feriva: gracias por darnos la equivalencia del producto escalar con interpretaciones mas geométricas o físicas, mas intrínsecas. Es un buen comienzo del repaso que tengo que hacer, que mi ignorancia o intoxicación de formulismo es mas amplia.
Para empezar (en el plano), de forma mas gradual que la tuya, empezaría por vectores libres, que tienen el origen común en el punto (0,0), como los vectores del sistema de referencia de la base usual (perpendicular y de tamaño 1, u orto-normal).
Con ello ya podemos definir el producto escalar y calcularlo, A.B, por Pitágoras y trigonometría básica, expresado en las coordenadas de sus componentes, en la misma base de referencia.
A =(a1,a2), ||A||^2=a1^2+a2^2, cos(A)=a1/||A||, sen(A)=a2/||A||
B =(b1,b2), ||B||^2=b1^2+b2^2, cos(B)=b1/||B||, sen(B)=b2/||B||
A.B=||A|| x ||B|| x cos(B-A) (forma intrínseca)
=||A|| x ||B|| x cos(A-B)
=||A|| x ||B|| x cos(A) x cos(B) + sen(A) x sen(B)
=||A|| x ||B|| x a1/||A|| x b1/||B|| + a2/||A|| x b2/||B||
=||A|| x ||B|| x (a1xb1 + a2xb2) : ||A|| x ||B||)
= (a1xb1 + a2xb2) (forma coordenada)
= (a1,a2) . [b1,b2] (forma matricial)
La interpretación es que, en cualquier otra base (del mismo estilo), la forma de calcular el producto con las coordenadas, sería la misma, arrojando el mismo resultado que la forma mas intrínseca de definirlo.
Nota Si los vectores vinieran definidos por un punto inicial y un punto final, como los fijos, el tamaño habría que redefinirlo y calcular, etc. Lo mismo habría que estudiarlo si las bases son solo ortogonales o cualesquiera, que hasta se pudieran dar fórmulas válidas en sistemas de referencia ligados con otros de ciertas maneras, ¡vete a saber!, que aun no hemos empezado a integrar lo que Luis nos ha explicado, ni siquiera puesto en matricial adecuadamente.
