Hola
Buenas noches, debo resolver la integral en el intervalo\( [3,8] \), para la función \( f(x)=1/\sqrt[ ]{1+x} \)
Haciendo un poco de carpintería llegué a:
\( 5\sqrt{n}/n \displaystyle\sum_{i=1}^n{1/\sqrt[ ]{4n +5i}} \)
Pero no sé cómo pueda seguir, agradezco cualquier ayuda muchas gracias.
No veo una forma sencilla de calcular ese límite:
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{5}{\sqrt{n}}\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\dfrac{1}{\sqrt{4n+5i}} \)
Se me ocurre como alternativa tomar una partición no equi-espaciada. Notamos que en los extremos:
\( \sqrt{1+3}=2,\qquad \sqrt{1+8}=3 \)
Entonces dividimos el intervalo \( [2,3] \) en \( n \) partes. Tomamos:
\( y_i=2+\dfrac{i}{n} \)
y
\( \sqrt{1+x_i}=y_i \) es decir \( x_i=y_i^2-1 \)
Se tiene que:
\( x_i-x_{i-1}=y_i^2-y_{i-1}^2=(y_i-y_{i-1})(y_i+y_{i-1})=\dfrac{4n+2i-1}{n^2} \)
La suma de Riemman queda:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{}\dfrac{4n+2i-1}{n^2}\cdot \dfrac{1}{2+i/n}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\dfrac{4n+2i-1}{2n+i}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(2-\dfrac{1}{2n+i}\right)=2-\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{2n+i} \)
Pero:
\( \dfrac{1}{3}=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{2n+n}\leq \displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{2n+i}\leq \displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2} \)
Por tanto:
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{2n+i}=0 \)
Saludos.
