Autor Tema: Integral por suma de Riemann

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21 Marzo, 2019, 03:24 am
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hupavi

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Buenas noches, debo resolver la integral en el intervalo\( [3,8] \), para la función \( f(x)=1/\sqrt[ ]{1+x} \)

Haciendo un poco de carpintería llegué a:

\( 5\sqrt{n}/n \displaystyle\sum_{i=1}^n{1/\sqrt[ ]{4n +5i}}  \)

Pero no sé cómo pueda seguir, agradezco cualquier ayuda muchas gracias.

21 Marzo, 2019, 12:36 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Buenas noches, debo resolver la integral en el intervalo\( [3,8] \), para la función \( f(x)=1/\sqrt[ ]{1+x} \)

Haciendo un poco de carpintería llegué a:

\( 5\sqrt{n}/n \displaystyle\sum_{i=1}^n{1/\sqrt[ ]{4n +5i}}  \)

Pero no sé cómo pueda seguir, agradezco cualquier ayuda muchas gracias.

No veo una forma sencilla de calcular ese límite:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{5}{\sqrt{n}}\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\dfrac{1}{\sqrt{4n+5i}} \)

Se me ocurre como alternativa tomar una partición no equi-espaciada. Notamos que en los extremos:

\( \sqrt{1+3}=2,\qquad \sqrt{1+8}=3 \)

Entonces dividimos el intervalo \( [2,3] \) en \( n \) partes. Tomamos:

\( y_i=2+\dfrac{i}{n} \)

y

\( \sqrt{1+x_i}=y_i \) es decir \( x_i=y_i^2-1 \)

Se tiene que:

\( x_i-x_{i-1}=y_i^2-y_{i-1}^2=(y_i-y_{i-1})(y_i+y_{i-1})=\dfrac{4n+2i-1}{n^2} \)

La suma de Riemman queda:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{}\dfrac{4n+2i-1}{n^2}\cdot \dfrac{1}{2+i/n}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\dfrac{4n+2i-1}{2n+i}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(2-\dfrac{1}{2n+i}\right)=2-\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{2n+i} \)

 Pero:

\(  \dfrac{1}{3}=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{2n+n}\leq \displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{2n+i}\leq \displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2} \)

 Por tanto:

\(  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{2n+i}=0 \)

Saludos.

23 Marzo, 2019, 07:19 pm
Respuesta #2

EduardoA

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Hola

No veo una forma sencilla de calcular ese límite:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{5}{\sqrt{n}}\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\dfrac{1}{\sqrt{4n+5i}} \)



¡Hola Luis!

Permíteme hacerte una pregunta. No soy un experto en este tema, a saber, soy un novato. Sin embargo me causó mucho interés tú mensaje. He estado tirándole cabeza a este tema y siempre sigo obteniendo la misma respuesta: 0. Me gustaría saber qué hay de mal en el razonamiento (que sabemos está mal del hecho que \( \displaystyle\int_{3}^{8} \frac{1}{\sqrt{1+x}}dx=2 \)) :

Sabemos que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{5}{\sqrt{n}}\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\dfrac{1}{\sqrt{4n+5i}} = \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{5}{\sqrt{n}} \cdot \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\sum_{i=1}^n{}\dfrac{1}{\sqrt{4n+5i}} \); y como \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{5}{\sqrt{n}} = 0 \), será lógico que  \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{5}{\sqrt{n}}\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\dfrac{1}{\sqrt{4n+5i}} = 0 \)

En verdad agradezco tu ayuda,
Un saludo desde Colombia.

24 Marzo, 2019, 10:08 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Sabemos que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{5}{\sqrt{n}}\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\dfrac{1}{\sqrt{4n+5i}} = \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{5}{\sqrt{n}} \cdot \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\sum_{i=1}^n{}\dfrac{1}{\sqrt{4n+5i}} \); y como \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{5}{\sqrt{n}} = 0 \), será lógico que  \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{5}{\sqrt{n}}\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\dfrac{1}{\sqrt{4n+5i}} = 0 \)

En verdad agradezco tu ayuda,

El problema es que:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\dfrac{1}{\sqrt{4n+5i}} =+\infty \)

Entonces tienes el producto de dos sucesiones, una de las cuales tiende a cero y otra a más infinito. Es uno de los casos llamados de indeterminación: a priori no puede saberse cual es el límite del producto.

En concreto nota que:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{}\dfrac{1}{\sqrt{4n+5i}}>\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\dfrac{1}{\sqrt{4n+5n}}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\dfrac{1}{3\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{n}}{3} \)

Por tanto:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{5}{\sqrt{n}}\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\dfrac{1}{\sqrt{4n+5i}}>\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{5}{\sqrt{n}}\cdot \dfrac{\sqrt{n}}{3}=\dfrac{5}{3} \).

Es decir en el caso de existir tal límite una cota inferior es \( 5/3 \);  así que desde luego ese límite no es cero.

Saludos.

24 Marzo, 2019, 04:55 pm
Respuesta #4

EduardoA

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El problema es que:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\displaystyle\sum_{i=1}^n{}\dfrac{1}{\sqrt{4n+5i}} =+\infty \)


Se me pasó por alto, en verdad muchísimas gracias,
Saludos.