[Marcos Castillo]

http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL1/pdfs/TEORIA2-2.pdf

Hola, en la página 12 de este pdf hay una igualdad que no entiendo: \( A_i=(a_{i1},a_{i2},...,a_{in})=\displaystyle\sum_{j=1}^n{a_{ij}E_j} \)
Yo lo interpreto como: \( A_i \) es el vector de \( i=n \) o \( m \) filas, y \( n \) elementos, y es el sumatorio de...
Y ya no entiendo (si es que hasta ahora lo he entendido); me extraña el signo de sumatorio, tratándose de una matriz.
¡Un saludo!

[geómetracat]

\( A_i \) es un vector con \( n \) componentes, concretamente el vector \( (a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}) \). La notación \( A_i \) y la notación \( a_{ij} \) de sus componentes indican que es la fila \( i \)-ésima de la matriz \( A \), pero esto es irrelevante para tu duda.

Por otro lado, como dice justo antes en el pdf, \( E_j \) es el vector \( E_j = (0, \dots, 1, \dots, 0) \) que tiene un \( 1 \) está en la posición \( j \)-ésima y \( 0 \) en el resto.
Así, la fórmula por la que preguntas corresponde a:
\( A_i = (a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in}) = a_{i1}(1, 0, \dots, 0) + a_{i2}(0,1,0, \dots, 0) + \dots + a_{in}(0, \dots,0,1) = \sum_{j=1}^n a_{ij}E_j \).

[Marcos Castillo]

¡Muchas gracias!. Voy a aprovechar este hilo para preguntar más dudas, si surgen. Un saludo

[Marcos Castillo]

\( \sigma \) es una aplicación que, por ejemplo, en el caso del conjunto de los tres primeros números naturales, lleva éste al conjunto \( {(1,2,3),(3,2,1),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2)} \), ¿no?.

[manooooh]

Hola

Sólo un comentario al gran debate que están teniendo los usuarios participantes:

Voy a aprovechar este hilo para preguntar más dudas, si surgen.

Mientras que las dudas estén relacionadas con la pregunta inicial está bien que preguntes, pero si son dudas de otros ejercicios que no tengan que ver con el hilo es preferible que abras uno nuevo, a fin de mantener organizado el foro.

Saludos

[feriva]

\( \sigma \) es una aplicación que, por ejemplo, en el caso del conjunto de los tres primeros números naturales, lleva éste al conjunto \( {(1,2,3),(3,2,1),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2)} \), ¿no?.

Hola, Marcos. ¿Es lo primero del PDF?

Te dice que dar un elemento de las permutaciones (una permutación) es dar una aplicación de manera que sigma de (i) indica qué número colocamos en cierta posición.

Por ejemplo, tomamos una de las permutaciones ésas \( \sigma:(1,2,3)\rightarrow({\color{blue}2,3,1})
  \)

entonces

\( \sigma(1)={\color{blue}2}
  \)

\( \sigma(2)={\color{blue}3}
  \)

\( \sigma(3)={\color{blue}1}
  \)

Es decir, el 2 está el primero por la izquierda, es sigma de 1, el 3 está el segundo, es sigma de 2...

Después te habla de trasposciones, que es cuando, a partir de la permutación principal (1,2,3...n) que es normalmente el orden natural, intercambias uno con otro; por ejemplo, el dos con el uno (2,1,3...n) ó el uno con el tres (3,2,1...n)...

Cuando intercambias dos o más, en general, se llama ciclo.

Saludos.

[Marcos Castillo]

Hola, manooooh, feriva.
manooooh, voy a llamar a mis próximos mensajes "Cálculo del determinante 2", "Cálculo del determinante 3", y al principio pondré siempre el enlace al mismo pdf, sobre el que sólo quiero resolver las dudas en torno a la igualdad \( |A\cdot B|=|B|\cdot|A| \). Creo que, a pesar del nivel universitario que tiene el texto, con la ayuda del foro resolveré las dudas. El caso es que me quiero ajustar a las recomendaciones del foro: ¿debo abordar las dudas, o debo dejarlas aparcadas?. Tengo aprobadas en la Universidad Nacional de Educación a Distancia, entre el 2010 y el 2014 Ágebra Lineal I, Álgebra Lineal II, y Lógica Matemática, Conjuntos y Números. Han pasado cinco años sin contacto con el estudio. Ahora he empezado de cero, con un libro de texto de segundo de Bachiller (el curso anterior a la entrada en la universidad), pero esta proposición no está explicada en el libro, y acudo ha un enlace que me han facilitado.
Supongo que esta pregunta es también debatible. Estoy abierto a sugerencias. De momento, ¿qué os parece que siga, creando un hilo nuevo por cada duda?. No creo que vaya a crear más de 7 u 8 hilos, siendo todo lo pesimista que se puede ser.
feriva, sí, es lo del principio del pdf, perdona; yo lo veo como dos conjuntos; ¿es correcta mi afirmación?.
Perdón al foro por haber generado ya dos dudas diferentes en un mismo hilo. Comprendo que lo razonable es que haya una duda por hilo. Así será para mí en adelante.
¡Un saludo!

[feriva]

feriva, sí, es lo del principio del pdf, perdona; yo lo veo como dos conjuntos; ¿es correcta mi afirmación?.

¡Un saludo!

Por una parte está el conjunto de las permutaciones de los elementos de 1 hasta n. Pero eso es sólo un elemento, una permutación. La primera permutación (1,2,3) es la referencia, digamos el dominio de la aplicación. Claro que en sí es una permutación también, pero la permutación sigma que se define es la otra en concreto.

Saludos.

[Marcos Castillo]

¡Muchas gracias, feriva!

[Luis Fuentes]

Hola

.
feriva, sí, es lo del principio del pdf, perdona; yo lo veo como dos conjuntos; ¿es correcta mi afirmación?.

Aunque ya te lo ha dicho feriva, lo reitero.

En el texto, cuando se escribe que una permutación \( \sigma \) es \( \sigma=(3,2,1) \) es una forma abreviada de indicar que:

\( \sigma(1)=3,\qquad \sigma(2)=2,\qquad \sigma(3)=1 \)

Spoiler

Hay que tener cuidado porque no es la única notación ni probablemente la más standard para permutaciones. En muchas ocasiones \( (3,2,1) \) representa un ciclo, que es una permutación en la cual los elementos que cambian de posición colocados en cierto orden lo hacen llevando cada elemento en el "siguiente". En ese caso sería el \( 3 \) al \( 2 \), el \( 2 \) al \( 1 \) y el \( 1 \) al \( 3 \).

Pero si estás leyendo esos apuntes aparca este comentario por ahora.

[cerrar]

Perdón al foro por haber generado ya dos dudas diferentes en un mismo hilo. Comprendo que lo razonable es que haya una duda por hilo. Así será para mí en adelante.

No pasa nada si en un momento pones dos o más dudas en un mismo hilo por considerarlas relacionadas; a veces probablemente sea buena idea y en todo caso los moderadores moveremos los mensajes si lo vemos poco adecuado.

Cuando intercambias dos o más, en general, se llama ciclo.

No. La definición precisa de ciclo está aquí (intuitivamente hay un subcojunto de elementos que intercambian sus posiciones "cíclicamente" como si estuviesen sentados en una mesa redonda y todos se mueven una posición a la derecha).

Saludos.