto de desigualdad estricta.
No estoy seguro de enteder tu pregunta. A ver si es esto. En concreto te interesa saber si puede darse que:
1 - \( F \) y \( G \) tengan la misma media y
soporte acotado.
2 - \( F(x)+F(-x)\leq G(x)+G(-x) \) para todo \( x\geq 0 \).
3 - \( F(x_0)+F(-x_0)< G(x_0)+G(-x_0) \) para un \( x_0\geq 0 \).
La respuesta es NO. Por continuidad la condición 3 implica que:
\( F(x)+F(-x)< G(x)+G(-x) \) para un entorno \( (x_0-\epsilon,x_0+\epsilon) \) abierto de \( x_0 \).
Entonces integrando como en mi Post anterior, tendrías:
\( \displaystyle\int_{-b}^{b} (G(x)+G(-x)-F(x)-F(-x))dx\geq \)
\( \geq \displaystyle\int_{x_0-\epsilon}^{x_0+\epsilon} (G(x)+G(-x)-F(x)-F(-x))dx>0 \)
Pero es es imposible, por que esa integral es cero.
3) Para dos normales con igual media y distinta varianza, ¿no se cumple?
¿Seguro?. Si no me equivoco lo que ocurre es que hay puntos para los cuales:
\( F(x)+F(-x)<G(x)+G(-x) \)
y otros para los cuales:
\( F(x)+F(-x)>G(x)+G(-x) \)
Es decir las desigualdades en los dos sentidos, dependiendo del punto.
Saludos
