Quisiera añadir algo a lo dicho por Luis, quizá te ayude a comprender mejor. Dos vectores son ortogonales si su
producto interior (también llamado producto punto en el caso de espacios euclídeos) vale cero. Claro que esto sólo tiene sentido si tenemos un espacio vectorial en el que previamente se ha definido un producto interior.
En tu caso nos manejamos en la representación clásica del espacio de tres dimensiones, que es un tipo de estructura matemática llamada espacio euclídeo (es decir: es un espacio vectorial con un producto interior específico y otra característica más que no viene al caso).
En espacios euclídeos al producto interior se le suele llamar también producto punto y se define por la suma del producto de las coordenadas, es decir, si \( \vec v=(2,5,-2) \) y \( \vec w=(-3,2,5) \) son dos vectores, entonces el producto punto viene dado por \( \vec v\cdot\vec w=2(-3)+5\cdot 2-2\cdot 5=-6 \).
Ahora bien: un vector se suele representar también como
combinación lineal de vectores de una
base vectorial, en este caso un vector en un espacio tridimensional euclídeo se suele representar usando la base vectorial \( \vec i,\vec j,\vec k \), la cual se define por las coordenadas \( \vec i=(1,0,0),\, \vec j=(0,1,0),\, \vec k=(0,0,1) \). En este caso podemos escribir \( \vec v=2\vec i+5\vec j-2\vec k \) y \( \vec w=-3\vec i+2\vec j+5\vec k \).
La norma de un vector en un espacio vectorial (real) con producto interior se define por \( \|\vec v\|=\sqrt{\vec v\cdot \vec v} \). Si \( \vec v \) fuese el vector anterior entonces tendríamos que \( \|\vec v\|=\sqrt{2^2+5^2+(-2)^2}=\sqrt{33} \).
La base \( \vec i,\vec j,\vec k \) es ortonormal porque:
1. Es ortogonal, es decir, son vectores todos ortogonales entre sí: \( \vec i\cdot\vec j=\vec j\cdot\vec k=\vec k\cdot\vec i=0 \), como se puede comprobar dadas las definiciones anteriores.
2. La norma de cada vector base es 1, es decir, que \( \|\vec i\|=\|\vec j\|=\|\vec k\|=1 \).
De ahí el nombre orto-normal.
Una base vectorial no tiene por qué ser ortogonal ni tener sus vectores norma 1, por ejemplo la colección de vectores dados por \( \vec a=(1,1,0),\,\vec b=(0,2,0) \) y \( \vec c=(0,0,1) \) es una base vectorial de \( \Bbb R^3 \) (espacio euclídeo real de tres dimensiones en nuestro caso) no es ortogonal porque \( \vec a\cdot\vec b\neq 0 \) (aunque en este caso tendríamos que \( \vec a \) y \( \vec c \) son ortogonales entre sí, pero para ser una base ortogonal deben ser todos los vectores que la forman ortogonales entre sí). También puedes verificar que \( \|\vec b\|\neq 1 \).
Por último, ¿en qué consiste una
base vectorial? En una colección de vectores que sean
linealmente independientes entre sí y cuyo span sea el espacio vectorial completo, es decir, que cualquier vector del espacio pueda ser escrito como combinación lineal de vectores de la base.
EDICIÓN: cambiada la redacción. Ahora está mejor ordenado y se entiende mejor.
